巧用极化恒等式 妙求向量数量积

高考和竞赛试题中涉及向量数量积的问题屡见不鲜,备受命题者青睐.灵活使用极化恒等式,一些高难度的题目将迎刃而解.本文以高考题、模拟题和竞赛试题为例,说明极化恒等式在解决向量数量积问题中的应用,以期抛砖引玉.一、极化恒等式人教A版必修4第二章第五节第一课时"平面几何中的向量方法"的例1证明了平面几何中一个常见的结论:" 平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍".经过变形与提炼可得到如下结论(此处证明略).     

巧用极化恒等式 解一类最值问题

<正>高考和竞赛试题中向量数量积的最值问题屡见不鲜,备受命题者青睐,灵活使用极化恒等式,一些高难度的题目将迎刃而解,本文举例说明极化恒等式在解决向量数量积最值问题中的应用,以期抛砖引玉.1极化恒等式简介     

极化恒等式速解一类平面向量问题

极化恒等式是大学数学基础课程《泛函分析》中的知识,经过简单的变形就可转化为如下平面向量基本关系式：对于向量a、b,通过恒等变形可得a·b=1/4[（a＋b）2-（a-b）2]。再经过几何延伸,如图1所示,对于平行四边形ABCD,     

极化恒等式在平面向量中的应用

<正>在平面向量中,我们把式子a·b=(a+b)²-(a-b)2-(a-b)²/4称为极化恒等式,其中a+b与a-b的几何意义是以向量a、b为邻边的平行四边形的两条对角线。可以使用极化恒等式的条件是a-b和a+b其中之一是可知的。在每年考查平面向量的高考题     

极化恒等式的妙用

<正>初中代数中有一个常用的恒等式:4ab=(a+b)²-(a-b)2-(a-b)²,它由两个完全平方公式相减而成.而今在高中向量中有一个类似的恒等式:4ab=(a+b)2,它由两个完全平方公式相减而成.而今在高中向量中有一个类似的恒等式:4ab=(a+b)²-(a-b)2-(a-b)²或ab=((a+b)/2)2或ab=((a+b)/2)²-((a-b)/2)2-((a-b)/2)²,称之为极化恒等式.它有如下几何意义:如图1,△ABC中,取BC的     

巧用恒等式解题

在我们数学学习过程中,有一个恒等式大家一定都很熟悉--|m+n|2-|m-n|2=4mn,其实这个恒等式在解题中有着独到的作用.     

巧用组合恒等式求解数列求和问题

在学习排列组合的有关知识时,会遇到这样一个组合恒等式：     

巧用组合恒等式求解数列求和问题

在一学习排列组合的有关知识时,会遇到这样一个组合恒等式:……     

巧用特殊平面图形,快速处理向量问题

平面向量是高中数学的重要内容.把平面向量(高中内容)与平面几何(初中内容)融合命题(以选择题或填空题的形式出现),已形成新高考试题中的一道靓丽风景.由于平面向量中涉及到向量的长、两个非零向量所成角、平行、垂直与平面图形中的边、两条直线所成的角、平行、垂直有关密切的关系,因此,如果用一些特殊的图形(如平行四边形、     

由极化恒等式在高考数学中的应用谈向量的教学

<正>近年来,运用向量作为工具来解决三角函数、圆、圆锥曲线、不等式等问题在江苏高考中已成为一个亮点,这应引起我们充分关注.先从苏教版教材第81页中有一道证明题说起.引例1求证:|a+b|~2+|a-b|~2=2(|a|~2+|b|~2).如何构造一个图形解释这个公式的几何意义?在教学中,绝大部分授课教师更关注这一向量等式的几何意义.首先要说明的是,这     

一个三角恒等式巧用

容易证明下列三角恒等式: sin~2α sin~2β=sin~2(α β)-2sinαsinβcos(α β) 这个三角恒等式结构对称,易于记忆,直接利用这一公式可简单求解一类高考题和竞赛题。     

巧用几何图形解决向量问题

平面向量是中学数学知识的一个交汇点,成为联系多项内容的桥梁．作为中学数学中一个有力的工具,平面向量既有大小又有方向,除了具备“数”的特征,“形”更加彰显它的魅力．     

巧用向量解决立体几何问题

空间向量是高中数学中的重要内容,是处理角度和距离问题的重要工具,也是高考考查的重要内容之一.运用向量方法研究立体几何问题思路简单,模式固定,避免了几何法中作辅助线的问题,从而降低了立体几何问题的难度.下面,我们就以具体的例子来阐述怎样运用向量解决角与距离问题.     

巧用几何图形解决向量问题

平面向量是中学数学知识的一个交汇点,成为联系多项内容的桥梁.作为中学数学中一个有力的工具,平面向量既有大小又有方向,除了具备数的特征,形更加彰显它的魅力.一、平行四边形模型1.相关链接(人教A版必修4第120页复习参考题B组第2题和第3题).第2题 已知a、b为非零向量,求证:a⊥b(=)|a+b|=|a-b|,并解释其几何意义.第3题 已知a+b=c,a-b=d,求证:|a|=|b|(=)c⊥d,并解释其几何意义.     

巧用向量解决不等式问题

自从向量知识进入中学数学教材以来,由于向量融数、形于一体,使向量知识渗透到代数、几何、三角等各大章节的定理推导与解题方法中,因而成为中学数学知识的一个交汇点.它的加入不     

巧用向量的数量积解非向量问题

<正>向量的数量积是向量的一个重要知识点.有些数学问题似乎与向量的数量积毫无瓜葛,但如能由题设的结构特征构造出对应的向量,巧妙地利用向量的数量积或其几何意义求解,则方法新颖别致,过程简捷,明了.现举例说明如下:     

一个向量恒等式及应用

1．向量恒等式在△ABC中,M是BC的中点,则→A8·→AC=｜→AM｜^2-｜→MC｜^2．     

巧用行列式证明三角恒等式

在三角证明题中,大多是应用三角公式及有关定理直接或间接地进行推证.但有些三角恒等式可巧妙地应用行列式进行证明.下面略举两例加以说明.     

巧用平面向量解立体几何问题

平面向量是解答立体几何问题的一种快速、简捷的运算工具.不少复杂的立体几何问题,引入平面向量后,通过将空间元素的位置关系转化为数量关系,将过去的形式逻辑证明转化为数值运算,即借助平面使解题模式化,用机械性操作把问题转化,因此,平面向量为立体几何代数化带来了极大的便利.下面,介绍平面向量在立体几何中的应用.例1如图1,AB、CD为异面直线,CD平面α,AB∥平面α,M、N分别是AC、BD的中点,求证:MN∥平面α.证明:因为CD平面α,AB∥平面α且所以在α内存在a、b使AB=a,CD=b,且a、b不共线,由M、N分别是AC、BD的中点,得MN=21(MB…