反演变换视角下的阿波罗尼斯圆

阿波罗尼斯圆一直是高中考查的热点内容,在高考题、各地模拟题和竞赛题中屡次出现,近些年有关阿波罗尼斯圆逆应用的相关问题也开始慢慢浮现.文章通过从反演变换的角度重新认识阿波罗尼斯圆,旨在揭开有关问题的"神秘面纱".     

关注几何性质 透析命题视角——以“阿波罗尼斯圆”为例

一、问题的由来众所周知,在平面内到两个定点距离之比等于定值k(k>0且k≠1)的动点的轨迹是圆.常把此圆称为阿波罗尼斯(Apollonius)圆.近年来以阿波罗尼斯圆为背景的试题在高考中频频出现,如2006年     

揭开“阿波罗尼斯圆”的神秘面纱

<正>在高三数学教学中,在复习《直线与圆》这个章节时经常会遇到一些定点定值类的问题,在这些问题中有一种情形就是著名的阿波罗尼斯圆问题,下面我们就来揭开它神秘的面纱.一、阿波罗尼斯圆定义在平面上给定相异两点A,B,设P点在同一平面上且满足PA PB=λ,当λ>0且λ≠1时,P点的轨迹是个圆,这个圆我们称作阿波罗尼斯圆.这个结论称作阿波罗尼斯轨迹定理.设M,N分别为线段AB按定比λ分割的内分点和外分点,则MN为阿波罗     

关于阿波罗尼斯圆的一种变形

<正>阿波罗尼斯圆,不仅是高考的热点,而且在很多文章中都有提及.前段时间在高二讲圆的习题课时遇到下面这样一道习题,有些体会,和大家分享,也可看作是阿波罗尼斯圆的另一种变形叙述吧!在圆的习题课上笔者讲了这样一道习题: 已知圆Ο:x2+y2=1和圆M:(x-4)2+(y-2)2=9.设点P是圆M上的任意一点,过点P向圆O引切线,切点为Q.试探究在平面内是否存在定点R,使为定值?若存在,求出定点R的坐标和定值.假设存在这样的定点R(a,     

利用阿波罗尼斯圆巧解平面向量、立体几何问题

普通高中课程标准实验教科书数学必修2中多处涉及到阿波罗尼斯圆.利用阿波罗尼斯圆作题根解决问题,可以化繁为简,提高解题效率.已有文献主要研究了阿波罗尼斯圆在解决解析几何问题中的应用,本文通过在平面向量、立体几何问题中对阿波罗尼斯圆条件的挖掘探究,体会阿波罗尼斯圆在解决平面向量、立体几何问题中的简洁明快之处.     

阿波罗尼斯圆及其应用

阿波罗尼斯圆在高中教材中没有直接提出,但却一直是高考命题的热点.对阿波罗尼斯圆知识的考查,即可作为文化试题直接考查,也可逆向考查线段之间的数量关系,还常以线段比例的形式,隐含在解三角形或立体几何相关知识中,成为在知识交汇处命题的着眼点.     

阿波罗尼斯圆的性质及应用

<正>一、阿波罗尼斯圆及其性质1．阿波罗尼斯圆结论 平面内到两个定点A,B的距离之比是一个常数λ(λ> 0且λ≠1)的点的轨迹是一个圆(简称阿氏圆)．证明1 (代数法)如图1，以AB的中点为原点建立直角坐标系，设点A(-a,0),B(a,0)(a> 0)，动点P(x,y)．由PA/PB=λ，     

一类圆锥曲线等角问题的拓展与思考

<正>一、问题呈现试题1 (2018年全国高考题)设抛物线y²=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M、N两点.(1)当与x轴垂直时,求直线BM的方程;(2)证明:∠ABM=∠ABN.试题2 (2018年全国高考题)设椭圆C:     

阿氏圆性质及应用

<正>近年来,在中考数学试题中频繁出现a+kb型几何最小值问题,其中有一类是以古老的阿氏圆问题为背景命制的,却给学生造成很大困扰,如何突破这类问题的思维困境呢?下面给予相关探究.背景阿波罗尼斯(约公元前262¹90年)与阿基米德、欧几里德齐名,被称为亚历山大时期数学三巨匠.阿波罗尼斯对圆锥曲线有深刻而系统的研究,其主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书,阿波     

回归学科本源 探求解题捷径——由两道高考解析几何试题引发的思考

<正>本文从两道解析几何高考题出发,通过回顾解析几何发展的历史,寻求解决问题的途径,进而为今后的教学提供一些参考意见.一、高考试题呈现试题1(2013年江苏高考题)在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)略;(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.分析1本题属于存在性问题,通常的办法就是转化为方程(不等式)求解.     

例谈阿波罗尼斯圆的应用

文章从阿波罗尼斯圆的定义入手，给出近年来中考相关试题的解法，为学生学习高中解析几何打下良好的基础.     

《圆》中新考点

<正>《圆》是初中数学的一个重要组成部分,中考题中往往考查圆的有关计算、切线的证明等,而在近年来的试题中,则对圆进行了更进一步的考查,涉及到新定义、新题型和新问题.本文以中考试题为例介绍《圆》中的新考点.一、新定义——"整圆"例1(2015年河池)我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为"整圆".如图1,直线l:y=kx+43^(1/2)与x轴、y轴     

指数化对数 巧妙比大小——一道高考题的求解方法

<正>题目(2017年全国高考题)设x,y,z为正数,且2^x=3x=3^y=5y=5^z,则()(A) 2x <3y <5z(B) 5z <2x <3y(C) 3y <5z <2x(D) 3y <2x <5z试题巧妙地设置三个指数式连等,进而判断对应的三个关系式的大小关系.题目背景简单,解决的切入点较多,方法多样.解决问题的关键是巧妙转化三个连等的指数式,     

对比赏析 探究拓展——聚焦三道高考试题

<正>2015年福建卷文科第19题是一道集抛物线、直线、焦半径、圆、切线为一体的综合性试题,该题考查了学生对问题的转化能力、观察能力,同时,该题也与本文介绍的另两道试题异曲同工.笔者对第(2)问给出4种解法,并对该题的一般性结论从几何角度给出了证明.题目(2015年福建高考题)如图1,已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.     

探求动点路径 拓展最值问题

<正>2016年武汉市中考数学试卷出现了如下一个动点的路径问题:如图1,在等腰Rt△ABC中,AC=BC=2(1/2),点P在以斜边AB为直径的半圆上,M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时,点M运动的路径长是().A.2(1/2)πB.πC.2(1/2) D.2下面就试题的解法、变式、试题中包含的基本结论和拓展应用作一个简单的探讨.     

圆的切点弦问题

<正>过圆x2+y2=r2上一点P0(x0,y0)作该圆的切线,只有一条,易知其方程为x0x+y0y=r2.当点P0(x0,y0)在圆x2+y2=r2外时,切线有两条,设切点分别为A、B,那么如何求直线AB的方程呢?本文借助一道高考题展开.例1(2013年山东高考题)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A、B,则直线AB的方程为().(A)2x+y-3=0(B)2x-y-3=0(C)4x-y-3=0(D)4x+y-3=0     

阿波罗尼斯定理的推广

阿波罗尼斯定理:平行四边形两对角线的平方和等于各边的平方和,即在ACBD中AB2 CD2=2(CA2 CB2)(如图图11),由此可得三角形中线公式,设E为△ABC中AB的中点,则CE2=12(CA2 CB2)-AE2,所以,阿波罗尼斯定理也可叙述为三角形两边的平方和等于所夹中线与第三边一半的平方和的两倍。阿波罗尼斯定理是众所周知的一个几何定理。本文作出该定理的几个推广,旨在将初等几何中的某些有关内容有机地联系起来,使之系统化。推广1　把中点E向边上的任意点推广图2定理1　设E为△ABC中AB边上的点,则CA2.EB CB2.AE=CE2.AB AE.EB.AB证明　如图2…     

解析几何中求取值范围的六种策略

在解析几何试题中,求取值范围的问题是热点、难点问题.这类试题解法灵活、技巧性强、涉及知识面广,现通过对往年高考题解析,阐述解决此类问题的六种策略。策略1数形结合法例1如果直线l将圆:x2+y2-2x-4y=0平分,且不通过第四象限,那么l的斜率的取值范围是().A[0,2]B[0,1]C(0,1/2]D[0,1/2)解:作圆(x-1)2+(y-2)2=5的图象,如图,由条件可知直线l必过圆心(1,2),容易从图象看出,直线l的斜     

数缺形时少直观,形缺数时难入微--2021年全国乙卷理21题的探析与拓展

1试题呈现(2021年全国乙卷·理科第21题)已知抛物线C:x²=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x²+(y+4)²=1上的点的最短距离为4.如图1(1)求p;(2)若点P在M上,PA,PB为C的切线,切点为A,B,求ΔPAB面积的最大值.     

直线与圆中两个关联问题的探究

<正>事物是普遍联系的,数学知识、数学问题的关联性更能反映这一点.在苏教版数学必修2"直线与圆"的教学过程中,笔者发现有两个比较有趣的关联问题.现整理如下,以飨读者.问题1(1)已知点P(x_0,y_0)为圆C:(x-a)²+(y-b)2+(y-b)²=r2=r²(r>0)上一点,求过点P的圆C的切线方程;(2)已知点P(x_0,y_0)为圆C:(x-a)2(r>0)上一点,求过点P的圆C的切线方程;(2)已知点P(x_0,y_0)为圆C:(x-a)²+(y-b)2+(y-b)²=r2=r²(r>0)外一点,过点P的圆C的