基于建模思想的“列方程解决实际问题”的教学与思考

"列方程解决实际问题"是苏教版小学数学六年级上册"方程"单元第一课时的教学内容.本课旨在让学生经历将现实问题抽象为方程的过程,进一步体会方程是刻画现实世界中等量关系的数学模型,体验方程的思想方法和价值,并在解决实际问题的过程中理解和掌握形如"ax±b=c"的方程解法;能够与生活中有关的实际问题相联系,建立数学模型,简化本课知识.     

二元一次不定方程整数解之快速求法

方程ax＋by=c（a、b、c为实数）为二元一次不定方程．在计算机密码学中常常需要求系数较大的二元一次不定方程ax＋by=c的整数解．在一些数学考题中也常常出现求某一具体的二元一次不定方程在某一具体的区间的整数解．在实际生活中也常常会出现求某一具体的二元一次不定方程的整数解,例如鸡兔同笼问题．     

系数和为0的方程

如果一元二次方程ax2＋bx＋c（a≠0）的系数和a＋b＋c=0,则不难发现：x=1满足方程ax2＋bx＋c=0,即x=1是该方程的一个根．反之,如果x=1是一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的一个根,     

用线性取整函数拟合整数列

讨论用[ax＋b]拟合整数列的问题,即给定整数数列c0,c1,…,cn,是否存在函数y=ax＋b,使得[y（k）]=ck总是成立.文章指出了该问题的判定条件.在天文计算中经常遇到类似问题,因此本文结果不仅有理论意义,也具有实用价值.     

二元一次方程组知识点讲解

二元一次方程：含有两个未知数（x和y）,并且所含未知数的项的次数都是一次的整式方程．形如ax＋by=c（a≠0,b≠0）．     

二次函数与一元二次方程联袂解题

二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)和一元二次方程ax2+bx+c=0有着密切的联系.对于二次函数或一元二次方程问题,我们依据题目的特征,灵活处理,则能使某些问题得到简捷、巧妙的解决. 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点、一元二次方程ax2+bx+c=0的根、判别式△=b2-4ac的符号关系如下表: 一、求方程的根 例1(2014年柳州卷)小兰画了y=x2+ax+b的图像如图1所示,则关于x的方程x2+ax+b =0的解是().     

“判别式”在解题中的应用

实系数一元二次方程根的判别式,不仅能直接判定根的情况,而且能用来解决与二次函数、二次不等式以及与二次曲线有关的某些问题,下面对此加以归纳,以提高学生的解题能力。 一、解决与方程ax2+bx+c=0(a≠0)有关的问题 1.判定方程有无实根 通常把方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式b。     

谈二次函数图象与系数的关系

函数y=ax2＋bx＋c（a≠0,a,b,c是常数）叫做二次函数.二次函数是七年级—九年级数学知识的重要组成部分,其解析式中的a,b,c对图象的形状和位置、一元二次方程的根及二次三项式值的情况起着重要作用.现归纳如下：     

第十册第一单元教学目标建议及检测

一、教学目标(一)认识与记忆1.能够用字母表示数量之间的关系、运算定律和计算公式2.记住方程、方程的解,解方程的意义。(二)理解1.能说出解方程的根据。2.能说出列方程解应用题的一般步骤3.会用未知数 X 表示应用题中数量关系式中的未知量,寻找等量关系的思考方法。(三)掌握1.会用数目代替式子中的字母并求出式子的值。2.能应用加减法和乘除法的各部份之间的关系解 ax b=c,ax-b=c、a bx=c、a-bx=c、x÷a=b、a÷x=b 等形式的方程,掌握书写格式,会书面检验和口头检验。3.会列方程解答同级运算一或二步应用题,两级混合运算两三步应用题、相遇问题、几何初步知     

《数学》第三十一讲 代数初步知识的教学(下)

四、简易方程的教学小学生在已学过求等式中的未知数X、用字母表示数和数量关系之后,再学习简易方程的概念和解法,并不是十分困难的。在这部分知识的教学中,一定要使学生对方程、方程的解和解方程等概念有较清晰的认识,并能熟练进行简易方程的求解。在以后分数、比例的教学中,还要进一步巩固和提高解简易方程的技能。安排在小学数学中的方程内容是非常简单的,仅出现形如x±a=b,a土x=b,ax=b,ax土b=c,b土ax=c,x/a=b6等方程,故此称为简易方程.     

