化整为零,各个击破--化斜三角形为Rt△求解

在新课标下的初中数学教材中,只介绍了解直角三角形,而在我们的学习、生活实际中经常遇到15°、75°、105°、120°、135°的斜三角形,这类问题往往可以通过作三角形某边的高,把斜三角形转化成直角三角形来解.这种化整为零、化一般为特殊的策略,可起到化难为易的作用,收到事半功倍的效果.举例说明如下.例1如图1,在△ABC中,BC=4,∠A=45°,∠C=75°,求AB边的长.分析:因为∠A=45°,∠C=75°,所以∠B=60°,故△ABC不是直角三角形.我们可以作AB边的高,将75°角分解成30°和45°的角,把问题转化在30°和45°角的两个直角三角形中来解.解:过…     

运用发散思维求15°角的三角函数值

含30°、45°、60°角的直角三角形中,各边之间的数量关系很容易求出来,运用发散思维,把上述三种三角形的边的数量关系转化为含15°角的直角三角形的各边之间的数量,就能顺利求出15°角的三角函数值.一、借助含30°角的直角三角形方法一如图1,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,AC=1,延长CB到D,使BD=AB=2,则∠D=∠BAD=15°,BC     

谈tan15°的求解

不查表,求15°的三角函数值是初三数学课本的一道题目,此题解法颇多,总的思路就是添加辅助线构造出含15°的直角三角形.因15°角与30°,45°,60°,90°有着一定的关系,所以可以借助这些特殊角来添加辅助线.本文以求tan15°的值为例,对其辅助线及解法做一归纳.在Rt△ABC中,∠C=9     

活力四射的45°角

<正>45°角是平面几何中的一个特殊角,尽管其最直接相关的图形是等腰直角三角形,但当45°角与其它图形恰当"组装"时,打造出的数学问题也同样精彩纷呈.一、活跃在三角形中的45°角例1 (2018年深圳中考题)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,BE平     

直角三角形的一个新性质及应用

<正>直角三角形是一类基本图形,它的一些重要性质已被大家所熟知,本文再给出一个关于直角三角形内切圆的新性质.定理在Rt△ABC中,∠C=90°,设BC=a,AC=     

当特殊角遇上K字型

<正>30°,45°,60°角在初中数学几何图形中一直扮演着重要的角色,我们称之为特殊角.当直角三角形中含有某个特殊角时,三角形的三边长便存在特殊的比例.抓住这一点,通过构造含特殊角的直角三角形,进而构造K字型三角形全等或相似,可以帮助我们解决很多几何难题,且操作方便,计算简单,起到化繁为简,化难为易的效果.下面举例说明.例1 (2017年金华中考题)如图1,已知     

例说以θ＝35°为临界角的一组物理问题的解析

在我们研究的物理问题中。很多时候会与角度有关,而通常为讨论问题的方便会取一些特殊角,如θ=30°,θ=45°,θ=60°,还有θ=37°（或θ=53°）等．其中θ=37°（或θ=53°）是讨论矢量运算时的平行四边形定则最好的实例．即满足勾三股四弦五的直角三角形,而另外的那些大量使用到的特殊角,     

含有120°内角的三角形的几个性质

掌握几何基本图形的性质是学好几何的关键,特别是含有特殊角的基本图形,比如含有30°内角的直角三角形和含有45°内角的直角三角形等,常常对我们解决一些较为复杂的平面几何问题具有重要帮助.一些较难的几何问题,往往可以通过"添辅助线"或者进行"各种变换",转化为含有特殊角的基本图形而得到解决.考虑到120°角具有很好的特殊性,近期笔者结合三角形的外心、垂心、内心对含有120°内角的三角形作了一些探究,得到了一些有趣的性质.     

巧构图形求15°正切值

正三角函数是初中阶段解直角三角形的重要工具,对于一些特殊的三角函数,例如30°、45°、60°,都可以通过特殊角度的直角三角形来求其三角函数的值.而对于15°和75°这样的三角函数,由于未学到高中的半角、倍角公式,所以解决起来有一定的困难.本文拟通过构造含15°角的直角三角形,介绍15°角正切值的不同求法,以达到启迪学生,提高解题能力的目的.     

构造图形求sin15°的值

正在解直角三角形中,根据锐角三角函数定义及勾股定理便可求出30°,45°,60°的四个锐角三角函数值。受此启发,我们可用多种方法来构造直角三角形,从而推导出sin15°的值。方法一:如图1,作Rt△ABC,使∠A=30°,作角平分线AD,过点D作DE⊥AB于点E,则DE=DC。     

利用“割补”化斜为直

<正>在实际问题中,我们经常会遇到斜三角形的问题,这时可通过"割"或"补"的方法,将斜三角形恰当地转化为直角三角形进行解答.例1如图1,在△ABC中,∠A=30°,tan B=3^(1/2)/2,AC=23(1/2)/2,AC=23^(1/2),求AB的长.分析∠A=30°,由tan B=3(1/2),求AB的长.分析∠A=30°,由tan B=3^(1/2)/2知,∠B不是特殊角,故可知△ABC不是直角三角形.而欲求AB的长,需用到AC、∠A和tan B,因此,需构造直角三角形把∠A、∠B化为直角三角形中的角,然后运用各元素之间的关系求解.解如图1,过点C作CD⊥AB,垂足为D.在Rt△ABC中,     

巧用特殊条件“补形”

