一个问题的推广

1问题的提出问题1526:△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c.D、E、F分别是AB、AC、BC上的点.若△DEF为等腰直角三角形,且∠EDF=90°,求△DEF面积的最小值.《数学通报》2005年第1期给出了该问题的解答,本文对该问题进行推广,得到以下定理△ABC中,∠C=θ,BC=a,AC=b,AB=c.D是线段AB上的点,E、F分别是直线AC、BC上的点.若△DEF满足条件:DE∶DF=k(k为正常数),∠EDF=180°-θ,则△DEF面积的最小值是k8abcR(a kb)2sinθ(其中R是△ABC外接圆的半径).(1)当△ABC为锐角三角形时,如图,设∠FDB=α,则∠DFB=180°-(α B).由于…     

比值法在平几中的应用

1.证线段相等 例1.以Rt△ABC斜边AB为直径作圆,过C的切线分别交以AC、BC为直径的圆于DE。求证CD=CE.、~一CD习七巧刁下犷书一.= U乃ACeos匕飞BCeos乙2 ACeos匕3一BCeos匕4A Beos匕4 eos乙3A Beos乙3 eos匕4:。CD=CE.2.证线段的和差倍分间的等式3.证线段的不等关系例2。△ABC的乙A=6。“,求证:ZBC)AB+AC。证设△ABC外接圆半径为R,则 2方CAB+AC2一ZRS in60。ZRs inC+ZRs inB25 in60。25 iflB+C 2COSB一C 2 1=一—一.万刃一.一丁干二〕1。 __O一U- CU吕—.’.2 BC)AB十AC.4.证明线段成比例5.证明线段的等积式…     

利用线段的垂直平分线解题

我们知道,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,反之,到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,线段垂直平分线的这两个特征在处理有关线段或角的问题时运用十分广泛,现举例说明.例1如图1,等腰△ABC中,AB=AC,AB BC=13,AB边的垂直平分线MN交AC于点D,求△BCD的周长.分析:要求△BCD的周长,只需求BC CD BD,而由MN是垂直平分线,可知DA=DB,于是△BCD的周长=BC CD BD=BC AC,于是问题获解.解:因为MN是垂直平分线,点D在MN上,所以DA=BD.于是△BCD的周长=BC CD BD=BC AC=13.说明:这里通过线段的垂直平分线…     

对一道上海中考题的探索(初三)

05年上海市中考数学最后一道题是:在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,O是边AC上的一个动点,以点图1O为圆心作半圆,与边AB相切于点D,交线段OC于点E,作EP⊥ED,交线段AB于点P,交射线CB于点F,     

谈几何教学中模型思想的运用价值及实施探索

<正>一、存在问题常州市2014-2015学年第一学期九年级期末考试中曾经出现这样一道题:"如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,点D是边BC的中点,点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合),沿DE翻折△DBE使点B落在点F处,连接AF,则线段AF长的最小值是."     

构造三角形重心解题

在解一点分线段为二倍关系的几何题中 ,可以构造以该点为重心的新三角形 .利用三角形的重心性质解题 ,有时可以收到很好的效果 ,因为解题是构造性的 ,因此在培养学生的解题能力有很大帮助 :其解法新颖别致、能提高学生的学习兴趣 .1　证线段相等例 1　△ABC中 ,AB =AC ,E在AB上 ,BE =2EA .以AB为直径的圆交BC于D .连AD、CE相交于F .求证 :AF =FD .证明　如图 1,利用BE=2EA ,构造△BGC使E是△CBG的重心 .这样得A是GC中点 ,H是GB中点 .AD⊥BC ,由AB =AC知D是BC的中点 ,因此四边形HDCA为 .由此得AF =FD .图 1　　　…     

三角形内角平分线定理在几何题中的应用

1.证明线段成比例 例1 在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥C,∠ABC的平分线交AD于F,交AC于E,求证:DF:FA=AE:EC.(初中《几何》第二册总复习题18题)。 思路:如图1,由本题结论特点,可寻找第三个比:分别在△ABD和△ABC中应用三角形内角平分线定理,得DF/FA=BD/AB和AE/EC=AB/BC.如果BD/AB与AB/BC相等,问题即解决。由直角三角形比例中项定理可得AB~2=BD×BC,即BD/AB=AB/BC.     

证明线段平方问题的好帮手

勾股定理是数学学习中一个非常重要的定理,它揭示了直角三角形三边之间的平方关系.解答一些证明线段平方问题时,别忘了灵活应用这个定理.例1如图,△ABC中,∠C=90°,D是AC的中点,求证:AB2+3BC2=4BD2.分析:由△ABC、△DBC都是直角三角形,得AB2=AC2+BC2,     

巧用面积法解(证)平面几何题

有些平面几何 ,本身虽然与面积无关 .若从面积的角度来考虑 ,往往具有思路明快 ,过程简捷 ,现举例如下 .一、用面积证明线段相等例 1　如图 1,在△ A BC中 ,BE⊥ AC于 E,CF⊥AB于 F,且 BE =CF,求证 :AB =A C.证明 :在△ A BC中 ,由三角形面积公式 ,得S△ ABC=12 A B .CF =12 A C .BE∵ BE =CF,∴ AB =AC.图 1图 2二、用面积法证明线段不等例 2　如图 2 ,在△ A BC中 ,BC >A C,AD⊥ BC于D,BE⊥ AC于 E,求证 :BE >A D.证明 :∵ S△ ABC =12 BE .A C =12 AD .BC,∴ BEA O=BCA C,又∵ BC >AC,∴ BE >AD .…     