巧用抛物线的轴对称性解题

二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像是抛物线,是轴对称图形,对称轴为x0=b／2a,即若抛物线Y=ax2＋bx＋c（a≠0）上有两点（x1,y）、（x2,y）,则有x1＋x2／2=x0成立,利用这一简单性质,可以迅速解决一类中考题．     

a b c=0的一元二次方程

在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,常常隐含着a+b+c=0,此时方程的根究竟有什么特征呢?下面我们来研究这个问题。首先,为了能更清楚地看到方程与系数的关系,我们可以先由a+b+c=0,得b=-(a+c),代入方程消去b,得ax2-(a+c)x+c=0,ax(x-1)-c(x-1)=0,(x-1)(ax-c)=0,哈,原来方程的两根为x1=1,x2=ca。由此,我们得到如下一个结论:当a+b+c=0时,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一根为1,另一根为ca。运用这个简单的结论解决一些相关的问题十分简洁。请看:例1解方程:穴3姨-2雪x2+穴1-3姨-2姨雪x+2姨+1=0分析:直接用解一元二次方程的方法求解显然很…     

一次不定方程(组)的整数解(初一)

本文介绍一次不定方程(组)整数解的判定和求法. 1.如何判定整系数方程ax+by=c有无整数解定理1 整系数方程ax+by=c如果有整数解,则必有(a,b)|c;反之,如果(a,b)|c,则该方程有整数解.((a,b)表示a、b的最大公约数;(a,b)|c表示(a,b)整除c).     

函数y=kf(ax+b)+c的性质初探

函数y=kf（ax＋b）＋c的性质问题，在许多复习考试中经常遇到，但现行课本并没有系统地讲述，学生在此类问题上常遇到困难，乃至发生错误，现就函数y=kf（ax＋b）＋c的性质作初步探讨。     

二元一次不定方程整数解的个数

引理1设（xo,yo）是二元一次不定方程ax＋by=c（a,b,c为整数,（a,b）=1）的一组整数解,则x=xo—bt,y=yo＋at,t∈Z．     

巧用恒等式解一类二次根式方程

初中教材中讲了解二次根式方程的两种方法:平方法、换元法.但对于形如 丫alx“ 瓦x十。1士V气xZ十热x 勺 =ax b(a,b不全为零)(1)的根式方程.如a,扩十b:x c,、内扩十bzx 。。与ax b是既约因式,且能被ax b整除,令商式为Px十q.那么利用恒等式 (alx艺 b:x el)一(aZxZ bZx c:)=(a:一a:)xZ十(bl一bZ)x (c:一e:)(2) 求解是比较简捷的,具体步骤如下. 第一步:将(2)的两边分别除以(1)的两边得丫alxz blx cl干丫~Px q,第二步:将(1) (3)得:丫a,x: ,:二 。,一a 2x2 b:x十c。(3)(a十P)x (P q), 第三步:解这个简单的根式方程,舍去增根后就得到原方程的…     

条件为a+b+c=0的一个命题及其应用

命题　若实数 a,b,c满足 a b c=0 ,则　 ( ) a3 b3 c3=3abc;( )关于 x的方程 ax2 bx c=0必有一根为 1;( ) b2 ≥ 4ac.证明　 ( )由乘法公式 (a b c) (a2 b2 c2 - ab- bc- ca) =a3 b3 c3- 3abc知 ,当 a b c=0时 ,a3 b3 c3=3abc.( )当 x=1时 ,ax2 bx c=a b c= 0 ,故 x=1是方程 ax2 bx c=0的根 .( )当 a≠ 0时 ,ax2 bx c=0是一元二次方程 ,由 ( )知它有实数根 ,故△≥ 0 ,即b2 - 4ac≥ 0 ,b2 ≥ 4ac.当 a=0时 ,b2≥ 4ac显然成立 .这是一个重要的命题 ,它的应用极为广泛 ,利用它来解决条件中出现 (或可化成 ) a b …     

根的判别式的应用

一元二次方程ax2^＋bx＋c=0（0≠0）根的判别式是b2-4ac,通常用符号“△”来表示．当△〉0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;     

活用一元二次方程根的定义解题

我们知道:若x1是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,则ax12+bx1+c=0,反之若ax12+bx1+c=0(a≠0),则x1是方程ax2+bx+c=0的一个根,活用方程根的定义的正、反两方面知识,进行解题是一种重要的方法,现举例说明·一、正用方程根的定义例1(“祖冲之杯”数学邀请赛题)已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之和是m,两根平方和是n,求3an2+c3bm的值·解:设方程的二根是α、β,则aα2+bα+c=0,aβ2+bβ+c=0·两式相加,得a(α2+β2)+b(α+β)+2c=0,即an+bm+2c=0,所以2c=-(an+bm),所以3an2+c3bm=-31·例2(河北省初中数学竞赛题)求作一元二次方程,使它的根是方程x…     

“实际问题与方程（1）”教法新探

“实际问题与方程（1）”课程中大多直接呈现形如“ax±b=c”的方程问题,为了让学生能够养成主动运用方程解决实际问题的意识,初步学会运用方程,体验方程的先进性,有必要从探寻方程本质入手,引导学生建立模型,最终建立方程思想。