梅涅劳斯定理及其应用

(本讲适合初中)1梅氏定理及其逆定理1·1梅氏定理一条直线截△ABc的三边BC,CA,AB或其延长线于D,E,F,则刀DC五AF一.一-一二二._刀C石A FB=工。证法一(平三二*一‘/月BD_S△FBDDes全;ne’CE_S△cE,_S△cED石亘一s△丽蔽一亏乙而石,仁里=芝叠‘些迎土S全卫旦D=逻些卫卫少刀且S△人;:+S△人EDS△人;D,AF_S么人牙D尸丑S△二BD,BDDCCEEAAF_;乡石一人·行线成比例法) 如图1,过C作CK才AB,交FD于K,则1·2梅氏逆定理在△ABC的边B矶CA,AB或其延长线上分别取点D,刀,F.如果有BDDCCE AF刀AF刀“1,那么D,E,刀DDC_刀F…     

中考探索性问题一例

题目如图1,八BCD为正方形,石、F分别在BC、CD上,且△八EF为正三角形,四边形八,B,C‘D‘为△八五F的内接正方形,△八‘五,F,为正方形八’召,C’D‘的内接正三角形.(1)试猜想粤坦卿与 、夕止万协几1义门万八一;;万宁一日勺。乙t右F大小关系,并证明你的结论; ,S不卞报刃尸尸,l),_,,八_、、,、_,,.仁艺少水,成巍扁而一明值·、‘”洲千盯冲”’明市中考题) 解(1)猜想S正方形八尸口DS正方形dBcDS△刃刀尸S乙月开容易证明Rt亡八BE呈里Rt△八DF,:。匕B八E一艺D八尸.在正三角形八EF中,乙E八F一6。“,图1·,.二B二E一告(9护一60。)…     

张角公式在平几证题中的应用

一、张角公式 已知尸A,尸B,尸C三条射线,且匕APC二a,/C尸B=声,艺APB二a+刀<1800.则A,B,C三点共线的充要条件是sin(a+刀)_sinaPC尸B5 in刀尸A(1)证召乙尸月B如图1,如A,B,C共线,则二S△,,。+S占,c,,即1 oJ。。_.,.。、,汽尸f八.fU吕In气口+P)乙一合pA·尸Cs‘”“·PB sin刀.同除以工pA. 艺PB·尸C即得(1). 反之,如(1)成立, 图反推可知刀八尸j刀S△月刀口=S八尸摊口+召。尸e刀s。一s一:·…!=。 故A、B、C三点共线. 二、应用 例在二ABC的边CB,CA上,各向外作正方形CBRS,CA尸口,作CH止AB.求证:CH、BP、AR三线共点.(图…     

共边三角形的一个性质及其应用

定理已知△ABC和△DBC共边召C,月9戈其延长线交BC与E,则 S△,刀e AE同.理还有S△p尸王p三P口:S△尸云尸:P王一尸、O、’丛已卫五当__塑二S△P玉尸:P石一P,口:’但S△Pp玉P玉卜S△P尸:F‘+习△P尸、正,,+S八P,P:F‘, . 月.. 一一雌呱从而P口尸口言一C干下;~+,汗牙一+了1甘1厂2叼2“,一卜。以一人,,_P口‘〕乙少沉少它1兄二/!、比一b牙厂一以 工乞岌沪艺,2,3)中至少有一个早‘生. ’一’3也至少有.一个是、飞一,即 j(乞二1,2,3)中,至少有一个)3,星PQ. 图一‘a图}。b, 证明:当B或C点与E点重合时,结论显然成立。当B、C与E不重…     

梯形面积与其内三角形面积之关系

图1所示,梯形ABCD中,AB//刀C,对计算中,数例。 例1这两个等式有着巧妙的应用,现举角线AC、BD相交于点O。设△AOB的面积为g,,△DOC的面积为S:,△AOD的面积为S。,梯渗姓刀C刀的面积为s,则有结右论:图乞所示凡/勺 1 .5。二、/S,·52; 2 .5钊召反王+召叉)’ 证明:显知,△BOC的面积也是S。. 二ODS。52 ’OB一51一S。 …:急一s,·52即s。一心盯‘了卜且二盗二(S,+52)=25。二2扩瓦舌{, :.5=s,十52十2扩乖奋二(召盯+斌瓦)’· 上述的二个等式是多么协调、美观.在一类有关梯形对角线所分得的三角形面积的梯形月刀CD的对角纹相交于0,…     

