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<正>赛题(第三届北方数学奥林匹克邀请赛试题以下简称"赛题")已知ΔABC的三边长为a,b,c且满足a+b+c=3,求f(a,b,c)=a2+b2+c2+4/3abc的最小值.问题(《数学通报》问题1830以下简称"问题")已知a,b,c>0,且a+b+c=2,证明 相似文献
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在数学问题的讨论和证明中,直角三角形中的定理的应用比较常见,应引起我们的注意。在初中代数第四册十五章有定义:在RtΔABC中则有sinB=b/c,cos B=a/c,现有如下的定理:在ΔABC中,(1)若sin B=b/c (2)若cos B=a/c,则 相似文献
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设△ABC的三边长为a、b、c,面积为Δ,则a2 b2 c2≥43Δ①这是著名的外森比克(Weisenblk)不等式.现给出它的一个有趣的加强,即命题在△ABC中,三边长为a、b、c,面积为Δ,则2ab c2≥43Δ (a-b)2②证明在△ABC中,根据面积公式及余弦定理,有Δ=21absinc,c2-a2-b2=-2abcosc.所以2ab 相似文献
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九年级数学练习题中有一道题为:如图,△ABC中,∠C=90.,AB=c,A C=b,BC=a,求其内切圆⊙O的半径r.
解法一:根据三角形面积求连结AO、BO、CO.
∵SΔAOC=1/2AC·r
SΔBOC=1/2 BC·r
S△AOB=1/2AB·r
∴SΔABC=1/2AC·r+1/2BC·r+1/2AB·r=1/2r(a+b+c)
又S△ABC=1/2BC·AC=1/2ab
∴1/2r( a+b+c)=1/2ab
∴r=ab/a+b+c
解法二:利用切线长性质求
作OD⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB,则四边形DCEO为正方形. 相似文献
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第 3届国际中学生数学竞赛有一个几何题是这样叙述的 :设 a,b,c为△ ABC的三边之长 ,S为面积 .求证 :a2 b2 c2≥ 43 S,当且仅当 a =b=c取“=”.这就是著名的 Weisenbock不等式 .本文运用等周定理和幂平均不等式来推广Weisenbock不等式 .命题 1 设△ ABC三边之长分别为 a,b 相似文献
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《数学教学》2001年第6期的数学问题548是设△ABC的三边长为a,b,c,求证:b c a c a b a b ca b c+?++?++?>22.①《中学数学月刊》在2002年第11期第29页用换元法给出了其一简证,并在2003年第7期又给出了其一个类似.在△ABC中,三边长为a,b,c,求证:c a b a b c b c aa b c+?++?++?≤3.②笔者发现,在双圆四边形中也有定理在双圆四边形ABCD中,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,R、r表示其外接圆半径、内切圆半径,则42b c d a a c d ba b≤++?+++?+a b d c a b c dc d++?+++?4r r24R2r2≤r+?③证明记1()s=2a+b+c+d,由文[1]得abcd=(s?a)(s?b)(s?c)(s?d).… 相似文献
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定理设ΔABC的内角A,B,C所对的旁切圆与三边所在直线相切的切点构成的三角形的面积依次为ΔA,ΔB,△C,且记BC=a,CA=b,AB=c,p=1/2(a+b+c),ΔABC的面积、外接圆、内切圆半径分别为△,R,r,则有 相似文献
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潘佩 《中学数学教学参考》2007,(6):31-33
题源:已知ΔABC,AB=c,BC=a,CA=b,且a·b=b·c=c·a,判断△ABC的形状.(出自苏教版普通高中课程标准实验教科书《数学》第四册P.83,练习14)[第一段] 相似文献
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王位高 《中学生数理化(高中版)》2022,(1)
