一类条件极小值问题的简捷解法

运用平面几何中点与点,点与直线间距离的两个简单公理,可以简捷地给出一类极小值问题的解法,现分别叙述如下。一、两点间的距离以直线段为最短例1.已知定点A、B和定直线L,在直线L上确定一点,使与点A、B距离之和为最小。     

轴对称与最短路线问题

同学们都知道,平面上两点之间以线段为最短.就是这样一个浅显的道理,在解决最短路线问题时,却起着不小的作用.如在直线L的两侧有A、B两点,试在直线上找一点C,使点C到A、B两点的距离和最小,即BC+AC最小.很显然,连结点A、点B与直线的交点C即为所求     

点P还可以这样来确定

数学中有这样一类最短路径问题模型:在直线l的同侧有两个点A和B,怎样在直线l上找到一点P,使AP+BP的和最短(如图1).解决的办法都是先作一个点A(或点B)关于直线l的对称点A’,连接A’B交直线l于点P,则点P就是所     

动点产生的线段和差问题

正初中阶段,线段和、差的最值问题是一个难点.求解这类问题,关键的在于找出两个"量":一是定点,二是动点或不定点所在的定直线;进而利用"两点之间线段最短"或三角形的三边关系来解决.1求和1.1两定点+一定直线例1(牛饮水问题)牧童在A处放牛,他的家在B处,l为河流所在直线,晚上回家前要先带牛到河边饮水,饮水地点选在何处,牧童所走路程最短.题中定点是A,B两点,饮水点记为P,则P为     

轴对称与最短路线

同学们都知道,平面上两点之间以线段为最短.就是这样一个浅显的道理,在解决最短路线问题时,却起着不小的作用,如在直线l的两侧有A、B两点,想在直线上找一点C,使点C到A、B两点的距离和最小,即AC BC最小很显然,连结点A、点B,AB与直线l的交点C即为所求的点,如图1.     

点的距离之和(差)的最值问题

<正>解析几何中有一类题型是求解动点到两个定点(或动点)之间距离和或差的最值问题.遇到这类问题很多同学会摸不着头脑,本文将对这类问题进行梳理,以找到合适的求解方法.一、利用对称性求和的最小值例1已知直线l:x-2y+8=0和两点A(2,0),B(-2,-4),在直线上l求一点P,使     

轴对称与最短路线

同学们都知道．平面上两点之间以线段为最短．就是这样一个浅显的道理，在解决最短路线问题时，却起着不小的作用．如在直线l的两侧有A、B两点，想在直线上找一点C，使点C到A、B两点的距离和最小．即AC BC最小，     

一个结论的获得与应用

题目 若平面上A、B两点到直线a的距离分别为m、n(m>n),则线段AB的中点O到a的距离为_____. 分析:此题应分为两种情况,如图1.     

与抛物线定义相关的最值问题

<正>与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等.通过抛物线的定义,可以实现由抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离,即点与点到点与线的相互转化.因此,利用抛物线的定义,可以解决两类常见问题:一类是将抛物线上的点到准线的距离利用定义转化为该点到焦点的距离,构造出"两点之间线段最短",使问题得解;另一类是将抛物线上的点到焦点的距离利用定义转化为到准线的距离,利用"与直线上所有     

解析几何中两动点间的距离的最值类型

<正>解析几何中两个动点之间的距离的最值(取值范围)归纳起来主要有四种类型:(1)两个动点在一个圆锥曲线上;(2)两个动点分别在两个圆锥曲线上;(3)两个动点分别在一条直线和一个圆锥曲线上;(4)两个动点在一条直线上.下面通过例子具体谈一谈解析几何中两动点间的距离的最值(取值范围)的四种类型的探求方法.1两个动点在一个圆锥曲线上两个动点A、B在一个圆锥曲线上,求这两个动点     

两个几何公理引起的思考

<正>初中数学教材里有两个重要的公理:一个是"两点间线段最短",另一个是"垂线段最短".它们对于解决动点问题中的路线最短问题是非常重要的工具.教者应多思考、多归纳,引起足够重视.1.计算一个动点问题中的路线最短教材中提出的问题:在一条河l的同侧有张庄A、李庄B,问在河边的什么位置建水泵站,使安装水管的长度和最短?具体做法:如图,作A关于直线l的对称点A′,连接A′B交l于点P,点P为建水泵站的位置.     