每期一题

题:如图,角形,尸、Q、试证△尸QR亦是正三角形 (芜湖市1983年高中数学竞赛试题)。 设ABC、A尸B,C产是二正三R分别是AA‘、BB‘、CC‘中点,图1 证法1(位似缩小加旋转)连A‘B、A‘C,E、F分别为其中点。连尸石、QE,pF,刀F,EF。利用三角形中位线定理,易知△pEF是△ABC的位似图形,A‘是位似中心,相似比为一含。 ,.’ pE=寺月B二一参月C==尸F, QE=士A/B‘二一吞一A‘C/二RF,又PE与PF交角为60。,EQ与FR交角为心 .’.以p为顶点,将△pOE旋转600,即与△PRF重合,故此二三角形全等。(或证匕尸EQ=匕PFR:如图2,延长OE交RF延长…     

04年各地中考数学试题精选

一、南京市 (南京市第十七中学21。。32程新林供) 1.在比例尺是1:8000的南京市城区地图上,太平南略的长度约为25cm,它的实际长度约为() 画法:①在△AOB内画等边三角形点C在OA上,点D在OB上;CDE,使 ②连结ag并延长,交月丑于点E‘,过点E’作E,C‘//此,交oA于.气c‘,作E’D‘//ED,交〔犯于点D‘; ③连结C’D‘.则△C’D‘E‘是△AOB的内接三角形. 求证:△C’D’E’是等边三角形. 7.如图6,在矩形月刀CD中,八B~20cm汪℃~4cm,点尸从A开始沿折线A一B一C一D以4cm/s的速度移动,点Q从C开始沿CD边以Icm/s的速度移动,如果点尸、Q分别…     

每期一题

卜题:在四边形ABcD中,己知刀B二1, BC=1+训丁,AD=、/万,乙刃BC=120。, 匕刀AB=75”,求CD。 解一:连结月C.由余弦定理: AC二了月BZ十BCZ乙巨刀介动小c石几功厂二了6十3召二- 由正弦定理:艺D月厂二45“,刃E二2只Beos30“=训丁, 在△A刀E中,由余弦定理:刀E=亿丁。 故△大厂D是等腰汽角一二角形。 .’.艺C厂D二尸C/’i-.一j考价一’sin乙C左B“l了Csin12O“ 月C告、/丁 1 80。又丫C厂一30“一90。=60“。二刀E,…△CD刀是正三角一‘1+侧了)。二了丁。 召6十3侧丁=士亿丁。形,故CD 解四:二A刀.’.乙C月B二45。,匕刀才C二30。…     

第31届IMO试题解答

1.解法一如图所示,作D至且,B,M的连线段.显然有 乙CEF=乙DE‘“乙EMD,匕E CF二乙MAD。 于是, △C刀F。△AMD.诊;宣二卫兰二=1一卜￡止J生创圣.5二、DM“吕户F沉、9 FE。51。:。、:刀刃五fD叮丑CEMD oM召尸E·C止=1 F石乃刀召五D石二1 BE·五f五A石BE·刀石_AM AES八八E二S么。Ec=1一S△G见A尽△“互‘:S△D:工:S△。:nE从而,C刃·MD二刀汀·刀厂.另一方面,又有乙石CG“乙M刀D,于二,谁普贪乞.MD·MEG刀·C刀是,匕CG五‘匕C五F一匕五CG =乙E河D一兰叮BD二乙BD汀故△CGE。△B DM.从而,G刀.MB=CE·叮D.于…     

费马点一性质

若△ABC各内角均小于1200,则在△ABC内必存在点p,使乙A尸B~艺B尸c~乙C尸A-1200,这时PA+尸B+尸C最小.点尸常称费马点.P具有如下性质. 定理设△A刀C的费马点尸到三边距离为x,y,z,三边为。,b,‘.则有 2(x+y一升z)石PA十尸B十PC(了了,二分乞(a+b J+‘).等式当且仅当△ABC为正三角形时成立. 证明先证右边不等式.为此,以△ABC边为一边向外作△ABE,△BCF,△ACD,设其中心分别为,E‘,F‘.则尸同在它们的外接圆上.故正Dl b互3 一一旧.FI公尸只尸一一一一一一CD甲万 3 亡夸 一一FE心=APC刀FEAB丑于是,PA+尸B+ 了万,。=2下兰{a…     