延长巾线，一个妙招

例1在△ABC中,AB=5,AC=9,AD是BC边上的中线,求线段AD的取值范围．     

例谈“母子”型三角形问题

<正>中考中常出现两个全等或相似的三角形组合问题,因图形相似,可形象地称它们为"母子"三角形.求解这类问题时,关键是要抓住全等或相似的判定与性质.下面以2018年中考试题为例说明.例1 (2018淄博)(1)操作发现:如图1,小明画了一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,在△ABC的外侧分别以AB,AC为腰作了两个等腰直角三角形△ABD,△ACE,分别取BD,CE,BC的中点M,N,G,连结GM,GN.小明发现了:线段GM与GN的数量关系     

在“圆”的王国里闯关——巧用已知突破难点

在学习数学的过程中,由基础概念到应用、由易到难、由低到高的过程中学生会碰到各种问题.为了让他们能够继续学下去.我给他们设置关卡,激起他们的兴趣,让他们在不知不觉中学到了知识,掌握了难点.【例1】如图1,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,经过点C且与AB相切的动圆与CA、CB分别相交于P、Q两点,则线段PQ的长度的最小值为多少？     

一道平面几何奥赛题的简证

题目如图1,在△ABC中,AB=AC,M是BC的中点,D、E、F分别是BC、CA、AB上的点,且AE=AF,△AEF的外接圆交线段AD于点P.若点P满足PD~2=PE·PF,证明:     

利用三角形全等证明有关问题

利用三角形全等可证明线段相等,以及证明与线段相等有关的线段和、差、倍、分等问题;还可证明两角相等,以及证明与两角相等有关的线段平行、线段垂直等问题.例1如图,∠BAC=90°,AB=AC,F是BC上一点,BD⊥AF于D,E为AF延长线上一点,CE⊥AE,求证:DE=AE-CE.证明:∵CE⊥AE,BD⊥AF于D,∴∠AEC=∠BDA=90°.∴∠1=90°-∠3=∠2.在△AEC和△BDA中,∵∠1=∠2,∠AEC=∠BDA,AC=AB,∴△AEC≌△BDA.∴CE=AD.∵DE=AE-AD,∴DE=AE-CE.例2如图,在△ABC中,D是AB的中点,DE∥BC交AC于E,F是BC上的点,BF=DE,求证:DF∥AC.证…     

构造三角形重心解题

在解一点分线段为二倍关系的几何题中,可以构造以该点为重心的新三角形. 利用三角形的重心性质解题,有时可以收到很好的效果,因为解题是构造性的,因此在培养学生的解题能力有很大帮助:其解法新颖别致、能提高学生的学习兴趣. 1 证线段相等 例1 △ABC中,AB=AC,E在AB上,BE=2EA. 以AB为直径的圆交BC于D. 连AD、CE相交于F. 求证:AF=FD.     

二次函数在求解几何最值问题中的应用

二次函数的应用是初中数学的重点和难点,通常把它与最值问题联系在一起进行考查.下面以中考题为例说明二次函数在几何最值问题中的应用.一、求线段长的最值例1(2012年江苏扬州)如图1,线段AB的长为2,C为AB上一个动点,分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE,那么DE长的最小值是     

由向量关系式判断三角形形状

一、由向量运算性质来判断例1在ΔABC中,有AB→.BC→ AB→2=0,则△ABC为____三角形.分析:AB→.BC→ AB→2=0(?)AB→·(BC→ AB→)=0(?)AB→·AC→=0(?)AB⊥AC,则△ABC为直角三角形.例2已知0为△ABC所在的平面内一点,且满足(OB→-OC→)·(OB→ OC→-2OA→)=0,判断△ABC的形状.     

一道国际竞赛题的别证

对第26届国际数学奥林匹克试题的第五题,给出一个比较简捷的证明. 题目△ABC中,一个以O为圆心的圆经过顶点A及C,又和线段AB及线段BC分别交于K及N,K与N不同.且△ABC和△BKN的外接圆恰相交于B和另一点M.求证:∠BMO=90°     

从中考题看平行线的作法

在两个三角形不相似,图中也没有平行线的情况下,要获得比例线段,就应适当添加平行线.现以两道中考题为例,说明添加辅助平行线的规律. 例1 如图1,△ABC中,AD是BC边上的中线,F是AD上的一点,且AF:FD=1:5,连结CF并延长交AB于E,则     

一道竞赛题的另证

题目 在△ABC中,已知点P、Q、R分别位于边BC、CA、AB上,圆ГA、ГB、ГC分别是△AQR、△BRP、△CPQ的外接圆,线段AP与圆ГA、ГB、ГC分别交于点X、Y、Z．证明：YZ/XZ=BP/PC.