一道课本习题的推广命题

正人教版高中数学选修4-4第26页习题2.1第3题是:已知:M是正三角形ABC的外接圆上的一点,求证:|MA|~2+|MB|~2+|MC|~2为定值.笔者在研究此题的过程中,得到了下面一个有趣的推广命题.命题△ABC是椭圆(或圆)C:x~2/a~2+y~2/b~2=1(a0,b0)的内接三角形,且△ABC的重心是坐标原点O,M是坐标平面内的任意一点,则|MA|~2+|MB|~2+|MC|~2-3|OM|~2为     

关联平面内四个点的一个恒等式及其空间类比

<正>1圆内接四边形中的一个恒等式在文献[1]中我们将杨学枝老师在文献[2]中得到的关于圆内接四边形的一个恒等式变形为如下等价形式:定理1^[1]如图1,凸四边形ABCD有外接圆, P为空间中任意一点,则:|PA|²S_?BCD+|PC|²S_?ABD=|PB|²S_?ACD+|PD|²S_?ABC.文献[1]中的证明依赖于用行列式表述的四点共圆的充要条件.本文中我们给出这个行列式的几何意义,由此可以得到关联平面内四个点的一个恒等式,这个恒等式给出了定理1的一个推广.     

由一道高考题看极限思想的应用

<正>题目(2012年江西省高考题)在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,P为线段CD的中点,则(|PA|²+|PB|2+|PB|²)/|PC|2)/|PC|²的值为()(A)2(B)4(C)5(D)10首先看命题组给出的参考解答:解法1如图1,在Rt△ABC中,因为D为斜边AB的中点,所以|CD|=1/2|AB|,又P为CD中点,则|CP|=|PD|.     

由极化恒等式在高考数学中的应用谈向量的教学

<正>近年来,运用"向量作为工具"来解决三角函数、圆、圆锥曲线、不等式等问题在江苏高考中已成为一个亮点,这应引起我们充分关注.先从苏教版教材第81页中有一道证明题说起.引例1求证:|a+b|~2+|a-b|~2=2(|a|~2+|b|~2).如何构造一个图形解释这个公式的几何意义?在教学中,绝大部分授课教师更关注这一向量等式的几何意义.首先要说明的是,这     

数缺形时少直观,形缺数时难入微——2021年全国乙卷理21题的探析与拓展

<正>1试题呈现(2021年全国乙卷·理科第21题)已知抛物线C:x²=2py (p> 0)的焦点为F,且F与圆M:x²+(y+4)²=1上的点的最短距离为4.如图1(1)求p;(2)若点P在M上,PA,PB为C的切线,切点为A,B,求ΔPAB面积的最大值.2解法探究该题形式上以抛物线中的阿基米德三角形为背景,结构虽简单、明了,但内涵丰富、综合性强、解法灵活,考查了抛物线和圆的简单几何性质,直线与抛物线的位置关系、三角形的面积等知识,     

如何利用数形结合巧解平面解析几何问题

世间的一切事物都是发展变化的,无不在运动状态。作为高中数学教师,在教学过程中要用运动、变化、发展的观点来讲解几何知识,不仅可以深刻认识和广泛应用数与形的有关知识,而且可以让学生在数学学习过程中感悟唯物辩证法、方法论的基本思想。在平面解析几何中,利用相关点、直线、圆和曲线的几何性质解题的方法叫做综合几何法.这种方法利于培养数形结合的观点,减少计算量,使问题获得巧解.1利用圆的知识解题例1已知圆O′:(x-14)2+(y-12)2=362内一点C(4,2)和圆周上两动点A、B,使∠ACB=90&#176;,求斜边AB的中点M的轨迹方程.1.1思路。如图2-13,连结MO′、MC、BO′,则O′M⊥MB,|MC|=|AM|=|MB|.设M(x,y),则在Rt△BMO′中,|O′M|2+|BM|2=|O′B|2,又|BM|=|CM|,∵|O′M|2+|CM|2=|O′B|2,即(x-14)2+(y-12)2+(x-4)2+(y-2)2=362,∴动点M的轨迹方程为x2+y2-18x-14y-468=0.1.2解析。本例利用圆的垂径定理和直角三角形的性质,使一个运算量较大的习题,得到极其简便的解法,充分显示了平面几何知识在解析几...     

