三角形中线加倍法解题

在许多涉及三角形中线的问题中,常将中线延长一倍后构造全等三角形,则可简便求解. 一、求中线的取值范围例1 已知三角形两边的长分别为5和7.求第三边上的中线长的取值范围. (2001年黑龙江省中考题)     

辅助线的添法——倍长中线法

在初中平面几何学习中,经常遇到告知三角形的中线或者三角形一边的中点相关的一些题型.它们运用已知条件是不能直接证明的,下面介绍一种解决此类问题的方法:添加辅助线方法——倍长中线法.例1如图1在△ABC中,AC>AB,AD为BC边的中线,求证,∠1<∠2.分析欲证结论中角不等问题,一般想法是把不同一个三角形中的两个角转换到同一个三角形中去,用“大边对大角”证之.如何才能把∠1、∠2转换到同一个三角形中去?因为本题告知了AD是中线,可考虑“倍长中线法”,即中线AD延长一倍到E,连BE(如图所示),从而证得∠1=∠E,AC=BE即AC=BE>AB,得∠E<…     

倍长中线巧解题

把三角形的中线延长一倍的方法就是倍长中线法.运用这种方法,能将一些“散乱”的条件聚集到同一个三角形中,对解答三角形中线问题有奇效.     

三角形中常见辅助线的作法

《三角形》一章是同学们学习几何证明的基础.在学习过程中,有些同学常常对几何证明题辅助线的添加方法显得束手无策,下面笔者就谈一谈三角形中常见辅助线的作法.一、倍长中线法. 遇到三角形的中线问题,常延长中线,使延长线段与原中线相等,构     

三角形中线加倍法解题举例

在许多涉及三角形中线的问题中 ,若将中线延长一倍后构造全等三角形 ,则可简便求解 .　　一、求中线的取值范围例 1　已知三角形两边的长分别为 5和7.求第三边上的中线长ｘ的取值范围 .(2 0 0 1年黑龙江省中考题 )　解　如图 1 ,延长ＡＤ到Ｅ ,使ＤＥ =ＡＤ ,则△ＡＢＤ≌△ＥＣＤ .∴　ＣＥ =ＡＢ =7.在△ＡＥＣ中 ,由三角形三边关系 ,得 7-5 <ＡＥ <7+5 ,即2 <2ＡＤ <1 2 .∴　 1 <ＡＤ <6.评析　本题通过中线加倍巧妙地构造出一对全等三角形 ,从而将相关线段迁移到一个三角形中 ,再利用三角形三边关系求解 .图 1图 2　　二、计算角度例 2…     

倍长中线好解题

在几何解题中时常需要辅助线.在含有三角形中线条件的习题中倍长中线是一种重要的添加技巧,它可以将许多较为分散的条件相对集中,从而架设已知与未知的桥梁.现就倍长中线的方法举几例说明.例1如图1,△ABC中,BD=DC,若AD⊥AC,∠BAD=30°.求证:AC=12AB.简析虽然AC、AB在同一个三角形中,但无法证得结论.想到BD=DC,即AD是中线,可倍长中线,即延长AD至E,使DE=AD,再连结BE,则易证得△BDE≌△CDA.于是∠E=∠CAD,BE=AC.而AD⊥AC,则∠E=90°.在Rt△AEB中,∠BAD=ABEDC图1CADEB图230°,所以BE=12AB,故AC=12AB.例2如图2,…     

浅谈“倍长中线”法的导角策略

<正>"倍长中线"是一种常用的辅助线.但很多问题在倍长中线构建全等三角形的基础上,还需通过第二次构造全等才能解决.而第二次构造中,"等角"的证明是解决此类问题的难点.本文给出"倍长中线"法的五种导角策略,以作抛砖引玉.一、利用直角导角例1 如图1,在△ABC中,∠C=90°,D为AB的中点,点E,F分别在边AC,BC上,且ED⊥FD.求证:AE²+BF2+BF²=EF2=EF².证明如图1,延长ED至点G,使DG=ED,连结BG,GF.     