例说一类距离最小值问题的求解策略

正在高中阶段,有一种十分常见的最值问题:即所要求解的是曲面上的两点的距离,或者是两条或三条线段构成的折线段的长度,这种问题在解析几何、立体几何中都很常见,一般的处理策略是化曲为直,根据两点之间直线段最短的原理,转化为直线段的长度.1曲面上的距离问题例1图1中,已知圆锥底面圆的半径为1,母线长为3,A点在底面圆上,点B为A点所在的母线的中点,求在圆锥面上A点到B点的最短距离.     

有距离限制的组合几何问题

平面上给定n个点,其两两之间的距离必定存在最大的与最小的。这两个距离在处理数字竞赛中一类有距离限制的组合几何问题时具有独特的作用。本文旨在介绍处理这类问题所涉及的基本知识和解题思路的分析,寻求解题技巧。我们叫平面上给定的n个点的全体为平面点集,记作G。任两点间的最大距离为G的直径,记为d。对于平面点集G,显然有如下事实: 如G的直径是d,则存在A∈G,B∈G,     

探求动点轨迹 破解最值问题

最值问题是近几年中考的热点与难点之一,尤其是一类线段的最值问题备受命题人青睐.这类线段有以下特点:线段的一个端点为定点,另一个端点为动点.解决此类问题的关键是构建动点的轨迹(直线型、曲线型),下面举例说明.1动点轨迹是直线型当动点在线段、射线、直线上运动时,则称动点轨迹为直线型,这样的动点主要有三类:定线定距离、定线定夹角、定点等距离.此时可将“点点距离”转化为“点线距离”,利用“垂线段最短”求解最值.     

利用二次曲线准线解题

圆锥曲线的准线是一条重要的直线,利用它解题,有许多方便之处。 例1.已知点A(1,0)和直线L: x=3,若动点M到点A的距离为m,到L的距离为n,且m n=4,(1)求点M的轨迹,(2)过A作倾斜角为α的直线与M点的轨迹交于P、Q,设d=|PQ|=f(α),求f(α)的解析式。     

最短距离问题的解题策略

正最短距离问题在近几年中考中频繁出现,经常与角、三角形、四边形、坐标轴、抛物线等相结合,学生在解题时常常找不到解题思路.其实常见的最短距离问题归纳起来有四种基本模型,下面结合例题谈谈这一类型题目的解题策略.一、两点一线"两点一线"是指有两个定点A、B和一条直线(如图1和图2),在直线l上取一点P,使AP+BP最短(即两个定点和一个动点).下面分为两种基本模型讨论.     

借助“隐圆”巧解一类中考最值问题

最值问题是数学中比较常见的问题,是在变化中寻求不变,是数与形之间的完美结合.对于一类求一定点和一动点这两点间距离的最小值,可以先找到动点的运动轨迹,再利用一些最值模型解决问题.如当动点在定直线上时,可以利用垂线段最短解决问题;当动点在定圆上运动时,可以利用圆外一点与圆上一点距离的最值模型解决,（如图1,P为⊙O外一点,...     

最短路径问题的应用

人教版《几何》课本第二册第91页有这样一道典型例题:要在河边修建一个水泵站,分别向张村、李庄送水,修在什么地方,可使所用的水管最短? 课本已给出了作法,为便于分析,现将图形抄录如下: 此例所指出的结论是:如图l,在直线z上各点与A、B两点所连成的线段中,以AC+CB为最短(图中A’为A关于直线z的对称点,C为4’B与直线z的交点). 若仔细分析,本例还有如下结论: ①么1一么2;②直线f上各点与A、 图1B连成的三角形中,△ABC是周长最小的三角形I⑧设A、B两点到直线f的距离分别为m,n,作A’曰’∥z,四日’∥AA’,4’B’与胃B’相交于B’,设A…     

“饮马问题”的拓展

问题如图1,A为马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩A牵出马,到笔直的河岸l去饮马,然后回到帐篷B,走什么样的路线最短?解作A点关于直线l的对称点A′,连结A′B,交l于点P,根据对称性,则有PA=PA′,故有PA PB=PA′ PB,由“两点之间线段最短”可知最短的线路为A→P→B.图1图2拓展1如果     

例说数轴上的动点问题

<正>数轴上的动点问题,往往使学生感到棘手.实际上,如果将动点问题"代数化","三招"就可轻松解决常见的问题.第一招:平移规律若数轴上点A表示的数是a,则当点A向左平移t个单位长度时表示的数为a-t;当点A向右平移t个单位长度时表示的数为a+t.简记为:左减右加.第二招:距离公式若数轴上A,B两点表示的数分别是a,b,则A,B两点的距离AB=|a-b|.如果已知A,