利用隐含条件解题

在许多数学题目中,都有一些条件隐含在题意中没有明确给出,这些条件就是所谓的隐含条件.而利用这些隐含条件,可以简捷地解题.下面通过几个例子加以说明.例1下列四式中与（a-3）（1/（3-a））^1/2相等的是A.（a-3）^1/2 B.-（a-3）^1/2C.（3-a）⁽1/2 D.-（3-a）^1/2分析此题的隐含条件是3-a>0,故（a-3）（1/（3-a））^1/2=（a-3）（（3-a）/（3-a）²）^1/2=（a-3）/（3-a）（3-a）^1/2=-（3-a）^1/2.故选D.例2已知实数a满足|2009-a|+（a-2010）^1/2=a,那么a-2009²的值是_<sub><sub><sub><sub>.分析此题的隐含条件是a-2010≥0,即a≥2010.故|2009-a|+（a-2010）^1/2=a可化     

一道高考题的求解策略及深入探究——剖析2018年上海高考第12题

<正>1试题呈现已知实数x_1、x_2、y_1、y_2满足x_1²+y_12+y_1²=1,x_22=1,x_2²+y_22+y_2²=1,x_1x_2+y_1y_2=1/2,则|x_1+y_1-1|/2(1/2)+|x_2+y_2-1|/2(1/2)的最大值为.本题为2018年上海市高考数学试题第12题,从题面上看,考查的是以"绝对值和方程"为载体、不等式为主线的典型问题,着重考查学生分析问题、解决问题的能力,能够检验学生对曲     

向量模长公式的八种应用

b²=|b|²=（2n-3m）²=9m²-12m·n+4n²=9-12×1/2+4=7,∴|a|=7^1/2,|b|=7^1/2.又∵a·b（2m+n）·（2n-3m）=-6m²+m·n+2n²=-6+1/2+2=-31/2,∴cos〈a,b〉=（a·b）/（|a||b|）=（-31/2）/(7^1/2×7^1/2)=-1/2,∴向量a与向量b所成的角为120°.     

2011爱沙尼亚国家队选拔题简证及推广

2011年爱沙尼亚国家队选拔考试第4题设a,b,c为正实数,满足2a²+b²=9c²,证明:（2c）/a+c/b≥3^1/2.侯典峰、郝明泉两位老师在文[1]中主要依据均值不等式,对该题给出了"三个简证".经过探求,笔者发现,借助权方和不等式证明该题,更显简洁.证明:由题设知a,b,c为正实数,满足2a²+b²     

Siegel引理的证明及应用

<正>文[1]探讨了一类整系数齐次线性方程组的整数解存在性问题及其应用,其中涉及到著名的Siegel引理,并且给出了详细证明.本文给出该引理的另外一种形式,这种形式具有更一般性^[2].Siegel引理^[3]设整数1≤m相似文献   

不识庐山真面目 只缘身在此山中——一道好题的本质探究

一道好的数学题并不在于有多么难,而是能够充分考查解题者对数学问题本质的理解,更应该是可以成为数学探究活动的好题材,本文拟介绍这样一道好题.1.原题已知圆C₁:x²+y²=17和圆C₂:（x-2）²+（y-2）²=5的一个交点是P（1,4）,求过点P的直线l,使l被两个圆截得的弦长相等.2.原题解答2.1用代数方法求解解法1:易知直线l的斜率k存在,因此设直线l的方程为y-4=k（x-1）,即kx-y+4-k=0.设直线l与圆C₁的交点为P₁（x₁,y₁）、P₂（x₂,y₂）,直线l与圆C₂的交点     

