2015年福建省高考数学试题的解法赏析

<正>题目已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=x+a+x-b+c的最小值为4.(Ⅰ)求a+b+c的值;(Ⅱ)求1/4a2+1/9b2+c2的最小值.(2015年福建省高考数学试题)本题考查了绝对值函数最值的求法及其满足约束条件的多元函数的最值问题的解法,这类问题的解决入口宽,难度小,只要认真审题仔细推敲,便会找到多种解法,这充分体现了高考试题考查学生掌握数学思     

2021年浙江卷第17题的解法探究

<正>一、试题呈现已知平面向量a,b,c(c≠0)满足|a|=1,|b|=2,a·b=0,(a-b)·c=0,记平面向量d在a,b方向上的投影分别为x,y,d-a在c方向上的投影为z,则x²+y2+y²+z2+z²的最小值是___.二、解法探究解法1几何法     

一道二元条件最值问题的解法探究

<正>在高三模拟试题和高考试题中,二元条件最值问题备受命题者的亲睐.本文以2018年某省的一道高考模拟题为依托,介绍几种常见的求解方法.试题已知实数a、b满足a~2-ab+b~2=2,则a~2+ab+b~2的取值范围是___.解法1基本不等式法     

一个不等式问题的多视角探究

题目:已知a＞0,b＞0,c＞0且a+b+c=6,求S=3√a2+b2+3√b2+2ca+ 3√c2+2ab的最大值. 这是2011年希腊奥林匹克数学竞赛的一道不等式试题.它是一个涉及到无理因式的多变量条件最值问题,此赛题结构形式简洁优美,题型常规中有特色,解法探寻耐人寻味,颇有研究价值.于此笔者从不同的视角入手给出这一问题的一些解法并得出原赛题的两个推广,供读者在学习和探究时参考.     

对一道数学竞赛试题的思考

<正>以下是2015年第26届"希望杯"全国数学邀请赛高二初试题,笔者仔细研读,根据已知条件、目标函数形式上的特点,从不同视角给出了解法,以达到发散思维,训练思维的目的.题目若正数a,b满足2a+b=1,则a/(2-2a)+b/(2-b)的最小值是___.     

一道“强基”题的柯西不等式解法

<正>一、试题呈现已知a>0,b>0,满足3/a+2b=4,则2a/(a+1)+3/2b的最小值为____.这是2021年1月清华大学中学生标准学术能力诊断性测试(THUSSAT)新高考第15题．本文从柯西不等式及其变式多角度揭示求解这类问题常用的基本思路和方法．二、解法探析     

一道2021年中科大强基题的探究与变式拓展

<正>本文从一道2021年中科大不等式强基题入手,逐步展开均值不等式与联赛中的一些应用,然后给出试题的一般性结论和变式拓展,希望给读者带来学习与借鉴．1．试题呈现已知正实数a,b,c满足a+b+c=1,求a²+b²+c²+2abc的取值范围．2试题解法探究解:不妨设S=a²+b²+c²+2abc,由(a+b+c)²=a²+b²+c²+2 (ab+bc+ca),结合已知条件可得S=1-2(ab+bc+ca)+2abc=1+2ab (c-1)-c(a+b)=1+2ab(c-1)-c(1-c),     

一类条件最值问题的再研究

<正>条件最值问题已知实数x、y满足ax²+bxy+cy2+bxy+cy²=d(其中a、c、d均为正常数,b为实常数,且△=b2=d(其中a、c、d均为正常数,b为实常数,且△=b²-4ac<0),求z=mx+ny(m、n为实常数)的最值.这是众多期刊探究的一类热点问题.例如,     

由一道高考不等式证明题引发的思考

<正>1试题呈现2017年高考全国Ⅱ卷文、理科第23题:已知a>0,b>0,a³+b3+b³=2,证明:(Ⅰ)(a+b)(a3=2,证明:(Ⅰ)(a+b)(a⁵+b5+b⁵)≥4;(Ⅱ)a+b≤2.这道试题难度不大,但值得我们去品味,通过对这道试题的探究和反思,得到了一些有意义的结论:一是两个不等式的多种证法,可谓精彩呈现;二是两个不等式的变式与推广,使我们对问题认识的更深     

一道高考题的解法探讨及背景揭示

2014年全国高考辽宁卷理科第16题为:对于c>0,当非零实数a、b满足4a~2-2ab+4b~2-c=0,且使|2a+b|最大时,3/a-4/b+5/c的最小值为____.笔者对该题的解题方法及高等数学背景作了粗浅的研究,现概述如下,与同行交流.一、试题的多种思路与解法这是一道含多元变量的最值问题,具有一定的难度,解题关键是如何根据条件得出|2a+b|最大时a、b、c之间的相互关系.思路1:视c为常数,设法消元,转化为关     

一道绝对值不等式试题的多视角探究

<正>以函数为背景的绝对值不等式的求解或在含绝对值的不等式成立背景下求参数的取值范围问题是高考的重点题型.本文以2020年一道全国高考试题为例,多视角探究这类问题的解法.一、试题呈现试题已知函数f(x)=|x-a²|+|x-2a+1|.(1)当a=2时,求f(x)≥4的解集;(2)若f(x)≥4,求a的取值范围.二、解法探究1.第(1)问的思路分析与解答分析1 将a=2代入化简函数,利用零点划分区间讨论求解不等式.     

