以本为本 凸显数学本质

<正>一、试题呈现江苏凤凰科学技术出版社九年级数学上册P93页第16题.如图1,在△ABC中,∠C=90°,⊙O是△ABC的内切圆,切点分别为D、E、F.若BD=6,AD=4,求⊙O的半径.(2018年南京市中考数学题)下面是小颖对一道题目的解答.题目如图2,Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D,AD=3,BD=4,求△ABC的面积.解设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F,CE的长为根据切线     

一个有趣的平几公式

本文先证明笔者最近发现的一个平几公式,即: 定理1 已知△ABC,BC边上的高为h,N为BC边内一点,△ABN与△ANC的内切圆半径分别为r_1、r_2,则△ABC的内切圆半径r满足 r=r_1 r_2-2r_1r_2/h_1 (1). 在证明定理1的时候需要用到一道已知的平几题,即 辅助命题 在△ABC中,内切圆⊙I与BC、CA、AB三边分别切于D、E、F,DIK为⊙I的直径,直线AK交BC边于C,则BG=CD.     

巧用面积守恒法求内切圆半径

<正>苏科版教材九年级上册《中心对称图形(二)》中有这样一道练习题:如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB、BC、CA的长分别为5、3、4.求△ABC的内切圆半径r.分析连结OA、OB、OC,将△ABC分成三个小三角形△ABO、△BCO和△ACO(如图2).这三个三角形都具有下列特征:即分别以△ABC的三边AB、BC、AC为底,其边上的高都为内切圆的半径r,则可用面积守恒来解决问题.     

对一道教材习题答案的完善

人教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级上册第112页第14题如下:如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB、BC、CA的长分别为c、a、b,求△ABC的内切圆半径r.中学数学课程研究中心编著的《教师教学用书》第     

一个有趣平几公式的三角证法

《中学数学》(苏州)1996年第9期《一个有趣的平几公式》一文介绍了一个新发现的颇为有趣的平几公式,本文将巧用三角法提供一种别致的证明. 定理 已知△ABC,BC边上的高为h,N为BC边内一点,△ABN与△ANC的内切圆半径分别为r_1,r_2,则△ABC的内切圆半径r满足     

与费马点有关的又一不等式

命题设max(A,B,C)<120°,点P是△ABC内的费马点(即△ABC内满足∠BPC=∠CPA=∠APB=120°的点),BC=a,CA=b,AB=c;△ABC的内切圆半径为r,点P到三边BC、CA、AB的距离分别为r_1、r_2、r_3,则有a~2r_1 b~2r_2 c~2r_3≥1/3(a b c)~2·r (1) 等号成立当且仅当△ABC为正三角形。证明:记PA=u,PB=v,PC=w;△ABC、     

关于费尔马点的一个不等式

设P是△ABC内部满足∠BPC=∠CPA=∠APC=120°的一点,则称点P是△ABC的费尔马点。 定理 设P是△ABC的费尔马点,点P至边BC、CA、AB的距离分别为r_1、r_2、r_3,△ABC的内切圆半径为r.则有 r_n r_2 r_3≤3r.(1) 证明:记BC=a,CA=b,AB=c,PA=R_1,PB=R_2,PC=R_3,则有 a~2=R_2~2 R_3~2 R_2R_3, (2) b~2=R_3~2 R_1~2 R_3R_1. (3) 不妨设a≥b≥c.则可证     

数学问题与解答 1986年第5期问题解答

106.△ABC的三条中线AD、BE、CF将其分成六个小三角形,这六个三角形的内切圆半径按逆时针方向排列依次为r_1,r_2,r_3,r_4,r_5,r_6,试证: 1/r_1-1/r_2 1/r_3-1/r_4 1/r_5-1/r_6=0. 证:设△ABC的重心为G,面积为1,显然被分成六个小三角形的     

关于Carlitz—Klamkin不等式

1971年,S·Reich提出.设r_1、r_2、r_3分别为△ABC内任意一点P到各边的距离,△ABC的内切圆半径为r,证明或否定:1/r_1 1/r_2 1/r_3≥3/r1972年,L·Carlitz指出这个不等式不成立,并证明了     

去异求同 启迪思维——从一道题目两种结果说开去

人教版九年级数学上册103页有这样一道题目:如图1,Rt△ABC中,∠C=90°,AB,BC,CA的长分别为c,a,b,求△ABC的内切圆半径r学生在作业中出现如下两种解答方法:解法1:如图1,设三个切点分别为D,E,F,作过切点的半径OD,OE,OF,则OE⊥4C,OD⊥BC,OF⊥AB.∵∠C=90°,∴四边形ODCE是正方形.     

