也说“多边形外角”

初中数学新教材,经常出现开放性与探索性的问题,在近几年的中考试题中,"二等分"某些图形的面积题目屡见不鲜.这类题目解答的关键是:要熟练掌握常见规则图形的"等积线".一、三角形的等积线（二分线）探究如图1,直线a∥b,S_△BCE=S_△BCF（同底等高）,易得S_△BOE=S_△COF.如图2,中线AD所在的     

一个简捷的证法

初中平面几何中的“平行线分线段成比例定理”之证明是不严格的,并且叙述也较繁,学生不易看懂,我们可以这样来证: 如图,设直线AD∥BE∥CF.连接A E、EC、DB、BF.根据等底等高的两个三角形面积相等,得 S_(△ABE)=S_(△DBE),S_(△BEC)=S_(△BEF),①设△AEC的高为EH,△DBF的高为EH',     

三角形的一个性质及其应用

定理 设P是△ABC所在平面上一点,AP,BP,CP分别与对边BC,CA,AB所在的直线交于D,E,F,则AP/PD=AE/EC AF/FB. 证明 如图1,因为△APC和△BPC有公共边CP,故S_(△APC)/S_(△BPC)=AF/FB,同理S_(△APB)/S_(△BPC)=AE/EC。 图1 ∴AE/EC AF/FB=S_(△APC)/S_(△BPC) S_(△ABC）/S_(△BPC)=(S_(△ABC)-S_(△BPC))/S_(△BPC)=(S_(△ABC)/S_(△BPC)-1)=AD/PD-1=AP/PD。 即AP/PD=AE/EC AF/FB。     

再探任意四边形的“黄金分割线”

正若直线l把一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别是S_1、S_2,如果S_1/S=S_2/S_1,则称直线l为该图形的黄金分割线.那么,如何作出任意四边形的黄金分割线呢?贵刊2009年第2期《探索黄金分割线的教学设计》一文中,作者赵永苓老师介绍了一种利用等积变形求任意四边形黄金分割线的方法,如图1(过程略).在这里,再介绍几种新     

一个推论的逆命题及其应用

初中《几何》第二册第211页有一个重要的推论:等底等高的三角形面积相等。由“平行线间的距离处处相等”的性质,不难得出下面的两个定理: 定理夹在两条平行线之间的同底(或等底)三角形(底在一条直线上,而顶点在另一条直线上)等积。如图,若:∥AB, 则 S_(ΔABC1)=S_(ΔABC2)=S_(ΔABC3)=…. 此定理的逆命题也是正确的。     

梯形面积的一个性质及其应用

定理梯形的两条对角线和两腰所在的两个三角形的面积相等,且这个面积是梯形两条对角线与两底所在的两个三角形面积的比例中项。证明:如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,记∠AOB=a,△AOD、△BOC的两面积分别为 S_1、S_2,内三角形面积公式可知:S_(△ABC)=S_(△DBC), ∴ S_(△ABC)-S_(△BOC)=S_(△DBC)-S_(△BOC), ∴ S_(△AOB)=S_(△DOC)。又S_1·S_2=1/2OA·ODsina·1/2OB·OCsina =1/2OA·OBsina·1/2OD·OCsina =S_(△AOB)~2。应用上面的定理,解决一类作图题和与梯形面积有关的竞赛题。     

学数学要善于“退”和“变”

问题1 已知△ABC,问是否存在一点P,使得△PAB、△PCA的面积相等? 思考:我们先考虑问题的特殊情况:是否存在一点P,使△PAB与△PCA的面积相等,联想到三角形中线的性质,作BC边上的中线AD,则有S_(△ABD)=S_(△ACD),于是D就是所求的点P(如图1),进一步观察图形发现△ABD与△ACD有相同的底边AD,∵S_(△ABD)=S_(△ACD),∴点B、C到AD的距离相等,从而我们得出更完整的结论:在射线AD上任取一点(A点除外)P都有     

张角公式在研究三角形连比问题中的应用

<正>张角公式如图1,设直线ACB外一点P对于线段AC、CB的张角分别为α、β,则sin(α+β)/PC=sinα/PB+sinβ/PA.证明因为S_(△PAB)=S_(△PAC)+S_(△PCB),所以1/2PA·PB·sin(α+β)=1/2PA·PC·sinα+1/2PC·PB·sinβ,两边同除以1/2PA·PB·PC,即得所证等式.下面举例说明它的应用.例1如图2,已知BP:PQ:QC=3:2:1,AG:GC=4:3,则BE:EF:FG=___.     

对一道创新题的再思考

题目如图(1),已知,四边形ABCD中,AB∥CD,M为AB的中点,S_(△DMC)、S_(△DMC)、S_(△DBC)分别表示△DMC、△DAC、△DBC的面积,那么,S_(△DMC)=S_(△DAC)+S_(△DBC)/2 ①。     

坐标系中三角形的一个面积公式及其应用

<正>在直角坐标系中,△ABC的顶点A(x_A,y_A),B(x_B,y_B),C(x_C,y_C),过点A作l∥y轴,交BC所在直线于点D,设D(x_D,y_D),则S_(△ABC)=1/2|y_A-y_D|·|x_C-x_B|.下面我们来证明这个公式.当△ABC位置如图1时,过C作CF⊥l,过B作BE⊥l,垂足分别为F,E,所以x_D=x_E=x_F,有AD=y_A-y_D,CF=x_C-x_D,BE=x_D-x_B,所以S_(△ABC)=S_(△ABD)+     

一个面积定理及应用举例

定理若四边形一条对角线平行另一条对角线,则此对角线必平分该四边形的面积,其逆命题亦成立。如图1,(1)若AE=EC,则S_(△ABD)=S_(△BCD);(2)若S_(△ABD)=S_(△BCD),则AE=EC。这两个命题是显然成立的,读者可根据图1自己证明。下面举例说明它的应用。例1 如图2,在(?)ABCD中,E是对角     

用一个几何复习题证明浙大少年班的一个招考题

全日制初中几何第二册总复习题24题:经过∠XOY的平分线上一点A,任作一直线与OX,OY分别相交于P,Q,求证:1/OP 1/OQ等于定值。证明:如图,∵S_(△OPQ)=1/2OP·OQ·Sin2α=OP·OQ·sinαcosα。 S_(△OAQ)=1/2OA·     

四面体的一个体积公式在解高招试题中的作用

四面体是特殊的棱锥,其体积公式有多种,其中之一为:如图,设四面体 A—BCD中,S_(△ABC)=S_1,S_(△BCD)=S_2,二面角 A-BC-D=α,BC=l,则体积 V=(2S_1S_2)/(3l)sinα(*)利用锥体的体积公式不难证明.我们感兴趣的是利用体     

一道国际数学竞赛题的几种证法

题目:锐角△ABC中,∠A的平分线交BC于D,交△ABC的外接圆于点E,自点D分别作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于N,证明:S_(△ABC)=S四边形AMEN,(IMO,28—2)。证法/:如图,作出△ABC外接圆直径AL,连接MN,LB,LC,LE,LM,LN。显然,DN,LC同时垂直于AC,DN∥LC,那么S_(△DCN)=S_(△DLN)。同理:S_(△SMB)=S_(△DLM), 则:S_(△ABC)=S四边形AMLN,     

一道赛题的推广

题 如图,ABCD为正方形,∠EAF=45°。求证S_(△AEF)=2S_(△APQ)。(1990,四川赛题) 推广1 如图,ABCD为正方形。如设∠EAF=α,∠DAF=θ,则     

一道课本练习题及其逆命题的应用

<正>本文现将人教版八年级(下)中的一道习题及其逆命题在中考中的应用介绍如下,供初中师生教与学时参考.题目如图1,直线l1∥l2,△ABC与△DBC的面积相等吗?你还可以画出一些与△ABC面积相等的三角形吗?解因为l_1∥l_2,所以S_(△ABC)=S_(△DBC)(同底等高的三角形面积相等).还可以画出与△ABC面积相等的三角形若干个,只要同底BC,第三个顶点在     

一道向量求值问题的多种方法求解

<正>在向量专题复习中,偶遇一道向量求值问题,感觉此题对提高学生的综合分析能力会有很大帮助,故做以下多解分析,以供参考。题目如图1所示,点G是△ABC内一点,若S_(△AGB)=7,S_(△BGC)=5,S_(△AGC)     

三角形相似的三种基本图形

类型一 :平行线型这种基本图形有两种形式 :( 1) A形基本图形。如图一所示 ,它是由平行线截三角形的两边构成的 ,由 DE∥ BC,推出△ ADE∽△ ABC。　　 ( 2 ) X型基本图形。如图二所示 ,将图一中DE平行移动 ,与 BA、CA的延长线相交就可得到这类基本图形 ,由ED∥ BC,推出△ ADE∽△ ABC。例 1　如图三所示 ,直线 FD和△ ABC的边BC交于 D,交 AC于 E,与 BA的延长线交于 F,且 BD=DC。求证 :AEEC=FAFB。分析 :由于 AEEC与 FAFB涉及的四条线段构不成基本图形 ,因而必须寻找中间比将它们联系起来。图中没有 A型和 X型基…     

反比例函数中k的几何意义的应用

<正>如图1,在平面直角坐标系xOy中,在反k比例函数y=(k≠0)的图象上任取一点xA,作AB⊥x轴,AC⊥y轴,垂足为B,C,则S_(矩形)|=|k|, S_(△AOB)=S_(△AOC)=|k|/2.这个结论就是我们通常所说的"k的几何意义".本文通过举例说明k的几何意义的应用.     

等积形的证明

证明两个图形面积相等,常用“等底等高的三角形面积相等”来证明.下面就这个定理的应用列举几例,谨供参考.例1 O 是梯形 ABCD 的对角线 AC、BD 的交点.求证:S_(△AOB)=S_(△DOC).