一道高考题的解法探究

题目:(2013年全国新课标Ⅰ卷文16题)设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则.解法1:利用辅助角公式辅助角公式:asinθ+bcosθ=     

“2004”趣题四则

1 设f(x) =asin(πx +α) +bcos(πx +β) +4 ,其中a、b、α、β都是非零实数 ,若f( 1991) =5 ,求f( 1992 ) +f( 1993 ) +…+f( 2 0 0 4) 的值 .2 已知y1 =2x ,y2 =2y1 ,y3 =2y2 ,… ,y2 0 0 4=2y2 0 0 3 ,求 y1 ·y2 0 0 4.3 求证 :log2 0 0 3 2 0 0 4>log2 0 0 42 0 0 5 .4 求证 :1+12 2 +13 2 +14 2 +… +12 0 0 3 2 +12 0 0 42 <2 .参考答案1 ∵f( 1991) =5 ,∴asin( 1991π+α) +bcos( 1991π+β) +4 =-asinα -bcosα+4 =5 ,∴ -asinα-bcosβ=1,即asinα+bcosβ =-1.∴f( 1992 ) =asin( 1992π+α) +　bcos( 1992π +β) +4=asinα…     

asinα+bcosα的一个性质及应用

性质　若 sinα与 cosα的一次齐次式asinα+ bcosα满足 asinα1 + bcosα1 =asinα2+ bcosα2 =0 (α1 ≠ kπ+α2 ,k∈ Z) ,则 asinα+bcosα恒等于零 .证明　由条件 asinα1 + bcosα1 =0 ,asinα2 + bcosα2 =0 ,∵α1 -α2 ≠ kπ( k∈ Z) ,∴ sinα1 cosα2 - cosα1 sinα2 =sin( α1 - α2 )≠ 0 ,∴上述关于 a,b的齐次线性方程组只有零解 a=b=0 ,∴ asinα+bcosα恒等于零 .利用上述性质 ,可以使一类三角函数式的求值、化简、证明问题 ,获得简明的解法 ,下面略举几例 ,以示说明 .例 1　求证 :sin( 5π6 - φ) + sin( 5π6 + φ) …     

谈谈公式asinα+bcosα=(a~2+b~2)/(1/2)sin(α+φ)

1　问题的提出2000年全国高考理科考试数学卷的第17小题是这样的:已知函数y=12cos2x 32sinxcosx 1,x∈R.()当函数y取得最大值时,求自变量x的集合;()该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?这道题主要考查了三角函数的图象及变换、二倍角公式、两角和与差的正弦公式及化简变形能力.从答卷情况看,主要的问题在于y=asinα bcosα的化简,下面我们就来谈谈这个公式.1.1　源于课本asinα bcosα=a2 b2sin(α φ)是一道课本例题的结果,反映了添置辅助角的思想,它把asinα bcosα化为一个正弦函数.一般地,对于y=asinα b…     

函数y=a/sinx b/cosx的最小值

本文应用待定系数法和柯西不等式给出下面函数的最小值 .定理　函数 y=asin x bcos x,x∈ ( 0 ,π2 ) ,a,b为正常数 ,则 ymin=( a23 b23) 32 .证明　设 m,n为待定正常数 ,由柯西不等式 ,有( asin x bcos x) ( msin x ncos x)≥ ( am bn) 2 ,1( m2 n2 ) ( sin2 x cos2 x)≥ ( msin x ncos x) 2 . 2由 1 ,2得asin x bcos x≥ ( am bn) 2m2 n2 . 3而 3式中等号成立的条件是 1 ,2式中的等号同时成立 ,即 :amsin2 x=bncos2 x且 msin x=ncos x,亦即 :m=3ak,n=3bk( k>0 ) ,代入 3式整理得asin x bcos x≥ ( a23 b23) 32 .下面举例说…     

一个三角问题的再思考

<正>几乎每年的高考题中,都有涉及asin x+bcos x形式的三角问题.处理这类问题时,我们常用到辅助角公式asin x+bcos x=(a2+b2)～(1/2)sin(x+φ).此法对简化三角问题的处理有积极的作用,但由于涉及辅助角,有时应用不太方便.实际上,对于三角方程asin x+bcos x=     

如何全方位理解sinθ±cosθ?

