关于一类整除性问题的证明

[定理] m个连续整数的连乘积能被m!整除。证:设m个连续整数中最大的一个为n。当n≥m时,C_n~m=(n(n-1)…(n-m+1))/m!是整数,故命题成立。当n相似文献   

整除性问题的构造性证明

在数学解题过程中,直接举出满足条件的数学对象(或反例),导致结论的肯定(或否定),或者利用具体问题的特殊性,设计一个框架,通过问题的转化来解决,这种解题方法称为构造法,构造法是一种重要的数学思想方法,应用构造法证明某些整除性问题,常可收到事半功倍的效果。在整除性问题的构造性证明中,常见的“构造”有以下几种: 一构造函数例1 证明 3~(1980)+4~(1981)能被5整除。(1980年上海市初中数学竞赛题) 证明构造函数     

一类整除问题的通解方法

(一)问题的提出在不少数学资料和一些试题中,经常出现这样一类有关整除性的问题:设p(n)=a_0n~k a_1n~(k-1) …… a_k(a_0≠0)…………………(i) 是一个关于整数n的多项式(其中,k为正整数,a_0,a_1,……a_k均为整数)。需要判定p(n)是否能够被整数m(m≠0和1)整除?(所谓整除,是指对一切整数n,p(n)均能被m整除)。例如 (1)试证:n~3-3n~2 2n-6能被6整     

一个整除问题的证明

《趣味数学集锦》一书中,有这样一个整除性问题:任取一个n位整数,以你喜欢的方式,将这n个数字任意重新排列,则开头的数与新数之间的差,总能被9整除.     

刍议数学归纳法证明整除性问题技巧

用数学归纳法证明整除性问题,如:求证f(n)能被a整除,设f(n)是随自然数变化的已知整式(或整数),a是给定的整式(或整数).由假设n=k时命题成立,来推证n=k+1时命题也成立,是最关键的一步,也是最难证明的一步.如果用f(k+1)除以f(k),求出它的余数(或余式),即设f(k+1)=qf(k)+r,q为商,r为余数(或余式).若r能被a整除,则由假设可知f(k+1)能被a整除,即n=k+1时命题也成立.这样,就极大地简化了证明过程.     

一个整除问题的精巧证明

在中学数学中,有一道出现频率较高的习题:题证明(3+5~(1/2))~n+(3-5~(1/2))~n能被2~n整除(n∈N) 一般证法是利用第二数学归纳法来证明的,其证明较繁,下面利用费波那契数列通项公式给出它的一个精巧证明。证 [(3+5~(1/2))~n+(3-5~(1/2))~n]/2~2=((3+5~(1/2))/2)~n+((3-5~(1/2))/2)~n=((1+5~(1/2))/2)~2n+((1-5~(1/2))/2)~2n=[((1+5~(1/2))/2)~n-((1-5~(1/2))/2)~n]~2+2(-1)~n     

抽屉原则在证明整除性问题中的应用

应用抽屉原则，解决有关整数的整除性的证明问题。     

在同余思想方法指导下寻求整除性问题的证明

有很多整除性问题的证明，其技巧性很强，而技巧性的东西是一时难于捕捉到的。通过用同余思想方法指导为一类整除性问题之证明寻找到了有效证明的方法。     

整除性问题判定方法初探

讨论了教学教学和国内外数学竞赛中整除性问题的常见命题形式,并总结出了十余种判定方法和技巧.     

一类整除问题的算术解法

“某数用A_1除余B_1,用A_2除余B_2,……,用A_n余余B_n,求某数?”此类问题可用算术方法解决如下:作乘积ΠA_j(i=1、2、…,n),适当选择正整数N_i,使N_iΠA_j(i=1、2、…,n)用A_i除余B_i,(若无这样的N_i,则问题无解。)则∑∏A_i为所求。为求得适合条件的正整数,只要     

一个整除性问题

设p是奇素数，r=（p-1）／2．又设ai（i=1，2，…，n）是与p互素的整数，b=（a1＇-a2’）（a2＇-a3＇）…（an＇-a1＇）．证明了：当n是奇数时，必有b=1（mod p）；当n是偶数时，存在ai（u=1，2，…，n）可使b≠0（mod p）．     

一个整除性问题

设p是奇素数,r=p(-1)/2.又设ai(i=1,2,…,n)是与p互素的整数,b=(a1r-a2r)a(2r-a3r)…(anr-ar1).证明了:当n是奇数时,必有b≡0(mod p);当n是偶数时,存在ai(i=1,2,…,n)可使b≠0(mod p).     

用数学归纳法证明整除问题时两种常用方法

用数学归纳法证明整除性问题,难点仍在第二步,即“设S(k)真S(k+1)真”。下面介绍两种突破这难点的常用方法。一、“十六字”法所谓,“十六字”法是指用“提出因子,凑成假设,数字不符,多退少补”这十六个     

关于一类整除问题的证法探讨

本文利用不定方程的解对一类整除问题的证法进行了较深入的探讨。     

关于一个整除性问题

先观察一例:若n为非负整数,则3~(4??+2)+5~(2n+1)能被14整除. 证明:由二项式定理(a+b)~n=am+b~n,(m∈N)则3~(4n+2)+5~(2n+1)=9·81~n+5·25~n =9·(56+25)~n+5·25~n =56m_1+9·25~n+5·25~n(m_1∈N) =14m_2+14·25~n(m_2∈N) =14(m_2+25~n)=14m_3.(m_3∈N) 故3~(4n+2)+5~(2n+1)能被14整除. 考察3~(4n+2)+5~(2n+1)=9·81~n+5.25~n有     

一类多项式整除问题的一种证法

我们知道,由二项式定理 (a b)~n=a~n C_1~na~(n-1)b … C_n~(n-1)ab~(n-1) b~n可得 (a b)~n=aM_1 b~n; (a b)~n=a~2M_2 nab~(n-1) b~n; (a b)~n=a~n abM_i b~n; …………其中,M_i(i=1,2,3,…)是整式。利用上述性质可以证明一类多项式的整除问题。兹举例如下(本文中的n均为自然数): 例1 求证(x 1)~(2n 1) x~(n 2)能被x~2 x 1整除。     

对偶基本定理证明的完善性问题

在大多数线性规划、最优化方法和运筹学教材中,都要讲述对偶基本定理这一重要内容。但在一些教材中对它的证明缺乏完善性。我所见到最近出版的教材依然存在这一问题,例如有的教材作如下叙述:对于互为对偶的线性规划问题:     

整除性问题的递推证法

整除性问题的递推证法陕西华阴黄河工程机械厂中学李建章整除性问题是数学竞赛中的常见命题，通常的证法是数学归纳法或利用较强的变形技巧．本文给出与自然数ｎ有关的整除性问题的简单的递推证法，供参考．命题１设均为非负整数．若且，则ｍ｜ｆ（ｎ）．由递推性易知命题...     

对用数学归纳法证明整除问题的补充

贵刊在一九八六平第一期刊登明理编选的《用数学归纳法证明整除问题的两种常用方法》一文。文中“十六字法”和“带余除法”能在课本的基础上加以提炼、总结,很值得借鉴。但是用数学归纳法法证明整除问题,还有两种常用的方法——辅助变量法和作差法,介绍于下: