常用的六种换元方法

一、整体换元法例1计算20+142√3√+20-142√3√.解:设20+142√3√+20-142√3√=x,两边立方,得20+142√+20-142√+3202-(142√)3√2(20+142√3√+20-142√√)=x3,∴x3-6x-40=0,∴(x-4)(x2+4x+10)=0.∵x2+4x+10=(x+2)2+6>0,∴x-4=0,∴x=4.故20+142√3√+20-142√3√=4.二、局部换元法例2解方程5x2+x-x5x2-1√-2=0.解:设y=5x2-1√,则原方程可化为y2+x-xy-1=0,∴(y-1)(y-x+1)=0,解得y=1或y=x-1.当y=1时,5x2-1√=1,解得x1,2=±10√5;当y=x-1时,5x2-1√=x-1,解得x3=12,x4=-1,经检验,x3=12,x4=-1是增根.故原方程的根是x1,2=±10√5.三、常值换元法…     

注意与0有关的五个条件

<正> 一、a0=1中a≠0 例 1 当m=_____时,函数y=(m+3)x2m+1+4x-5(x≠0)是一个一次函数. 错解当2m+1=1时,函数为一次函数,解得m=0; 当m+3=0时,函数为一次函数,解得m=-3.     

学习二次函数应注意的问题

一、注意二次项系数不为零 例1 若二次函数y=(m~2-4)x~2+3x+1-m和一次函数y=(m~2-2)z+m~2-3的图象与y轴交点的纵坐标互为相反数则m的值为___。 错解 由题设,得(1-m)+(m~2-3)=0,即 m~2-m-2=0。解得m=2或m=-1。 剖析 上述解法错在忽视了二次项系数不为0这一条件。当m=2时,二次项系数m~2-4=0。此时函数y=(m~2-4)x~2+3x+1-m不是二次函数所以应舍去m=2,正确答案为m=-1。     

二次函数典型错误例析

二次函数是中考的热点之一,许多同学动态分析能力较差,失误颇多.下面针对近年试卷上的错解举例剖析. 一、二次项系数为零致错例1 若二次函数y=(m2-4)x2+3x+1-m与一次函数y=(m2-2)x+m2-3的图象与y轴交点的纵坐标互为相反数,则m的值为__. 错解:由题设得(1-m)+(m2-3)=0,即m2-m- 2=0,解得m=2或m=-1. 剖析:当m=2时,m2-4=0,则函数y=(m2-4) x2+3x+1-m不是二次函数,所以还应结合m2-4≠0、m2-2≠0,即m≠±2、m≠±2~(1/2).     

用待定系数法探索不等式问题的解题思路

在解不等式问题时 ,调整系数、拆项、补项是常用技巧 .但调整系数、拆项、补项时 ,既要考虑不等式的结构 ,又要符合相关要求 ,难以直接确定 .此时若用待定系数法 ,就可兼顾几方面要求 ,只需求出待定系数就行了 .例 1　已知 :1≤ 3x+2 y≤ 3,2≤ x+3y≤5 ,求 5 x+8y的取值范围 .分析　用 3x+2 y及 x+3y将 5 x+8y表示出来是解题的关键 .设 5 x+8y=m(3x+2 y) +n(x+3y) =(3m+n) x+(2 m+3n) y(m,n为待定系数 ) .由 3m+n=5 ,2 m+3n=8,解得 m=1,n=2 .解　 5 x+8y=(3x+2 y) +2 (x+3y) ,∵ 2≤x+3y≤ 5 ,∴ 4≤ 2 (x+3y)≤ 10 .又 1≤ 3x+2 y≤ 3,∴ …     

解决二次根式问题中的数学思想

数学思想是解决数学问题的金钥匙,在解决二次根式的有关问题时,常用到如下几种数学思想: 一、方程思想 例1已知实数x、y、m满足√x+2+|3x+y+m|=0,且y为负数,则m的取值范围是(). (A)m＞6 (B)m＜6(C)m＞-6 (D) m＜-6 解析:由二次根式、绝对值的非负性,结合非负数的性质可知,√x+2=0,|3x+y+m|=0. 即｛x+2=0,3x+y+m=0. 解得｛x=-2,y=6-m. 因为y为负数,则有6-m＜0,解得m＞6. 故答案选A. 二、类比思想 例2(1)计算√8-3√1/2+√2=——; (2)计算4√1/2+3√1/3-√8的结果是().     