对一道二元函数最值问题求解的多视角探究

<正>1 考题呈现(2023届高三武汉市重点高中4月联考第16题) 已知正实数x,y满足xy²(x+y)=9,则2x+y的最小值为______.分析:本题是二元方程约束条件下的二元目标函数最值问题,试题简洁、优美,设有陷阱并有一定的难度,呈现出一定的综合性与选拔性,需要较高的逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.可以通过均值不等式法,或消参减元法,也可采取数形结合的方法来处理.2 解法探究视角1 观察到约束条件为四次式,     

一道高考函数题的解法探究

<正>本文以2015年江苏高考数学卷第19题为例,对高考函数的常考问题进行探究,以总结出解决这类问题的有效思路与解法.一、试题呈现题目已知函数f(x)=x³+ax3+ax²+b(a,b∈R).(1)试讨论f(x)的单调性;(2)若b=c-a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取     

最新竞赛最值问题例析

最值问题历来是数学竞赛中的热点之一,最值问题涉及的知识面广,难度大,近两年来的各级各类初中数学竞赛中的最值问题,在题型上已呈现出一个崭新的形势,同时最值的求法也有了较大的拓展,打破了原有的思维定势,但仍然是有章可循的.本文就这类问题的解法用实例加以说明.1数式最值问题例1(2006年全国初中数学竞赛试题)已知a,b,c为整数,且a+b=2006,c-a=2005.若a相似文献   

一道不等式问题的解法与变式拓展

一、试题呈现已知a,b>0,a√1-b²-b√1-a²=ab,求证:a/b+b/a≤√5.本文对上述不等式试题给出多种证法,并对其进行变式拓展及解法研讨.     

一道最值问题的多视角求解

<正>极值最值问题是数学学习中常见的问题.本文以一道最值问题为例,介绍如何通过对问题条件、结论的分析,形成不同的表象,产生数学联想,获得解题思路.希望能为学生多视角寻找解题途径,拓宽解题思路提供借鉴.问题设a,b∈R,a2+2b2=6,则a+b的最值是多少?视角1判别式的视角     

一类特殊的线性规划问题

<正>只含有两个变量的简单线性规划问题一般可用图解法来解决.但通过对近几年高考试题和各地模拟题的线性规划类型题目的分析,发现有的约束条件中含有三个变量,不能直接用线性规划知识解决,需要学生对题目进行综合分析,通过换元转化成两个变量,再运用线性规划进行求解.例1设正数a,b,c满足3a+c≤2b≤4(1/2)ac,求a+b+c/a-b的取值范围.分析本题的条件是含有三个变量的不     

一道多变量最值问题的几种解题视角

<正>在某种约束条件下求多变量最值问题已成为近年来高考题、竞赛题、模拟题的命题热点.由于该类问题变量较多且主次难分,相互间的制约关系难以确定,所以不少学生往往找不到解题的切入点而束手无策.笔者以2014年高考辽宁卷理科第16题为例,谈谈解答多变量最值问题的几种切入视角,希望对大家有所启迪.题目(2014年辽宁高考题)对于c>0,非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0,且     

平凡的方法,非凡的功效——应用配方法破解数学竞赛试题

正配方法是中学数学一种最普通、最基本、最简单的方法,它看似平淡无奇,但一些较高难度的数学竞赛试题应用配方法破解,却会收到意想不到的效果,可使问题化难为易、化繁为简.兹举例说明。一、应用配方法破解求值问题例1(2008年庆阳市高中数学竞赛试题)已知实数设a、b、c、d满足a+b+c+d=4,a~2+b~2+c~2+d~2=4,求abcd(1/2)的值.简析对两个已知等式配方得a~2+b~2+c~2+d~2-     

《数学教学》第1136号问题的探究

<正>本刊2021年第12期的1136号问题:已知对任意正数a、b、c,当a+b+c=1时,都有3^a+3^b+3^c 0,且a+b+c=1,可知a、b、c∈(0,1).设f(x)=3^x-(2x+1),x∈(0,1),则f’(x)=3^xln3-2.