如何构造全等三角形解题

三角形是几何中的一种基本图形.解一些几何问题时,若能通过添加辅助线构造出全等三角形,就能使问题化难为易.那么,解题时应该如何构造全等三角形呢?一、已知中线若遇到中线,一般可将其延长一倍来构造全等三角形.例1如图1,在△ABC中,AD是中线,BE与AD交于点F,且AE=EF.试说明线段A     

辅助线的添法--倍长中线法

在初中平面几何学习中，经常遇到告知三角形的中线或者三角形一边的中点相关的一些题型．它们运用已知条件是不能直接证明的，下面介绍一种解决此类问题的方法：添加辅助线方法——倍长中线法．     

巧解中点问题

中点问题是平面几何中的一类典型问题,通常归结为线段相等问题加以解决,但若抓住其不同于一般线段相等问题的特点,可以实现妙思巧解.一、倍中线法倍中线法的基本思想是将某个三角形的某条中线延长一倍,得到全等三角形.将相关的边角集中到某个三角形中,以便解决问题.例1如图1,AB     

阿波罗奥尼斯定理的美妙证明及应用

<正>阿波罗奥尼斯定理,又称三角形中线长定理,其内容表达为:三角形一条中线两侧所对边的平方和等于底边一半的平方与中线平方和的2倍.其证明方法有很多,常见的有垂线段法、坐标系法、余弦定理法等,下面介绍一种简单明了,而又引人深思的证明方法.问题引导在△ABC中,AM是BC边的中线,若BC=a,AC=b,AB=c,AM=t.求证:t2=1/2(b2+c2)-     

三角形中线（点）的研究

例1 △ABC中,AB=8,AC=14,则中线AD的取值范围是 分析本题涉及三角形“三边”之间的关系,而两边与第三边中线不在同一三角形中,考虑到中线把一边分成两条相等的线段的情况,采用倍长中线法,即将中线加倍,将中线与已知两边转移到同一三角形中,问题便可解决．     

添加辅助线的小窍门

学习几何时,如何添加辅助线,有不少同学感到困难,现介绍几种辅助线的添加方法,以供参考.一、在已知条件中出现三角形的中线时,常延长中线1倍例1 已知:如图1,△ABC中,AD为BC边上的中线.     

巧用重心解(证)题

三解形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心.三角形的重心到顶点的距离是到对边中点距离的两倍.巧妙地运用重心,常常能使解题变得简捷明快. 一、巧用重心证明线段相等例1 如图1,△ABC中,BK为AC边上中线,D为BC上一点,且     

中点与辅助线

在平面几何问题中,当涉及到中点时,恰当运用添加辅助线,往往能化难为易。 1.当题目中有中线的条件时,常常延长中线至2倍并连结,构成一组全等三角形     

两个“倍半”巧解题

<正>两个“倍半”性质：一是三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半）;二是直角三角形斜边上的中线性质（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）.当已知条件中有中点时,同学们可以找直角三角形斜边上的中线或找另一中点,用好两个“倍半性质”,解题时可化难为易,事半功倍.     

较Weitzenbck不等式更精确的不等式

本文通过斯特瓦特定理推导出三角形三边中线平方和的公式,借助于三角形的中线长不小于该边上的高,进而推导出三角形面积与三边长的不等式S≤／3/4.／a2＋b2＋c2/1/a2＋1/b2＋1/c2,该不等式较Weitzenb6ck不等式S≤1/4／3（a2＋b2＋c2）确定的△ABC面积的上界要小．在推导该不等式的同时也给出了Weitzenbock不等式的一种新的证明方法．     

三角形重心性质的有关推论及应用

三角形的三条中线相交于一点,这一点叫做三角形的重心.三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.以三角形重心的定义和性质为依据,可推导出三条结论:推论1三角形的三条中线将三角形分成面积相等的六部分.如图1,△ABC的三条中线AD,BE,GF交于点G,则△ABC被分成面积相等的六部分,即S₁=S₂     

较Weitzenb(o)ck不等式更精确的不等式

本文通过斯特瓦特定理推导出三角形三边中线平方和的公式,借助于三角形的中线长不小于该边上的高,进而推导出三角形面积与三边长的不等式S≤√3/4·√a2+b2+c2/1/a2+1/b2+1/c2,该不等式较Weitzenb(o)ck不等式S≤1/4√3(a2+b2+c2)确定的△ABC面积的上界要小.在推导该不等式的同时也给出了Weitzenb(o)ck不等式的一种新的证明方法.     

中线、高与确定三角形的探究

中线和高是确定三角形的基础,已知三角形三条中线或三条高的长,便能作出三角形,已知两条中线及一条高,或者两条高及一条中线,也能作出三角