提取公因式易犯的八种错误

■一、有公因式不提例1 分解因式8x3 - 32xy.错解:原式=x(8x2- 32y).例2 分解因式4x2yz + 16y2.错解:原式=4(x2yz+ 4y2).评析:提取公因式时,既要提取相同字母的最低次幂,也要提取各项系数的最大公约数,因为公因式包括公因数,否则,都是不正确的.正解:1.原式=8x(x2- 4y).2.原式= 4y(x2z + 4y).■二、公因式提不尽例3 分解因式3x(m - n) - 6y(n - m).错解:原式=3[x(m -n) - 2y(n - m)]=3(mx - nx - 2ny + 2my).评析:公因式既可以是单项式也可以是多项式,n - m可变形为- (m - n),因此,上题中的公因式应为3(m - n).正解:原式=3x(m - n) + 6y( …     

因式分解容易错(初二)

1.符号出错 例1分解因式一4m3+z6mZ一26m. 解原式-一Zm(2,2+sm一13). 2.系数出错 例2分解因式(2x十4)2一(护+Zx). 解原式一2(x十2)2一x(x+2) 一(x+2)(x十4). 3.指数出错 例3分解因式p3m一尸m. 解原式一尸,(尸3一1) 一尸‘(尸一1)(PZ+P+1). 4.有公因式不提 例4分解因式16一36护. 解原式一(4+6x)(4一6x). 5.提公因式不尽 例5分解因式4x一9护. 解原式一x(4一16xZ) 一x(2+4x)(2一4x). 6.书写结果不规范 例6分解因式(3a一4b)(7a一sb)+(1 la一12b)(7a一sb). 解原式一(7a一sb)·2·(7a一sb). 7.结果不是整式的积 例7分解因式a卜3+了.解原式一(去…     

因式分解中的数学思想

数学思想是数学解题的灵魂.在因式分解过程中蕴含着许多数学思想,如果能灵活地运用这些数学思想,往往能更好地解决因式分解问题.一、整体思想用整体思想分解因式,就是将要分解的多项式中的某些项看成一个整体而加以分解.例1把多项式(x2-1)2+6(1-x2)+9分解因式.分析:把(x2-1)看成一个整体,利用完全平方公式进行分解,最后再利用平方差公式分解.解:(x2-1)2+6(1-x2)+9=(x2-1)2-6(x2-1)+9=[(x2-1)-3]2=(x2-4)2=(x+2)2(x-2)2.例2把多项式(a+b)2-4(a+b-1)分解因式.分析:此多项式既无公因式可提,又无公式可套用,似乎无从入手.若视a+b为一个整体,局部…     

公式法分解因式三注意

公式法是分解因式的重要方法之一,运用公式法分解因式时除正确理解和准确记忆公式外,还需注意以下三点.一、注意直接运用公式.所给多项式符合某种公式模型时,直接运用公式分解因式.例1分解因式:(1)25a2-16b2;(2)4(a-2b)2-12(a-2b)+9.解析(1)中的多项式是两项差的形式,符合平方差公式特征,故想到用平方差公式.把25a2写成(5a)2,16b2写成(4b)2,原式便呈现出平方差公式模型来.原式=(5a)2-(4b)2=(5a+4b)(5a-4b).(2)式中把2(a-2b)看成一个整体,原式便符合完全平方公式的特征.原式=[2(a-2b)-3]2=(2a-4b-3)2.评注运用公式法分解因式,首先应将平方差…     

提取公因式常见错误分析

提公因式法是因式分解的一种方法 .在运用此方法分解因式时 ,应避免出现以下几种错误 .一、提后丢项例 1　分解因式 :9ａ2 ｂ + 6ａｂ2 - 3ａｂ .错解　原式 =3ａｂ(3ａ + 2ｂ) .分析　多项式中各项的公因式正好为某一项时 ,提取公因式后该项应为“1” ,而不能消失 .上述解法犯了“丢项”的错误 .正解　原式 =3ａｂ(3ａ + 2ｂ - 1) .二、提而不并例 2　分解因式 :ａ(ａ +ｂ) (ａ -ｂ) -ａ(ａ +ｂ) 2 .错解　原式　　　 =ａ(ａ +ｂ) [(ａ -ｂ) - (ａ +ｂ) ].分析　提取公因式后 ,剩下的另一个因式若有同类项一定要合并 .上述解法没有合并同类…     

因式分解的几种策略

将某些多项式进行因式分解，会遇到直接运用各种基本方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法）均无法将其分解的情况，这时应对原式进行一些变形，才能运用基本方法达到分解的目的．下面介绍几种常见的策略．一、拆项例1　分解因式：解　原式二、添项例2将　a4＋4b3分解因式．解a4＋4b4＝a4＋4a2b2＋4b4－4a2b2三、展（开）合（并）例3分解因式：（ax＋by）2＋（ay－bx）2．解原式＝a2x2＋2abry＋b2y2＋a2y2＝2abxy＋b2x2例4分解因式：．解原式四、换元例5分解因式：解设x2＋3x＝y，则原式＝（y－2）（y＋4）－16＝y2＋2y－24＝…     