很多几何题的解决都依赖于添置辅助线 ,其中通过“补形” ,将一些不规则的图形转化为规则的基本图形 ,特别是转化为一些特殊的图形 ,然后再利用它们的特性来解题 ,充分体现了转化思想、化归方法的妙用 .一、巧用 60°角构造直角三角形或等边三角形例 1　已知 :如图 1 ,在四边形ABCD中 ,∠A =60°,∠B =∠D =90°,BC =1 ,AD =2 .求 :四边形ABCD的面积 .解　 分别延长AB、DC ,设交于点E ,∵∠A =60° ,∠D =90°,∴∠E =30°.在直角三角形ADE中 ,∵AD =2 ,∴AE =4,DE =2 3,在直角三角形BCE中 ,∵BC =1 ,∴BE =3,S四边形ABCD…     

《三角形》练习题

(总分:120分,时间:90分钟)一、认真选一选(每题3分,共30分)1.如图1所示的图形中,具有稳定性的是().2.能构成如图2所示的基本图形的是().3.符合∠A=21∠B=31∠C的条件的△ABC是().A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形4.已知等腰三角形的一个角为75°,则其图1图2顶     

“双等腰直角三角形”模型在解题中的应用

<正>等腰直角三角形是几何中常见的基本图形,而以两个等腰直角三角形为背景的几何问题也屡见不鲜.解决此类问题时,如果我们能抓住这个模型及模型中的常见结论,则可实现问题的有效突破.一、"双等腰直角三角形"模型呈现如图1,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,点E,F分别是AB,AC上的点,且AE=CF,连结DE,DF,EF,则有如下结论:     

构造直角三角形解几何计算题

直角三角形是一种特殊的三角形,它具有许多重要性质,特别是勾股定理及其逆定理在初中数学中有着广泛的应用,因此根据问题的图形特征,添加适当的辅助线,巧妙构造直角三角形,往往能够迅速找到解题途径.现略举几例解析如下:例1如图1,△ABC是边长为2的正三角形,E是AB边的中点,延长BC至D,使CD=BC,连接ED,求ED的长.解:连接AD,因为AC=CD,所以△ACD是等腰三角形,所以∠ADB=∠DAC,因为∠ACB=∠ADB ∠DAC,而∠ACB=60°,所以∠ADB=30°,又∠B=60°,所以∠BAD=90°,则△BAD是直角三角形,所以AD2=BD2-AB2=42-22=12,在Rt△EAD中…     

提炼几何模型 探索基本结论——以等腰三角形为基本图形的一类几何问题的解法及基本结论

<正>1试题呈现例1(2017年武汉市中考数学第15题)如图1,在△ABC中,AB=AC=23^(1/2),∠BAC=120°,点D、E都在边BC上,∠DAE=60°,若BD=2CE,则DE的长为___.本题以等腰三角形为基本图形,主要考查学生几何推理与几何计算能力.本题的图形虽然简单,但考查的知识点较多,主要涉及等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的判定、勾股定理、图形的旋转变换或轴对称变换等知识点,综合性较强,对学     

巧寻30°角解题

我们知道,30°是一个重要而又特殊的角度.特别是当一个直角三角形中含有30°的角时,它有一个特有的性质:“在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.”在许多情况下,若能根据题设条件,及时发现或构造出含30°角的直角三角形,往往能使求解过程从山穷水尽走向柳暗花明.现举例说明.     

三角板与角的有关计算

三角板是同学们学习数学不可缺少的工具,我们使用的三角板是两个特殊的直角三角形.其中一个是等腰三角形,它的三个内角分别是45°,45°,90°;另一个三角形的三个内角分别是30°,60°,90°.学习了直角三角形的有关概念和三角形内角和定理后,将一副三角板拼在一起,构成某一图形,进行角度计算,不仅能提高我们的计算能力,而且有助于培养我们的动手操作能力和空间想象能力.现举例如下.     

直角三角形中的两个重要结论

直角三角形中有很多重要的结论,其中有两个要记住并不难,而应用却非易事.这两个重要结论根据内容可以概括为两个“一半”:(1)在直角三角形中,30°角所对的直角边是斜边的一半.(2)在直角三角形中,斜边上的中线是斜边的一半.不要小看它们说的只是“一半”,它们在实际应用中作用大着呢!例1如图△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°.求证:BD=14AB.分析:要注意寻找30°角所对的直角边.在Rt△ABC中,∠A=30°,∴BC=12AB.在Rt△BCD中,∠BCD=30°,BD=12BC.∴BD=14AB.例2在△ABC中,AB=AC,AB=2a,∠B=15°,则AB边上的高CD=.分析:依…     

巧妙构图 tan15°

如何求 tan 15°?学生时常为这个问题所困扰,笔者经研究发现:利用特殊角(30°,45°和60°)之间的关系巧妙地构造几何图形,不难找到一些简捷、精当的方法,下面以含30°的直角三角形为基本图形,商榷几种求 tan 15°值的方法.基本图形:如图1,在Rt△ABC 中,∠C=90°,∠ABC=30°,AC=1.基本结论:AC:BC:AB=1:3~(1/2):2,即 AB=2,BC=3~(1/2),∠A=60°.1 以30°角为顶角,构造等腰三角形方法1:如图2,延长 BC 至 D 点,使 BD=AB,连结 AD.由作法可知,BD=AB=2,∠CAD=15°.所以CD=BD-BC=2-3~(1/2).