借用平面几何知识巧解立体几何题一例

题:△尸AB在平而a内的射影是△QB刀(图1),试比较匕且尸B和乙AQB的大小。 凭直观想象,一这结论对不对?是否还有其它情况呢?木文就此作一个而探讨。 ]。、场匕刀Q召为90“时,有JQ’十BQ“=、1刀“。 在△I〕、更I了,},,Ll1余弦定卫},般认为乙A尸B<乙刀QB。(图1)份念中学数单教学1992年第6期‘05乙且I,IJ二l少妊I:卜尸刀, 2尸‘理.P‘护l少艺、.AO: BO,一只B“_。二。z尹一一一下万一石一.函—石-认--一U,J:t 乙才J了气.广尹万匕A尸B为锐角,:.匕A尸B<乙A OB。 2.当艺AOB为钝角时,用上述方法已无法比较,只好另辟途径。班刀方…     

内分角线定理的推广及其应用

一、内分角线定理的推广当a=日时,sina二、i,‘日, 如圈,已知尸为△OAB的底边才B(所在直线)上任一点 (B点除外),尸AI,B0刀OB、承;八求证:尸A尸BOAsinaOB、1 np证明.’.S‘。A,=一蚤OA·O尸“ina S‘。:,=一杏OB·OPsin日又子:、 合.n.尸SonA,_S‘。、:,OAsinaOBsinp①士尸A·O尸。in乙A尸O于尸B·尸APBOPsin(180“一艺APO)②故内分角线定理是这一定理的特例,这一定理是内分角线定理的推J”。 二、应用 内分角线定理的推J“在儿何证题中,应用比较J、一泛,举例说明如下。 1.江线段相等 例1证明卜拉美古塔定理(Br“11 ma-g…     

一道条件过强的赛题

题目(198弓,是△ABC内一点,△ABC为六个小三角形,其中四个小三角形的面积已在图中标出,求△ABC的面积。 通常解法是用美国邀请赛).如图,G直线月G,BG,C‘分共边三角形性质,列方程求x,封.但事实上,g△C。:二又斗为多余条件.试解如下:4一3 1一40一3040一AF尸BAGGDS乙入,。_S△B,。S飞人B。_S△B门D+303S考虑直线FC截△ABD于尸,涅劳斯定理,有21.‘,C,奄11}’子2一3 ︸一4一3 又i一z 一︸尸一BA一FD一GG一月些.GD.DC匹。壁二CB FA1, ”己万丑-山分比定理,丝些D二S也人ueB刀_1BC3故S却(“3S△妞D=31‘爪一道条件过强的赛…     

不等边三角形两条外角平分线相等的一个充要条件

引理1对任意乙A,乙B,有恒等式 B)、、产尸B一2 s*n,cOS(普士S、·:一(A (51·鲁不S‘·号)·(一甲士S;·普S、·粤)· 引理2在△ABC中, (a 乙 c),则、,.1飞已夕=.万. 石in兰=‘Z匡三亘正三)‘ ZY乙e定理在不等边△ABC中,乙A,匕B的外角平分线相等的充要条件是:罕为之二夕 P一b邵,。卜扬一由偌,一了一目U卜‘{夕lJ’一尸刊德. U 证明必要性.设乙A,乙B的外角平分线分别为AD夕B刀,则D,E位置有四种可能:(i)了月,匕C为锐角,匕B为钝角,则B位于DC之间,C位于且E之间(如图);(2)乙A,乙五为说角,乙C为钝角,C位于BD间,同时户性于A刀间…     

第二题

(必要性证明) 【证法一〕因△ABC为锐角三角形,故它的外接圆心O在△A石亡,内.于是 S△,。c=50;注F SoF刀。 Sozoc七. 过点刀作④O的切线尸Q,贝}IOA上尸。, 乙尸AB“乙AcB. 又B,C,E,F四点共圆,:’匕月CB=艺AFE,艺尸AB二艺AF五. .’.尸Q 11 FE.则。A土F石. :·“口,月*一;0“EF 同理“。pB。一;。‘·FD, ‘。D。,二一三oc .D五 。_。、2-- 从而s。,。二令(。A .EF 。B.FD 。c.OE) 分、”幼一.月习专?、一--一一’一一-一’一~一一尹 R,一___一、 .下戈乙厂 户I,十Lj己). ‘ [证法二〕设O为△ABC的外心,连AO并延长交…     

线段和差问题三例(初二、初三)