因式分解常用方法以外的其它方法

因式分解是整式变形的一种重要手段 ,是后继学习——无论是分式、根式、方程 ,甚至高中解析几何等的重要基础 .在课本上 ,主要介绍了提取公因式 ,应用公式 ,分组分解以及十字相乘 (适用于二次三项式 )等方法 .对较复杂的多项式需综合、反复、多次 ,甚至变形应用这些方法 .如分解因式 :4 a2 - 4ab- 3b2 - 4a + 10 b- 3,由于前三项是二次三项式可先用十字相乘法得 :4 a2 - 4ab - 3b2 =( 2 a - 3b) ( 2 a + b)2 a2 a- 3b+ b原式 =( 2 a - 3b) ( 2 a + b) + ( - 4a + 10 b) - 3.这时再次应用十字相乘法 ,如图2 a- 3b2 a + b1- 3∴原式 =( 2 a - …     

因式分解四特例

因式分解是初中数学的重要内容之一。因式分解题目千变万化,方法灵活多样,现举几例供同学们参考。例1分解因式(x2-2xy+y2)+(-2x+2y)+1.分析:若此题展开,这太复杂了。通过观察题目特点可将原式变形为(x-y)2-2(x-y)+1这样就易于分解了。解:原式=(x-y)2-2(x-y)+1=[(x-y)-1]2=(x-y-1)2.例2分解因式(x+1)(x+2)+41.分析:此题既没有公因式,又没有公式直接可用。可以先用整式乘法,重新整理然后分解。解:原式=x2+3x+2+41=x2+3x+49=(x+23)2.例3分解因式32004-32003.分析:此题从表面上看无法解,但通过观察,可逆用同底数幂的乘法法则,将32004化为32003×…     

分组分解法例说

分组分解法是因式分解的一种重要方法,而恰当地选择分组方案则是分组分解法的关键,也是难点.如何分组具有一定的灵活性,其目的是使分组后各组可以应用基本方法继续分解下去.下面举例说明.一、分组后使各组有公因式,然后应用提取公因式法继续分解.例1分解因式2am+3bn-6an-bm.分析:观察题目特征,将一、三项分为一组,有公因式2a,提取2a后余下因式(m-3n);将二、四项分为一组,有公因式b,提取b后余下的因式也是(m-3n),这样就可以继续使用提取公因式的方法进行分解.解:原式=(2am-6an)-(bm-3bn)=2a(m-3n)-b(m-3n)=(m-3n)(2a-b).例2分解因式ax-ay+bx+…     

适当选取主元分解因式

在分解因式时,有时遇到的多项式中,不止一个字母,若认定其中某一个字母为主元,按降幂排列,便会发现有公因式可提或可利用公式,给分解带来方便,请看下面的例子.例1 分解因式 bc(b+c)+ac(c-a)-ab(a+b).解选取 b 为主元,整理,得原式=(c-a)b~2+(c~2-a~2)b+ac(c-a)=(c-a)[b~2+(c+a)b+ac]     

怎样选择因式分解的方法

把一个多项式分解因式 ,关键是因式分解方法的选择 .首先 ,考虑有没有公因式可提取 .在提取公因式后 ,或没有公因式可提取时 ,可根据多项式的项数及特点选择因式分解的方法 .　　一、二项式对于二项式 ,通常先考虑是否可用平方差公式进行因式分解 .若不能 ,则可考虑用添项法来分解 .例 1　分解因式 :(1 )ａ2 -(ｂ+ｃ) 2 ;(2 )ｘ4 -1 ;(3 )ａ4 +4.　解　 (1 )原式 =[ａ+(ｂ+ｃ) ][ａ-(ｂ+ｃ) ]=(ａ+ｂ+ｃ) (ａ-ｂ-ｃ) .(2 )原式 =(ｘ2 ) 2 -1=(ｘ2 +1 ) (ｘ2 -1 )=(ｘ2 +1 ) (ｘ+1 ) (ｘ-1 ) .(3 )本题不能用平方差公式 ,故用添项法分解因式 …     

一起学习分解因式

一、为什么要学分解因式?请看问题:类比分数的约分:1520=3×54×5=34,将分式x2-y2x2+2xy+y2化简.由分数的约分可知,分式的约分就是约去分式的分子、分母中公共的因子.故需将分子、分母写成因式乘积的形式,即原式=(x+y)(x-y)(x+y)(x+y)=x-yx+y.类似的例子还有不少.在许多情况下,我们需要把一个多项式写成一些整式的乘积的形式,即需要将多项式分解因式.二、分解因式的基本方法有哪些?1.提公因式法.即将多项式中每一项的公共因子提出来.如将多项式3m2n-9mn2分解因式,3m2n和-9mn2这两项中有公因子3mn,故3m2n-9mn2=3mn(m-3n).实际上,提公因式的过…     