圆锥曲线与方程错解剖析

∴ba22=14,即a=2b.设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则d2=x2+(y-32)2=a2(1-yb22)+y2-3y+49=-3(y+12)2+4b2+3.∴当y=-12时,d2有最大值,从而d也有最大值.∴4b2+3=(姨摇11)2,由此解得b2=2,a2=8.∴所求椭圆的方程为x82+y22=1.剖析本题错在由当y=-12时,d2有最大值,这步推理没有考虑到b的取值范围.事实上,由于点(x,y)在椭圆上,所以有-b≤y≤b,因此在求d2的最大值时,应分类讨论.若b<12,则当y=-b时,d2有最大值.于是(姨摇11)2=(b+32)2,从而解得b=姨摇11-23>21,与b<21矛盾.所以必有b≥12,此时当y=-12时,d2有最大值,从而4b2+3=(姨摇11)2,解得b2=2,a2=…     

巧求取值范围一例另解赏析

正在《中学生数学》杂志上《巧求取值范围一例》一文研究了"已知实数x、y满足x2-xy+y2=1,求x2-y2的取值范围"的解法,其解法如下:设x=m+n,y=m-n,则m2+3n2=1,∵m2+3n2≥23~(1/2)|mn|(当且仅当m2=3n2时取等号),     

探究题的解答方法与技巧

由给定的已知条件探究相应结论 ,或由给定的结论反溯具备的条件 ,或者有意改变已知条件或结论的某个部分考查整个命题会产生什么变化等等 ,这种题型通常叫做探究题。解答这类题常用代入法、消元法、特例法、反证法、数形结合法等。例 1.已知方程组 3x2 + 5 y2 =15y=mx 的一组解为x=α,y=β;方程组 3x2 + 5 y2 =153x- 5 my=0 的一组解为 x=γ,y=δ。当 m变化时 ,α2 + β2 + γ2 + δ2的值是多少 ?解 :由已知得 3α2 + 5β2 =15 ,β=mα,解得 α2 =15 / (3+ 5 m 2 ) ,β2 =15 m2 / (3+ 5 m2 ) ;再由 3γ2 + 5δ2 =15 ,3γ- 5 mδ=0 ,解得 γ2…     

二次根式中考题练习（配合人教版）

1.5一ZV尸石的倒数是 2.下列各组代数式中,互为有理化因式的是(). A.oV万+3与3一。V万B.l一甲万与、几乏石 C.V石.十V尸丐一与一V几不一丫万D.2一、爪万与、厂万一2 3.下列二次根式中,不是最简二次根式的是(). A .V万B二、伍不互c.讥万二芬D.竺互 4 4.若爪、·为有麟,且。+、·儒=m+几。,则。一 5.已知a=V了一甲石~,b=丫了+V下.,则。与b的关系是( A.二b B.。一b c.二生D.a=一生 6.若实数2+、厂了的整数部分为x,小数部分为y,求代数式 2 x一y+— y 的值. 7.已知2相似文献   

二次函数中的多解与漏解

在学习二次函数时,由于概念不清、忽视条件(包括隐含条件)、考虑不周、审题不严等方面的原因,在解题中易产生多解与漏解的现象,现举数例.例1(2004年巴中市)抛物线y=mx2-3x+3m+m2经过原点,则m=.错解:由题设可得3m+m2=0,解得m=0或m=-3.评析:当m=0时,函数为一次函数,应将m=0舍去,从而m=-3.例2(2005年东台市)已知二次函数y=(m+2)x2+6x+m2-5与y轴交于点A(0,4),且函数有最大值,则m=.错解:由题意可得m2-5=4,m=±3.评析:因函数有最大值,则m+2<0,所以m<-2,应将m=3舍去,从而m=-3.例3(2004年北流市)已知抛物线y=x2-(k-1)x-3k-2与x轴交于A(x1,0),B(x2,…     

这样的图形存在吗?

题:已知平行四边形相邻两边的长是7和3,两对角线的锐夹角是60°,求其面积。解如图,设两对角线的长是2x和2y,则有 7~2=x~2+y~2-2xycos120°① 3~2=x~2+y~2-2xycos60°②①-②得 4xycos60°=40,xy=20。平行四边形面积 S=4·(1/2)xysin60°=20(3~(1/2))。解法看来有点巧,然而错了!这样的平行四边形不存在,解得的结果没有意义。     

巧用增元技巧 妙解代数方程

在数学竞赛中,有些复杂的或具有某种特殊结构的方程用常规方法求解较繁难,但运用增元法可达到化繁为简,快速求解的目的.本文略举几例予以说明.1解整式方程例1解方程x=(x2+3x-2)2+3(x2+3x-2)-2.(1996年四川省初中数学竞赛试题)分析若去括号,会得到一元四次方程,对初中学生来说求解实非容易,故不可取.若注意到括号内整体特征,设y=x2+3x-2,从而将一元方程转化为二元二次方程组,易解.解设y=x2+3x-2,则有x=y2+3y-2,(1)y=x2+3x-2.(2)(1)-(2)得(x-y)(x+y+4)=0.当x=y时,由(2)解得x1,2=-1±3;当x+y+4=0时,将y=-(x+4)代入(2),解得x3,4=-2±2.2解分式方…     

