数形结合 巧解绝对值之和的最小值

在全国及各省市的初中数学竞赛中,经常出现一类考题：求几个绝对值之和的最小值.这类问题用零点分段法解,求解过程较为复杂,但若能数形结合,把数的问题转化为形的问题,利用图形的直观性则可巧妙解决．下面利用数形结合法,先证明四个相关的结论．     

建构基本模型求解多个绝对值之和最小值

<正>著名数学家华罗庚先生说过:"善于退,足够地退,退到最原始而又不失去重要性的地方,这是学好数学的诀窍."本文以求解多个绝对值之和最小值切入,借助以"退"为"进"思维策略建构基本模型,进而拓展和完善模型,并应用模型解决同类问题.     

构造数轴 巧妙解题

借助数轴可巧解有关问题,现举例如下.一、代数方面1.求最大值例1已知0≤a≤4,那么|a-2|+|3-a|的最大值等于()(A)1(B)5(C)8(D)3解:此题即为在数轴上0≤a≤4的范围内,求出表示数a的点分别到表示数2和数3的点的两个距离之和的最大值.由图1可知,当a=0时,|a-2|=2,|3-a|=3,上述距离之和为最大,最大值为5.故选(B).2.求最小值例2已知x是有理数,则|x+29/251|+|x-100/221|的最小值是.解:构造数轴如图2,其中A、B两点分别表示数-29251和212010.根据绝对值的几何意义,|x+29251|+|x-212001|表示数轴上数x对应的点P到点A和点B的距离之和,易知当P在线段…     

找寻那最初的“模样”——绝对值函数最值问题的探讨

含绝对值的函数在中学数学中是一种较常见的函数,其最值问题在习题和高考中也是屡见不鲜.然而学生遇到这类问题时,往往无从下手,仔细研究后并不是无章可循.笔者对一类含绝对值函数最大值中的最小值从绝对值几何意义角度进行了研究,得出了一个简单、实用的结论,值得推广,以慰读者.     

一类线段长之和的最小值

在平面几何中经常遇到一类求线段长之和的最小值问题，解决的办法是把折线问题转化成直线问题，利用平面内两点间直线段最短的公理，从而求出各线段长之和的最小值，在立体几何中，也有这样一类求线段之和的最小值问题，解决办法首先是将空间问题转化成平面问题．进而将折线问题转化成直线问题，最后利用公理来解决。     

利用min｛a,b｝的积分表示解决一类绝对值不等式

在数学竞赛中,绝对值不等式是不可忽视的一部分,且在很多重要赛事中都有出现(例如,2021年国际数学奥林匹克第二题).本文重点介绍,当同学们在遇到绝对值问题时,有两个重要的恒等式可将绝对值转化为最小值.     

一道莫斯科高考题的解法探讨

题目求二元函数z=|2x-y-1|+|x+y|+|y|的最小值.这是2006年莫斯科大学数学力学系入学考试数学试卷的压轴题,是一道含有绝对值的二元函数的最小值问题,本题别具一格,有很高的原创性和新颖性,有一定的难度.     

坐标法在距离之和最小问题中的应用

<正>求解距离之和最小值问题，可以通过建立直角坐标系将几何问题代数化，从数量关系的角度重新认识原问题，然后转化为求函数的最小值问题，或者再次转化为几何问题去处理.这是“数形结合”思想和“转化与化归”思想的典型应用一、求动点到两定点距离之和的最小值(系数相等型)例1 在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P为线段B₁D₁上的一个动点，     

绝对值插值不等式的推广及应用

本文借助“闭区间套”这一几何直观,将绝对值插值不等式类比推广到多零点的绝对值插值不等式,并运用所得结论解决高考和竞赛中求若干个绝对值和的最小值问题．     

用绝对值不等式求最值

根据绝对值不等式的含义,我们通常可以把含有绝对值的函数用分类讨论的方法化成分段函数求最大值或最小值.这种方法容易理解,但是步骤较为麻烦,对解决小题有“点浪费”.而绝对值不等式反映     

距离之和最短问题探析

距离之和最短问题,常以质点运动为背景,突出转化思想,考查学生的数学建模能力。该类命题一般较为抽象,易给学生布设思考障碍。为此,本文略举几例,试作探析,以求教于广大同行。一、运用数形结合思想进行建模处理例1已知a是数,则|a-2004|+|a-2005|的最小值等于____。解析在数轴上设A、B、P三点分别表示数2004、2005、a,根据绝对值的几何意义可知,     