三角形面积公式的一种新的证明

本文利用一个三角恒等式证明三角形的面积公式b,c为△ABC的三边长,p=1/2(a+b+c)是半周长,S是面积. 证明:如图1,⊙I是△ABC的内切圆,半径为r.在Rt△IFA中.tan A/2=IF/FA=r/(p-a)同理tanC/2=r/(p-b), tanC/2=r/(p-c). 证明中要用到三角恒等式tanA/2·tanB/2     

三角形内点到边的距离的两个不等的再加强

本文约定 △ABC的三内角及其所对的边长,内切圆半径,外接圆半径,半周长,面积分别记为A、B、C、a、b、c、r、R、s、△,△ABC的内部任一点到其三边BC、CA、AB的距离分别是r_1、r_2、r_3。     

一道三角形面积最小值问题的解法研讨

题目已知△ABC,∠A=π/3,内切圆半径为1,求ΔABC面积的最小值.这是2020年12月河北衡水中学模考试题第17题,笔者给出它的多种解法,供大家学习.解法1:如图1,设△ABC的内切圆圆心为I,圆与三边的切点分别为D,E,F,由切线长定理可得∠FAI=π/6,AE=AF=√3,设三角形三边长分别为a.     

一道CMO试题的不同证法

原题（2006年中国数学奥林匹克）Rt△ABC中,∠ACB-90°,△ABC的内切圆⊙O分别与BC、CA、AB相切于点D、E、F,联结AD,与内切圆⊙O相交于点P,联结BP、CP．若∠BPC-90°,求证：AE＋AP=DD．     

关于垂足三角形的一个对偶恒等式

文[1]给出了一个涉及垂足三角形内切圆半径的恒等式:设△DEF是锐角△ABC的垂足三角形,且BC=a,CA=b,AB=c,p=(a b c)/2,△ABC的面积、外接圆、内切圆半径分别为?、R、r,若△AEF、△BDF、△CDE的内切圆半径依次为rA、rB、rC,则cot cot cotA2B2C2r A r B rC=?r??R.(1)本文给出(1)式     

内切圆与外接圆

三角形的内切圆与外接圆有一系列颇为相似的性质。其中最本质的一点可由下列两题来举例表示。题 1 已知△ABC的边BC=a,CA=b,AB=c。求每边被内切圆切点所分成的线段。题2 已知△ABC的各角为∠A,∠B,∠C。求每个角被外接圆半径所分成的角度。     

一个例题的引申变化与拓展应用

一、原题如图,(?)O 是ΔABC 的内切圆,切点分别为 D、E、F,设ΔABC 的周长为 l.求证:AE+BC=1/2l. 证明:连结 OE、OF、OA.∵⊙O是△ABC 的内切圆,E、F 为切点,∴∠AEO=∠AFO=Rt∠.又∵OE=OF,OA=OA,∴△AOE≌△AOF∴AE=AF.同理,BD=BF,CD=CE.     

三圆相关联的一个不等式

定理　若△DEF是锐角△ABC的垂足三角形 ,且BC =a ,CA =b,AB =c,△AEF、△BDF、△CDE的内切圆分别为⊙I1、⊙I2 、⊙I3,其半径依次为r1、图 2r2 、r3,则有 ar1+br2+cr3≥ 1 2 3。证　∵BE⊥AC ,CF⊥AB ,∴∠BEC =∠CFB =90°。又因E、F在BC的同侧 ,∴B、C、E、F四点共圆 ,∴∠AEF =∠B ,∠AFE=∠C ,故△AEF∽△ABC ,∴ EFBC=AEAB=r1r ,其中r为△ABC内切圆半径。在Rt△ABE中 ,cosA =AEAB,故 r1r =cosA ,即r1=rcosA ,同理r2 =rcosB ,r3=rcosC。　　从而 ar1=arcosA =arsinA·tanA =2Rr ·tanA≥4tanA ,R…     

直角三角形的面积与内切圆的关系(初三)

定理直角三角形的面积等于内切圆在斜边上的切点分斜边所成的两线段的乘积. 如图,⊙O是Rt△ABC的内接圆,分别与三角形切于D、E、F三点,∠C=90°.求证S△ABC=AF·BF. 证明因为⊙O是△ABC的内切圆,所以 CD=CE,AF=AD,BE=BF.     

一道冬令营试题的推广

题目在Rt△ABC中,∠ACB=90°,△ABC的内切圆⊙O分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F,联结AD,与内切圆⊙O相交于点P,联结BP、CP.若∠BPC=90°,求证:AE+AP=PD.(2006,中国数学奥林匹克)本文指出,对任意三角形,类似的结论都成立.命题在△ABC中,设内切圆⊙O分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F,联结AD,与内切圆⊙O相交于点P,联结BP、CP.则∠BPC=90°的充要条件是AE+AP=PD.引理1自⊙O外一点A作⊙O的切线AE及割线APD(AP相似文献