解两个代数方程

一、解方程: (6x+7)~2(3x+4)(x+1)=6解、令(6x+7)~2=y 因(3x+4)(x+1)=1/12(6x+8)(6x+6)=1/12[(6x+7)~2-1] 原方程化成1/12y(y-1)=6 即y~2-y-72=0,解得y=9,及y=-8     

一元二次方程学习要点

一元二次方程是贯穿于初、高中数学的重要知识点,也是中考命题的“热点”,故本文以一些典型题目为例,介绍一元二次方程学习中的要点.一、掌握一元二次方程的三种解法要牢固掌握一元二次方程的配方法、因式分解法和公式法三种解法.例1用换元法解方程2x2-2x2+3x-1姨=3-3x.分析:这是一个无理方程.初中阶段不学习,但用初中知识也可解.解法1(配方法)设y=2x2+3x-1姨,显然y≥0.原方程即为y2-y-2=0.∴(y-12)2=94.解得y1=2,y2=-1(舍去)∴2x2+3x-1=4,解得x1=1,x2=-52.解法2(因式分解法)同解法1,得y2-y-2=0,即(y-2)(y+1)=0.∴y1=2,y2=-1(舍去).下同解法…     

怎样解一次函数与反比例函数的综合题

将一次函数与反比例函数巧妙组合,从而形成有一定难度的综合题,是目前各类考试命题的一个热点,现举几例说明郾例1已知一次函数y=x+m与反比例函数y=m+1x(m≠-1)的图像在第一象限内的交点为P(x0,3)郾(1)求x0的值;(2)求一次函数和反比例函数的解析式郾分析:从两个函数在第一象限内的交点为P这一关键点入手,综合运用所学知识求解郾解:(1)因为点P(x0,3)是一次函数y=x+m与反比例函数y=m x+1的交点,所以有3=x0+m,3=m+1x0郾摇消去m,得3-x0=3x0-1,解得x0=1郾(2)在3=x0+m中,当x0=1时,m=2郾从而一次函数的表达式为y=x+2,反比例函数的解析式为y=3x郾例…     

课后作业参考答案

&#167;7.1 1.设原计划每小时抢修路段的长度为x m. 　　依题意可得4800/x=4800/x(1+20%)+2.解之得x=400.所以每小时抢修路段长为400m. 　　2.(1)设3-y=k/x+1(k≠0),由题意得3-2=k/1+1,所以k=2.故y=3-2/x+1.……     

圆锥曲线的一个共同性质(高二、高三)

我们先研究两个问题: 问题1设S:少一ZPx(P>0),定.氛M(m,0)(m护0),是否存在定点N,使得当过M的直线l交S于A、B两点时,直线AN、BN的料率之和恒为O? 设l:x一勺 m,A(x:,y:),B(x2,y2),则y:,y:为方程少~ZP(勺 m)的两根,整理得 少一2神y一2户刀一0.由于当h一。时,l垂直于x轴,A、B关于x轴对称,故若N存在,则必在x轴上.设N(n,0),则故N若存在,则必在x kAN kBN-轴上.设N(n,0),则一旦生一 一立兰一Xl一n(记(xl一n)(x:一n) XZ一n=C)一告〔y1XZ ,ZX,一(y, ,2)〕一告〔XZ*(Xl一) Xl*(XZ一)- k二~一下二}乙Xl XZ L一成(x; x:一Zm)〕一(m n…     

求函数最值的十种构造方法

一、构造方程例1已知a,b缀R,且a3+b3=2,求a+b的最大值.解设a+b=t,则a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=t(t2-3ab)=2,即ab=t3-23t,所以a,b是方程x2-tx+t3-23t=0的两实根.故驻=t2-4×t3-23t≥0.解得0相似文献   

妙用定比“分点”求一类函数的值域

2火晋(X 1)2‘ 合(二 1)2co一3 对于函数y=f(x),如果能够化为y=巡止』.兰兰互三乏,,,、二,、、*__2且士鑫卫2;、坐寸兴弓一三食三乙(t(x)护一l)就与y=兴一二子兰的 1 t(x)、“、‘产一‘/“,.习,一1 久形式完全相同(只须把t(x)看成久).在数轴上的两点Pl,尸2分别表示m,n.不妨设m相似文献