一道高考选择题的解法及推广

函数f(x)=∑9n=1|x-n|的最小值为().A·190B·171C·90D·45解法1利用不等式|a|+|b|≥|a+b|∵∑9n=1|x-n|≥|x-1+19-x|+|x-2+18-x|+…+|x-9+11-x|+|x-10|=90+|x-10|≥90,当且仅当x=10时所有的等号成立,∴[f(x)]min=90.选C.解法2借助绝对值的几何意义由绝对值的几何意义知:问题即求数轴上x代表的点与1,2,3,…,19代表的点的距离之和的最小值,易知当x≥19时,f(x)=19x-190≥f(19),当x≤1时,f(x)=190-19x≥f(1),因此使函数f(x)取得最小值的x∈[1,19],且此时|x-1|+|x-19|为定值18,故欲使f(x)最小必须且只需|x-2|+…+|x-18|最小即可,由以上推理知…     

巧用非负数解题

有很多同学不理解、也不会解关于非负数的和为0这一类题型。我们知道:常见的非负数有平方数、绝对值和二次根式。非负数之和为0,常见有两大类型:(一)单一型有:(1)平方数之和为0;(2)绝对值之和为0;(3)二次根式之和为0;     

转化法求a+mb型最小值

形如a+mb型的最小值问题既是教的难点,又是学的难点.难在不易找到解此类问题的切入点,其原因是没有形成解决这类问题的一条转化主线.解形如a+mb型最小值问题通常要将项mb用系数为1的等线段去替换,转化为成为有公共点(该点是动点)的系数为1的两条变量线段之和.     

审慎求解二项展开式中系数的绝对值之和问题

赋值法是计算二项展开式中各项系数之和的常用方法,借鉴此法来求解二项展开式中各项系数的绝对值之和时,容易犯一类较为隐蔽的错误.     

用构造法解题

有些数学问题,根据其自身结构的特点,联想已学过的知识加以比较,可以构造成已知知识的模型来解决。 1 构造两点间的距离公式求最值 已知P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)两点,则 例1.1 求函数的最小值. 分析 y的表达式近似两个“点与点的距离”之和.如果能够把问题转化为一个动点到两个定点距离之和(构造两点间的距离公式),则最小值问题也就迎刃而解了。 解 如图1,设点P(x,0),A(0,1),B(2,-2),则y就是x轴上的动点P到两定点A,B的距离之和     

“点的放大”法破解绝对值函数最小值问题

求绝对值函数的最小值历来都受到竞赛、自主招生、高考等命题者的青睐。对于每年都有创新的高考数学安徽卷理科题,求绝对值函数的最小值进入2014年数学命题者的视线。这也成为2014年高考数学安徽卷的一个亮点。     

一道抛物线最值问题的拓展探究

<正>1 缘起题目已知P是抛物线y~2=2x上的一个动点,M(-3,2) ,若F是抛物线的焦点,则的最小值是___.抛物线的最值问题常见于各种模考、高考甚至数学竞赛中,上面就是今年西安市高三联考的一道题.由于以往一般是求抛物线上点到焦点(或准线)的距离与到一定点的距离之和的最小值,而本题是求差的最小值,这引起了笔者极大的兴趣.本文即是笔者对此类问题的探究,不妥之处,敬请指正.2 问题探究此类问题运用代数方法由于含有根式及绝     

绝对值几何意义应用举例

绝对值是初中代数乃至高中代数的重要内容.绝对值的几何意义可以借助数轴加以认识,一个数的绝对值是数轴上表示这个数到原点的距离.如,|a|的几何意义是:数轴上表示数a的点与原点距离.|a-b|的几何意义:数轴上表示数a的点到表示数b点之间的距离.那么|x-a|+|x-b|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a、b两点之间的距离之和.对于一些复杂问题,运用绝对值几何意义求解,直观简捷,事半功倍.     

妙用绝对值的性质解题

由绝对值的概念,我们不难得出绝对值有以下重要性质:(1)正数和0的绝对值是它本身,即非负数的绝对值是它本身.(2)任何一个数a的绝对值都是非负数,也就是说,任何一个数的绝对值都不小于0,即|a|≥0,也就是说绝对值的最小值是0.由此可知非负数有一个重要性质:几个非负数的和为零,则必有每个非负数为零.即若|a|+|b|+|c|=0.则a=