三角形面积的巧用

例1 已知D、E、F依次为△ABC的边BC、CA、AB的中点,AD BE、CF相交于G点,且△ABC的面积为1,求△AGE的面积.     

2007年第1期问题解答

73.在直角△ABC中,AD为斜边BC上的高,∠C的平分线分别交AB、AD于E、F,点H在AC上.求证:A、E、D、H四点共圆的充分必要条件是HF∥BC.     

2007年全国高中数学联赛加试题解答集锦

一、(本题满分50分)如图1,在锐角△ABC中,AB相似文献   

两道国外竞赛题的几何证法

笔者在阅读文[1]、[2]时,看到有两道赛题的三角证法非常漂亮.本文介绍这两题的另一种证法——几何证法. 题1如图1,设AD是△ABC的高线,以BC为直径与点A同侧的半圆分别交AB、AC、AD于点F、E、X,△DEX的外接圆与BC交于点L(与点D不重合),△DFX韵外接圆与BC交于点N(与点D不重合).     

数学奥林匹克问题

本期问题 初299如图1,已知△ABC的内角平分线AD与BC交于点D,点E在AB上,且AE=AC,点,在AC的延长线上,且AF=AB,过点E、F分别垂直于AB、AC的直线与过点D垂直于AD的直线分别交于点P、Q,PG⊥BC于点G,QH⊥BC于点H.求证：BG=CH．     

一个几何定理的简证与推广

《中学数学教学》1994年第2期刊载了《关于三角形垂心性质的一个定理)一文,提出了如下定理和引理.定理 锐角三角形中,D、E、F是BC、CA、AB上的点,AD、BE、CF交于O,若O为△DEF的内心,那么O是△ABC的垂心.引理 D、E、F分别为锐角三角形边BC、CA、AB上的点,AD、BE、CF交于一点O,若DO平分∠FDE,则AD⊥BC.     

数学奥林匹克问题

本期问题 初73.△ABC为⊙O内接三角形,AB>AC>BC.点D在BC上,从O点分别作AB、AC的垂线交AD于E、F,射线BE、CF交于P点.当PB=PC PO时,试问∠BAC     

利用对称性证明几何不等式

例1如图1,在△ABC中,AB>AC,AD是BC边上的中线.求证:∠BAD<∠CAD.图1分析注意到AD是BC边上的中线,中线加倍是常见的添辅助线的方法.然后把研究对象集中在△ABE中,由大边对大角,将问题得以解决.证明延长AD到点E,使DE=AD,连结BE,则D是△ADC与△EDB的对称中心,BE=CA,∠E=∠CAD.∵AB>AC,∴AB>BE,∴∠BAD<∠E,从而∠BAD<∠CAD.例2如图2,在△ABC中,D是BC边的中点,ED⊥DF,EF分别交AB、AC于E、F两点.求证:BE+FC>FE.图2分析能否将BE、FC、EF移到同一三角形考察线段不等关系?利用对称性作图是可以实施的,于是问…     

梯形的三个性质

性质1 梯形ABCD的对角线AC、BD交于G,过G点作底边的平行线交两腰AB、CD于E、F.求证:1/(AD) 1/(BC)=2/(EF) 证明:如图1,AD//EG// BC,△BEG     

一道考题的解法研究

题目 如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,点O是AC边上一点,连接BO交AD于点F,OE⊥OB交BC边于点E．     

2007年全国高中数学联赛加试题另解

第一题 在锐角△ABC中,AB〈AC,AD是边BC上的高,P是线段AD内一点,过P作PE⊥AC,垂足为E,作PF⊥AB,垂足为F,O1、O2分别是△BDF、△CDE的外心．求证：O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为P是△ABC的垂心．     

数学问题与解答 2014年第2期问题解答

906．在△ABC中，∠BCA=90°，AD⊥BC于点D，点F1、F2是AC上的两点，且∠ABF1=∠CBF2，BF1、BF2分别交AD于点E1、     

三角形的一个面积公式的应用

结论 如图1，△ABC中，B、C两点之间的水平距离是h，过点A作铅直直线交BC于D，则S△ABC=1/2AD·h. 证明 过点B、C分别作AD的垂线BE、CF，垂足分别是E、F，     

一道平面几何奥赛题的简证

题目如图1,在△ABC中,AB=AC,M是BC的中点,D、E、F分别是BC、CA、AB上的点,且AE=AF,△AEF的外接圆交线段AD于点P.若点P满足PD~2=PE·PF,证明:     

数学问题与解答 2005年第10期问题解答

656.在非直角△ABC中，AD土BC，BE 土AC，CF上AB，垂足分别为D、E、F，设 △ABC、△DEF外接圆半径分别为R、Ro， 求证:R=2R0. 证:如图1，对于锐角△ABC，设H为 △ABC的垂心.由B、C、E、F四点共圆，得 乙AEF=乙ABC.…△AEF的△ABC， EF AE BC一AB‘ 证:由Ix。 2}=了1 (x 功2平方     

07年第1期问题

73．在直角△ABC中，AD为斜边BC上的高，∠C的平分线分别交AB、AD于E、F，点H在AC上．求证：A、E、D、H四点共圆的充分必要条件是HF／／BC．     

数学奥林匹克问题

初213 如图1，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．求证：EG〈EF．     

关联五个三角形外接圆半径的一个不等式

定理设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,并且AD、BE、CF相交于一点,若记△ABC、△DEF、△AEF、△BDF、△CDE的外接圆半径分别为R、R0、R1、R2和R3,则R≥2（R1R2R3/R0）^1/2.等号当且仅当D、E、F分别为BC、CA、AB的中点时成立.证明:如图,在△AEF和△ABC中分     

2007年全国高中数学联赛加试题解答集锦

一、（本题满分50分）如图1,在锐角△ABC中,AB〈AC,AD是边BC上的高,P是线段AD内一点．过P作PE⊥AC,垂足为E,作PF⊥AB,垂足为F．O1、O2分别是△BDF、△CDE的外心．求证：O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为P是△ABC的垂心．     

第46届IMO第5题的推广

试题：给定凸四边形ABCD，BC=AD，且BC不平行于AD，设点E和F分别在边BC和AD的内部，满足BE=DF，直线AC和BD相交于点P，直线EF和BD相交于点Q，直线EF和AC相交于点尺．求证：当点E和F变动时，△PQR的外接圆经过除点P外的另一个定点．[第一段]