划分整数集合的相关问题

设集A_1,A_2,…,A_n是集A的非空子集,且满足: (1)A_1∩A_j=(?),(i≠j,i,j=1,2,…,n) (2)A=A_1∪A_2∪…∪A_n。则称(A_1,A_2,…,A_n)为A的一个划分。整数集合的划分在近年数学竞赛中时常出现,其题型通常有两类:一是根据子集应具备的某种特性,讨论划分的存在性;二是根据给定的划分,讨论划分后子集有关特性. 一、求解集合划分问题的基本思路划分一个集合,就是构造这十集合的子集.而这种构造过程经常要综合运用多种数学思想和方法例1 求两个最小的正整数n,使集{1,2,…,3n-1,3n}可以分为n个互不相交的三元组{x,y,z},其中x+y=3z (1990年国家集训队训练题) 解:设所求三元数组为(x_i,y_i,z_i),(i=1,2,…,     

—个有趣的定值命题及其引伸

众所周知,在直角坐标平面内,若点M((?,?))为有限点集{A_1,A_2,…,A_n}的重心,A_i(i=1,2,…,n)的坐标为(x_i,y_i),则有 (?)=1/n sum from i=1 to n(x_i),(?)=1/n sum from i=1 to n(y_i) (*) 据此,我们可以推得一个有趣的命题: 命题1 以平面有限点集的重心为圆心、定长为半径作圆,则此圆上的任一点到该     

任意三角形的方程

定理 设△ABC顶点为A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3),如y_1≥y_2,y_3,则△ABC方程为 |2f_1-2△ |f_2|| |f_2|=2△。 (1)其中△表示△ABC的面积,而     

从简单情形入手

拿到一个数学问题后,所面临的问题便是如何下手.方法之一便是先从原有的问题上“退”下来,退到一个较为简单的情况下来看问题.例1 已知复数集{z_i||z_i|=1;i=1,2,…12}.求证:必存在两个复数 z′和 z~n 使|z′ z″|≥(6~(1/2) 2~(1/2))/2     

2000年莫斯科大学力学数学系入学考试数学试题和解答

试卷 (3月 )1.解不等式|x- 4 |- |x- 1||x- 3|- |x- 2 |<|x - 3| |x- 2 ||x- 4 |.答案 :3相似文献   

Fibonacci数的行列式表示

利用行列式的降阶定理,构造出n阶自相似方阵序列f_n(n=1,2,…),使得其行列式的值|f_1|,|f_2|,|f_3|,|f_4|…,|f_n|,…对应着Fibonacci数1,2,3,5,…,F_n,…     

用解析法求极值

有些极值问题如果用解析法处理,将会简捷易行,下边通过举例说明。 [例1] 已知变量x、y满足等式4y-3x=4,求函数f(x,y)=((x 3)~2 (y-5)~2)~(1/2) ((x-3)~2 (y-6)~2)~(1/2)的最小值。解:如图(一),设二点A(-3,5)、B(3,6),作出4y-3x=4的图象,则本题可化为动点P(x,y)在直线4y-3x=4上移动时,求|PA| |PB|的最小值。求出点A(-3,5)关于直线4y-3x=4的对称点A_1(3,-3),连结A_1B,易知|A_1B|就是|PA|     

一道全国联赛题的多种解法

1992年全国高中联赛二试3题是: 在坐标平面上,横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点,任取6个格点P_i(x_i,y_i)(i=1,2,3,4,5,6)满足: (1)|x_i|≤2,|y_i|≤2(i=1,2,3,4,5,6); (2)任何三点不共线。 试证在以P_1,P_2,…,P_6为顶点的所有三角形中,必有一个三角形的面积不大于2。     

一道数学竞赛题的推广

1987年上海市中学生数学竞赛中有这样一道试题:[1] 正七边形A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7,内接于单位圆⊙O中,P在OA_1的延长线上,且|OP|=2,则|PA_1|·|PA_2|…|PA_7|等于多少? 下面我们把这道富于思考性的试题推广成: 定理设正n边形A_1A_2A_3…A_n内接于圆x~2+y~2=R~2,P(rcosθ,rsinθ)为平面上任意一点,则|PA_2|·|PA_2|·…·|PA_n|=(r~(2n)-2r~nR~ncosnθ+R~(2n))~(1/2)。     

关于圆外切多边形的一个定理

定理设边长依次为 a_1,a_2,…,a_k(k≥3)的 k 边形外切于圆,则证明:设 k 边形 A_1…A_k 切圆 O 于点 B_1,…,B_k,(A_iA_(i 1)切圆于 B_i,)且A_iA_(i 1)=a_i(A_(k 1)=A_k),A_iB_i=x_i(i=1,…,k),那么有a_i=x_i x_(i 1)(i=1,…,k,x_(k 1)=x_1),∑a_i=2∑x_i(以下略去求和限),以及     

第六届华罗庚金杯少年数学邀请赛初一决赛试题及答案(1997·5)

一 试 1.解方程||x|-|x-3.1415926|| ||y (11/8)-|2y-7.13||=0. 答 x=1.5707963,y=(1151/600);(1701/200). 2.n是自然数,N=[n 1,n 2,…,3n]是n 1,n 2,…,3n的最小公倍数,如果N可以表示成N=2~(10)×奇数,请回答n的可能值共有多少个?     