在数学题目中,我们常见到 sinθ±cosθ的形式,它是asinθ bcosθ形式的特殊情况.如何全方位理解这个形式是解题中灵活运用它的前提,下文通过五个方面来谈谈这个问题.1 可化为y=Asin(wx (?))的形式     

数学擂台 第八回

人间四月芳菲尽,“数学擂台”花正香.期待你来采撷!1.设任意实数x0>x1>x2>x3>0,要使logx0x12004+logx1x22004+logx2x32004>mlogx0x32004恒成立,则m的取值范围是.2.已知f(x)为定义在R上的函数,并且对任意实数x,均有f(x+2)(1-f(x))=1+f(x).若f(1)=2+3姨,那么f(2003)=.3.已知函数f(x)=asin2x+bcos2x+csinxcosx的最大值是2,最小值是-1,求系数a,b,c的值(其中a为整数,b和c是实数).4.△OP1P2为等腰三角形,∠O=∠P1=θ,OP1=1.在直线OP1上取一点P3,使∠OP2P3=θ,再在直线OP2上取一点P4,使∠OP3P4=θ.以下按同样的方式取点P5,P6,….(1)求线段…     

从一道课本例题到一类高考试题--兼谈"辅助角"法在三角解题中的应用

《全日制普通高中教科书·数学》第一册(下)P39例5是一道关于三角函数的证明题:“求证cosα+3sinα=2sin(6π+α)”.这道例题看起来平淡无奇,但实质上内涵丰富,令人回味无穷.从证明方法上看,既可以从左向右证,也可以从右向左证,灵活多变.如果换一个角度思考,还可以将证得的结论进行引申推广,得到:“asinα+bcosα=a2+b2sin(α+),其中tan=ab,称为辅助角,它与点(a,b)同象限”.事实上,asinα+bcosα=a2+b2(aa2+b2sinα+a2b+b2cosα),令a2a+b2=cos,ba2+b2=sin,则asinα+bcosα=a2+b2(sinαcos+cosαsin)=a2+b2sin(α+),并且tan…     

巧用三角代换求无理函数的最值

求无理函数的最值问题 ,若用常规方法求解 ,对于有些题目来说就显得较为繁杂 ,计算量也较大 ,但若根据问题的特点巧妙地用三角代换来求解 ,则可把求无理函数的最值问题转化为求三角函数的最值问题 ,使问题得以简化 ,达到事半功倍的效果 .下面就介绍几类可用三角代换法来求无理函数最值的题型 ,仅供参考 .一、当函数的定义域为x∈ [0 ,a] (a >0 )时 ,可设x =asin2 θ ,θ∈ [0 ,π2 ]【例 1】　求函数y =1-x +x的最大值和最小值 .解 :∵函数的定义域为x∈ [0 ,1] ,∴可设x =sin2 θ ,θ∈ [0 ,π2 ]则原函数可化为y=sinθ +cosθ=2sin(θ+ π…     

二面角两个计算公式的应用

借助空间向量,很容易推导出二面角有以下两个计算公式.(1)如图1,AB、AC、AD是空间自A引出的三条射线,所成角分别为θ1,θ2和θ,可求得二面角B-AC-D的大小(用θ1,θ2和θ的三角函数表示)解:作BC⊥AC于C,DE⊥AC于E,图1则BC和DE夹角度数即为二面角B-AC-D度数.设AB=a,AD=b.BC=BA AC,DE=DA AE,∴BC·DE=(BA AC)·(DA AE).asinθ1bsinθ2cos(BC·DE)=abcosθ abcosθ2cos(π-θ1) acosθ1bcos(π-θ2) acosθ1bcosθ2=abcosθ-abcosθ2cosθ1-acosθ1bcosθ2 acosθ1bcosθ2∴cos(BC,DE)=cosθsi-ncθo1ssiθn1θc2osθ…     

三角函数最值的几种求法

一、利用三角函数的有界性利用正弦函数、余弦正数的有界性:｜sinx｜≤1,｜cosx｜≤1,可求形如y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),(A≠0,φ≠0)的函数的最值.例1.(2000年全国高考题)已知函数y=12cos2x+3√2sinxcosx+1,x∈R,当函数y取得最大值时,求自变量x的集合.解:y=14(2cos2x-1)+14+3√4(2sinxcosx)+1=14cos2x+3√4sin2x+54=12sin(2x+π6)+54.y取得最大值必须且只需2x+π6=π2+2kπ,k∈Z即x=π6+kπ,k∈Z,所以当函数y取得最大值时,自变量x的集合为｛x｜x=π6+kπ,k∈Z｝.二、转化为二次函数例2.求函数y=f(x)=cos22x-3cos2x+1的最值.解:∵f…     

利用三角方程asinx+bcosx=c有解的条件解题

<正> 三角方程asin x+bcos x=c有解的充要条件是利用这一结论,可简捷地解决一些三角函数问题.一、求有关三角函数的值域或最值例1 求函数y=3sin(x+20°)+sin(x+80°)的最大值     