例1如图1,已知八C// BD,Dl、丑B分别平分乙CAB、乙刀刀A,CD过点E. 求证仍刀二AC十刀D. 证明在乃刀上截取AFcA,连结EF,‘「 在△以E和△以它中, 以=八F,’ 乙O气E二乙E片FjE所以乙八汇D 匕丑MC二900, 乙滩丑刀二乙万外夕C,GE~6欲叮.又匕八CB一450,乙八CP一90。,所以乙刀C尸一450.在△叼FC和△尸FC中, 乙月MC二匕尸,一月E,乙八CB一匕尸CBJ℃~石℃,△MFC望△尸FC小留二FP.所以△CAE望△F八E,乙C~艺AFE.因为以//BD,‘一「所以匕C十之D一180“, 乙EF刀~180已一匕莎E二匕D.在△EF刀和△EDB中, 乙EF刀二匕D,所以…     

类比应用例谈

数学竟赛往往出利器之一就造“类比”“,!毛题,,,对付科题的例1.二棱锥尸一、1刀C二侧校尸月,尸刀厂C两两垂直,则 5尝*BC二S矛:*。十5矛})。C+5矛。C人. “纵向联想”到它与勾役定理类}以,而勾股定理从简单的证i去莫过一〕几考虑直角顶点在斜边的射影.因此,可试着考虑尸在平而A刀C上的射影D(如图).IJ!l]须证: (1)D在△ABC内部,(2)5矛P人。二s么,。D、S△^:C等等.例2.已知尤>0,万>0,:>0,j{:+,+:=a.求证:xZ+,2牛:2、髻习11丫‘ a︸,‘ 泛 之 们留 工x;+,:+:x)粤 进行“横向联想”模型,使xZ+,名+言名,:能否设计一个几何x忍+.言+zx及x…     

一个梯形定理帮你解竞赛题

定理如图1,在梯形ABCD中,AD刀CB,过C与BD交于O,设△AOD一S,,△B次二二S:,△AOB~△COD~53.则 S彗=S,S:. __~、‘__,:______.,S, 事实上,△AOD与△CO力等高,故升~ 甲一一’~“一一J~一一一、J’,’~凡同时,鬓一豁,又AD、BC知,豁一箫O一0A一C寻即S支~S,52.口3凡一又 故 例1.(首届希望杯备选题)如图2,刀五为△ABC中位线,△BO(〕与△IX)E面积分别为3和2,则△ABC面积是(). C刁八一\、一2 /一月气‘一图 井︸ C盈 刀(A)(C) 图I5,_了又匕十了万). (D)(B)音(5+2汀)·以上都不对.1矛 9曰 由定理,51~月/万,知应选(B). 例2.(1…     

三角形中的两个恒等式

定理设尸是△ABC内任一点,过尸引三边的平行线,这三条直线把△A召C分成六个部分(如图),记△ABC的面积为S,则 (l)s一(袱歼 了云了十了瓦)2.(2)S=(S,S。 Sose SeS,)2证明:(l)// BC,FG// △DH尸 25,S,Se DE// AC,AB,的△ABC,A片//助△尸FE的△ABC,△G尸J的△冰BC.凡\Sc 卜 H尸训瓦… 丽一万’ 了瓦P,I一丫了’邵一叨E一C月F一B一gJ一.子了了/一尸 一一一S一E 了了一r户 一一即辛-亦即奈-丫云丁了了丫亏丁了了尸而丁 丫瓦 H尸十FE HP十丫万FE 尸J一BF FE EC一召C,一了瓦. 子丫瓦 产厂盯了云丁十,/云丁 JZ云丁)2. …     

两道赛题的巧证

如图1,且刀二B五、C尸是锐角△ABC的三条高线,R是△ABC外接圆半径,S是△且刀C的面积.则△DEF的周长与面积分别是:4Rsin姓sinBsinC,ZSeosAeosBeosC.证明:.:△A刀F的.J_。.E尸AE△ABC,:.景升二福若二。。sA。‘二一,二Bc AB-一EF一BCeosA一ZRsinAeosA·RsinZA,S△,二尸一SeosZA乃同理可证:尸D二RsinZB,已有证明,故不再重复. 运用以上周长与面积公式,可以简捷地证明下列两道高难度的平几题. 例1(86年全国高中数学联赛题),已知锐角△且刀C的外接圆半径是R,点D、E、F分别在边BC、CA、月刀上.求证且刀、BE、CF是△且…