1.在ΔABC中,设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c。已知bcosC+ccosB=-4cosA,a=2。(1)求角A的大小;(2)若ΔABC的面积为√3、3,求△ABC的周长。 相似文献
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秦永 《中学数学教学参考》1994,(3)
●湖南黄汉生在《数学通报》1993年第1期“数学问题解答”栏提供的815题为: 设△ABC的三边长、面积及三条内角平分线长分别为a、b、c、及t_a、t_b、t_c,试证 at_a bt_b ct_c≥6A。 原刊1993年第2期给出的证明较复杂,事实上,记a、b、c边上的高线长分别为h_a、h_b、h_c,显然有t_a≥h_a·t_b≥h_b·t_a≥h_c,则at_a bt_b ct_c≥ah_a bh_b ch_c=6△,即征解题不证自明。 ●吉林张迎春在《上海中学数学》1993年第5期“数学问题与解答”栏提供的问题为:△ABC的边长是BC=a,CA=b,AB=c,面积是A,求证: 相似文献
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陈志刚 《中学数学教学参考》2007,(8):26-27
人教版高中《数学》第二册(Az)(必修)(以下简称“课本”)第31页第6题(以下简称“原题”):设a,b,c是ΔABC的三条边,求证: 相似文献
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《中学数学教学参考》2007,(11)
题源:已知△ABC,=c,=a,=b,且a·b=b·c=c·a,判断△ABC 的形状.(出自苏教版普通高中课程标准实验教科书《数学》第四册 P.83,练习14)1 证法研究1.1 证明边相等 相似文献
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正(数学(高二上册))达标训练二填空题第一题是这样的:已知a,b,c是△ABC的三条边,比较大小(a+b+c)24(ab+bc+ca).这道题的解答可以用特殊值法.取a=b=c=1,得(a+b+c)2=9,4(ab+bc+ca)=12,所以(a+b+c)24(ab+bc+ca).将这道题稍微变形,就是全日制普通高级中学教科书(实验修订本·必修)数学第二册(上)第31页B组题的第6题:设a,b,c为△ABC的三边,求证:a2+b2+c22(ab+bc+ca).这道题的解法紧紧围绕三角形的边的特征,依据不同的思维,不同的入口结合不等式证明的不同方法,可以得到不同的证法.并且依据已经证明的结论,还可以进行引申. 相似文献
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三角形中的几个不等式 总被引:1,自引:1,他引:0
在数学奥林匹克问题 (载《中等数学》2 0 0 0年第 5期第 4 9页 )中有一道几何不等式题 :在钝角△ABC中 ,∠A为钝角 ,ha 为边a上的高 ,求证 :a ha>b c.本文给出如下几个命题 .命题 1 在等腰△ABC中 ,∠ A为顶角 ,ha为边 a上的高 ,则 :(1 )若∠A=arccos72 5,则 a ha=b c;(2 相似文献
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<正>一、三角形中线长公式普通高中课程标准实验教科书数学必修5人教A版第1章"解三角形"习题1.2A组第13题(第20页):ΔABC的三边分别为a,b,c,边BC,CA,AB上的中线分别记为m_a,m_b,m_c,应用余弦定 相似文献
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定理 设ABCD为双圆四边形 ,R、r分别为外接、内切圆半径 ,r1、r2 分别为△ABC、△ADC的内切圆半径 ,则有R≥4r (r -r1) (r-r2 )r1 r2.①证明 :记AB =a ,BC =b ,CD =c,DA =d ,△ABC、△ADC的面积分别为Δ1、Δ2 ,四边形ABCD的面积为Δ ,半周长为 p ,则Δ1=12 r1(a b AC) ,Δ2 =12 r2 (c d AC) .由Δ =Δ1 Δ2 ,得2Δ =r1(a b) r2 (c d) AC(r1 r2 ) .由文 [1 ]知Δ =abcd ,R =14(ab cd) (ac bd) (ad bc)abcd12 ,∴AC =(ac bd) (ad bc)ab cd12 =4RΔab cd≤4RΔ2Δ =2R ,∴ 2Δ≤r1(a b) r2 (c d) 2R(r1 r2 )… 相似文献