解析法证康托尔定理及其推广

本文拟用解析法将康托尔(M.B.Cantor 1829～1920年,德国数学家、数学史专家)定理及其推广介绍如下: 1.引理求一点P(x,y),使到已知多边形A_1A_2…A_n的各顶点A_i(x_i,y_i)(i=1,2,…,n)的距离的平方之和为最小。解:PA_1~2 PA_2~2 … PA_Q~2=〔(x-x_1)~2 (x-x_2)~2 … (x-x_n)~2〕 〔(y-y_1)~2 (y-y_2)~2 … (y-y_n)~2〕=〔nx~2-2(x_1 x_2 … x_n)x x_1~2 x_2~2 … x_n~2〕 〔ny~2-2(y_1 y_2 … y_n)y y_1~2 y_2~2 … y_n~2〕,     

关于凸五边形的一个不等式

定理 设A_1A_2…A_5是凸五边形,记A_iA_(i 1)=a_i,A_iA_(i 2)=m_i(i=1,2,…,5约定A_6=A_1,A_7=A_2),则 sum from i=1 to 5m_i~2相似文献   

一道极值问题的讨论

一、问题: 本文讨论下列问题: (Ⅰ):设P是凸n边形A_1A_2…A_n上(内部或边界上)任一点,x_i是P到A_iA_(i 1)的距离(i=1,2,…,n,A_(n 1)=A_1),求f(p)=x_1 x_2 … x_n的最大值和最小值,并问何时达到最大值和最小值? 二、特例: 先讨论n=3的特殊情形,此时问题(Ⅰ)转化为 (Ⅱ):在△A_1A_2A_3上找一点P,使它到三边距离和为最大、最小。     

sum from i=1 to n x_i~2的性质及应用

函数的极值是数学中常见而且很重要的内,它在实际问题中也有不少的应用。本文借助于理论力学的点滴知识,论证几个结论,用这些定理来解决平方和的极值及其有关问题是十分有益而简洁的。假定有n个质点,它们的质量分别是m_1、m_2、…m_n,分别位于P_1、P_2、…P_n诸点,G点为这些点的重心(质心)。根据理论力学知识,下述两个引理明显是成立的。引理一:在直角坐标系中,重心(质心)的坐标为: X_G=sum from i=1 to n(m_i x_i)/sum from i=1 to n(m_i) y_G=sum from i=1 to n(m_i y_i)/sum from i=1 to n(m_i) Z_G=sum from i=1 to n(m_i z_i)     

三角形的重心式方程

对任意△ABC,以中线AD为x轴,重心为原点建立坐标系,其三顶点为A(2p,0),B(3pq-p,3pr),C(-3pq-p,-3pr)(p,r>0),则此重心式方程为 |3rx-3qy |y|| |y|-rx qy-4pr=0。 ①由此易知三边的方程: AB,AC:rx-(q1)y-2pr=0,     

三角形的费马点式方程

设△ABC的最大角小于120°,F为其费马点,又设FA=p,FB=q,FC=r。那么,以F为原点,FA为x轴正方向建立坐标系,可得△ABC的费马点式方程: |3~(1/2)x |y|| |y| ax by c=0, ①其中-(3~(1/2))相似文献   

一道几何题的多种证法

题 如图所示,在矩形ABCD中,A_1E∥AB,AA_1=A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=A_4D=a,AB_1=B_1B_2=B_2B=3~(1/2)a, 求证:∠B_1A_1E     

函数、导数与不等式综合练习

一、选择题1.已知{x|x2-1=0}A{-1,0,1},则集合A的子集个数是().A.3B.4C.6D.82.已知全集I=R,集合M={x|x2-3x-4<0},N={x||x-1|>2},则M∩IN=().A.{x|31是|a+b|>1的充分而不必要条件,命题q:函数y=|x-1|-2的定义域是(-∞,-1]∪[3,+∞)则().A.“p或q”为假B.“p且q”为真C.p真q假D.p假q真4.将奇函数y=f(x)的图像沿x轴的正方向平移2个单位,所得的图像为C,又设图像C′与C关于原点对称,则C′对应的函数为().A.y=f(x+2)B.y=f(x-2)C.y=-f(x+2)D.y=-f(x-2)5.设a>0,…     

拟欧氏空间R_2~4中类空曲面的Gauss映射

本文应用研究R~4中曲面的类似方法,讨论拟欧氏空间R_2~4的类空曲面,证明了这类曲面的平均曲率函数|H|和Gauss映射G(f_1,f_2)所满足的二阶偏微分方程,并应用Gauss映射以G(f_1,f_2)给出了这类曲面一般表示公式.1 拟欧氏空间R_p~(2 p)中类空曲面的Gauss映射