非负数的一些应用

实数中不小于零的数为非负数,我们学过的非负数,用代数式表示常见的有|a|、a²、a^1/2,要注意a^1/2,它是一个双非负数,其中a与a^1/2本身都是非负数,非负数有个非常重要的性质,就是"若干个非负数的和为0,则每个加数必为0."例如,若a^1/2+|b|+c²=0,则a=0,6=0,c=0.非负数在求代数式的值、比较实数的大小、判定一元二次方程根的情况、求函数的最值等诸多方面有着广     

对一道解析几何高考题的探究

例题（2009年高考山东理科卷第22题）设椭圆E:（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a,b>0）过M(2,2^1/2),N(6^1/6,1)两点,O为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆E的方程.（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且（?）⊥     

巧设“圆系” 事半功倍

在2019年版高中数学教材选择性必修第一册第二章《直线与圆》中,第98页中有如下几道关于圆的方程的问题.题1求经过点M(2,-2)以及圆x²+y²-6x=0与圆x²+y²=4交点的圆的方程.题2求圆心在直线:x-y-4=0上,并且经过圆x²+y²+6x-4=0与圆x²+y²+6y-28=0的交点的圆的方程.     

从仿射变换角度看2011年高考山东理科第22题

题目（2011年高考山东省理科第22题）已知动直线l与椭圆C:x²/3+y²/2=1交于P（x₁,y₁）、Q（x₂,y₂）两个不同点,且△OPQ的面积S△OpQ=(6^1/2/2),其中O为坐标原点.（Ⅰ）证明:x₁²+x₂²和y₁²+y₂²均为定值;（Ⅱ）设线段PQ的中点为M,求|OM|·|PQ|的最大值;     

注意隐含条件

若能注意发掘题中的隐含条件,可以使求解变得轻松.下面列举五例.例1已知实数a满足|a-2007 |+ （a-2008）^1/2=a,那么,a-2007²=_<sub>.分析由二次根式的定义,应当有     

两道IMO试题探秘

题1设x,y,z为非负实数,且x+y+z =1,则0≤xy+yz+zx-2xyz≤7/（27）.（第25届IMO）题2正实数a,b,c的和为1,求证:（ab）^5/4+（bc）^5/4+（ca）^5/4<1/4.（04年IMO中国国家队培训题）这两道题的形式、结构及其中的指数都不相同,从表面上看没有联系,然而,在本质上这两道题联系紧密.为了挖掘这两道题深层的联系,不妨先加强或推广这两道题.     

一道高三模拟题的思路探究与拓展

<正>一、问题给出题目在平面直角坐标系xoy中,已知圆O:x²+y²=1,C:(x+1)²+y²=9,直线l与圆O相切,与圆C相交于点A、B两点,分别以点A、B为切点作圆C的切线l₁、l₂,l₁、l₂交点为P,则OP的最小值．A. 9 B. 7 C. 3■ D.■这道题是江苏省海门中学、苏州中学、淮阴中学、姜堰中学四校高三联考的单选压轴题,答案为D．我校学生在该题的得分率高达0.74,如此高的得分率是否与本题在试卷中起到单选压轴作用的地位不太匹配呢?和学生交流后发现,     

《圆的面积》教学设计

<正>教学内容:苏教版数学五年级下册第105¹07页的例7、例8、例9和"练一练"、练习二十的第1题。教学分析:圆是小学数学平面图形教学中重要的曲线图形。"圆的面积"是学生了解和掌握了圆的特征、学会计算圆的周长以及学习过直线围成的平面图形面积计算公式的基础上进行教学的。在教学圆的面积计算公式时,先是通过数方格的方法来验证圆的面积和半径之间的关系,从而进一步把圆转化成我们学过的图形。通过了解转化后的图形与原来的圆有什么联系,从而推导出圆的面积计算公式。