高中物理中的数学方法

物理是数学的分支,要想学好物理,打好数学基础很关键.灵活地应用数学知识,对于解决物理问题显得尤为重要.从物理现象出发,经过分析,把物理问题转化为数学问题,运用数学知识,例如三角公式、函数关系、几何关系等,方能迅速地对物理问题进行求解.一、运用三角公式asinθ+bcosθ=a2+b2sin(θ+α)求解此方法主要根据三角函数sin(θ+α)=±1时,asinθ+bcosθ有最值,且tan例α=1ab.如图1所示,用力F拉一物体在水平地面上匀速前进,物体的质量为m,物体与地面间的动摩擦因数为μ,欲使F最小,则F应与水平图1方向成多大的夹角?最小的力为多大?解析:设F与…     

如何求解如y=3sinχ+4cosχ(χ∈[0,π/6])一类函数的值域(最值)

求形如 y=asinχ+bcosχ且定义域为R的函数的值域(最值)可用特殊角(π/12,π/6,π/4,7π/12)的三角函数值来替换特殊值((6)±(2)/4,1/2,(2)/2,(3)/2)并化成形如 y=Asin(ωx+φ)+κ形式的值域(最值)问题,多数同学都掌握得很好.     

一个三角函数的求值公式及其应用

<正>在三角函数中,我们经常遇到一类形如"已知asin x+bcos x=c,求角x的某(些)三角函数值"的问题.解决这类问题的一般思路是:将条件式与sin~2x+cos~2x=1联立解方程组,求得sin x或cos x,再通过同角三角函数的关系式求得其它三角函数值.这种处理方法虽然思路清晰,但运算量较大,且涉及到开平方对正、负号的取舍,尤其是遇到限制了角     

用构造法解三角题

一、构造函数例1设α、m为常数,θ是任意实数,求证:眼cos(θ+α)+mcosθ演2≤1+2mcosα+m2.证明构造函数y=f(θ)=1+2mcosα+m2-眼cos(θ+α)+mcosθ演2,则只需证明y≥0即可.f(θ)=sin2(θ+α)+2m眼cosα-cosθcos(θ+α)演+m2sin2θ.令sin(θ+α)=x,则得二次函数y=x2+2msinθ·x+m2sin2θ.由于Δ=4m2sin2θ-4m2sin2θ=0,且二次项系数为1,故y≥0,即原不等式成立.二、构造数列例2已知:sinφcosφ=60169,π4<φ<π2,求sinφ、cosφ的值.解由题意可知,sinφcosφ=(215姨13)2且sinφ>cosφ,构造等比数列cosφ,215姨13,sinφ.设sinφ=215姨13·q,c…     

三角函数式的化简策略

三角函数式的化简是三角函数中的一个重点内容,化简的目标是:能求出值的应求出值、三角函数种类尽量少、项数尽量少、尽量让分母不含三角函数、尽可能不带根号、函数次数最低等.由于三角函数式的化简技巧灵活、方法多样,因此本文着重介绍一些常用的化简策略,供同学们学习时参考. 策略1 回到定义 例1 化简(sinθ+sin2θ)/(1+cosθ+cos2θ) 解:设P(x,y)是角θ的终边上一点,为运算方便,令OP=r=1,     

浅谈求解数学中的最值问题

在很多实际问题中 ,我们要面对各式各样的最值问题 ,利用三角函数的最值 ,如正、余弦函数y=Asinx ,y =Acosx的有界性 ,数学中的均值不等式 ,函数的单调性等知识结合起来 ,常常能使问题化腐朽为神奇 ,在解题的思路、技巧上 ,有章可依、有规可寻 ,使问题得到快速、圆满的解决 现举数例加以说明 :例 1:设f (x) =2sinxcosx 52sinx cosx ,x∈ [0 ,π2 ],(1) ,求f (π12 ) ,(2 )求f (x)的最小值 例 2 :求f (θ) 4sinθcosθ - 1sinθ cosθ 1,θ∈ [0 ,π2 ]的最值 上两例是典型的三角函数最值应用题 ,其思路可能是利用正、余弦函数的有界性 |sinx|≤ 1,|cosx|≤ 1或利用均值不等式、或利用函数的单调性 ,经过适当三角变换 ,使问题得到解决 例 1求解如下 :f (x) =2sinxcosx 52sinx cosx =sin2x 522sin (x π4 ),当x =π12 时 ,f (π12 ) =sin π6 522sin π3=6 注意f (x) =1 2s...     

用三角代换求最值

在求某些函数的最大值、最小值时,用三角函数代换可巧妙地求解.这里介绍几种求最值时常用的三角函数代换. 1.若|x|≤1,可令x=sinθ. 例1 求函数y=(1-x~2)~(1/x)的最大值和最小值. 解:函数定义域是-1≤x≤1令x=sinθ,θ∈[-π/2,π/2],则(1-x~2)~(1/2)=cosθ,∴ y=sinθcosθ=1/2 sin2θ∴当θ=π/4即x=2~(1/2)/2时,y_(max)=1/2,当θ=-π/4即 x=-2~(1/2)/2时,y_(max)=-1/2.