裂项或增减项法分解因式

当多项式的项数较多时,往往很难提取公因式.对此,我们可把多项式分成几组,然后在每组内分解因式,再寻找各组间的公因式,进而达到分解因式的目的.但如果多项式次数较高,或标准型中缺项,就很难直接分组.在用公式、十字相乘、配方等方法皆不易分解时,就要考虑裂项或增减项法. 裂项法就是把原式中的某项拆开,分别与其他项分组,进行因式分解;增减项法就是当原式中缺     

乘法公式应用有窍门(初一、初二)

1.直接用掌握各个公式结构特点,认清公式中的a、b,它可表示数、字母、单项式、多项式,可直接运用。也可逆向运用,是用活乘法公式的第一关. 例1 计算(-2x2-5)(2x2-5). 分析题中两个因式中“-5”相同,“2x2”符号相反,因而“一5”是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a,“2x2”是公式中的b. 解原式=(-5-2x2)(-5+2x2) =(-5)2-(2x2)2=25-4x4.     

怎样分解含积式多项式

如果不能直接分解，那么我们可以这样认为，含积式多项式是因为对原题分组不当而无法分解的结果．因此分解这类多项式必须先把原式展开（或部分展开）．使其恢复到一般形式，再重新分组．从而顺利解题．兹举几例加以说明．例1分解因式：解原式例2分解因式：解原式例3分解因式：解　原式例4　分解因式：解原式例5　分解因式：解原式例6　分解因式：解原式例7　分解因式：解原式例8　分解因式：解原式例9　分解因式：解原式例10分解因式：怎样分解含积式多项式@徐选$江苏射阳县新建中学!224332     

因式分解的换元解法

换元法是数学中的一个重要的思想方法。就是将代数式中的某一部分用一个新字母(元)来替换。此法用于多项式的因式分解,能使隐含的因式比较明朗地显示出来,从而为合理分组、运用公式等提供条件,使问题化难为易。例1分解因式(x2+xy+y2)2-4xy(x2+y2)。解:设x2+y2=a,xy=b,则原式=(a+b)2-4ab=(a-b)2=(x2-xy+y2)2。例2分解因式(x+y-2xy)(x+y-2)+(xy-1)2。解:设x+y=a,xy=b,则原式=(a-2b)(a-2)+(b-1)2=a2-2ab-2a+4b+b2-2b+1=(a-b)2-2(a-b)+1=(a-b-1)2=(x+y-xy-1)2=〔(1-y)(x-1)〕2=(y-1)2(x-1)2。例3分解因式(x2-4x+3)(x2-4x-12)+56。解:设x2-4x=y,…     

灵活换元 巧妙解题

换元是初中代数学习中非常重要的一种解题方法 ,它指的是在解题过程中有意识地把一个代数式看成一个整体 ,用字母表示。灵活地应用这种方法 ,可使解题简易、迅捷。一、分解因式例 1.分解因式 (x2 - x) 2 - 8x2 + 8x+ 12。解 :设 x2 - x=z,那么原式 =(x2 - x) 2 - 8(x2 - x) + 12=z2 - 8z+ 12 =(z- 2 ) (z- 6 )=(x2 - x- 2 ) (x2 - x- 6 )=(x- 2 ) (x+ 1) (x- 3) (x+ 2 )。二、化简二次根式例 2 .化简 x z - z xx z + z x-z x + x zz x - x z。解 :设 x =a,z =b,那么 x=a2 ,z=b2 。原式 =a2 b- ab2a2 b+ ab2 - ab2 + a2 bab2 - a2 b=a- ba+ b…     

运用逆向思维看分组分解法

多项式的因式分解和整式乘法互为逆过程,从乘法的运算过程来看分组分解法可以加深对分组分解法的认识,提高我们的思维能力.一、分组分解法的由来我们先来做乘法:(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)=(am+an)+(bm+bn)=am+an+bm+bn.如果要把am+an+bm+bn因式分解,只须将以上乘法过程逆转:先适当分组化整体为局部,分头分解,形成可以整体分     

因式分解基本方法的灵活应用

我们已经学习了多项式的因式分解．将多项式分解因式，有以下四种基本方法：1·提公因式法．这是分解因式最基本的方法．只要多项式的各项有公因式，首先把它提出来；2运用公式法．这种方法的关键是熟悉公式．这些公式都是把乘法公式反过来得到的，运用公式法即逆用乘法公式；3．十字相乘法．用这种方法能把某些二次三项式ax‘＋bx＋c分解因式．4．分组分解法．其实质是分组后能运用三种基本方法分解因式．分组是为提取公因式、应用公式或应用十字相乘法创造条件．掌握这种方法的关键在于必须预见到下一步分解的可能性．将多项式分解因式，…     

提取公因式的易犯错误

一、有公因式不提 例1 分解因式8x3-32xy． 错解 原式=x(8x2-32y)． 例2 分解因式4x2yz+16y2． 错解 原式=4(x2yz+4y2)． 评析 提取公因式时,既要提取相同字母的最低次幂,也要提取各项 系数的最大公约数,因为公因式包括公约数．否则,都是不正确的．