初探同码数列

若a表示1到9的九个数码,a_n表示第n位数的数码,那末数N=10~(n-1)a_n+10~(n-2)a_(n-1)+…+10a_2+a_1,记作N=a_na_(n-1)…a_2a_1.由相同的数码组成的数,叫做相同数码数,记作N=aa…aa。由相同数码数组成的数列,叫做相同数码数列,简称同码数列,设10~n-1=U_n,10~(2n)-1=V_n,本文将采用这两个数学符号,以使问题表达形式简洁。一、重9数列     

2006中国数学奥林匹克

第一天(2006-01-12)一、实数a1,a2,…,an满足a1+a2+…+an=0.求证:max1≤k≤n(a2k)≤3n∑in=-11(ai-ai+1)2.(朱华伟供题)二、正整数a1,a2,…,a2006(可以有相同的)使得aa12,aa23,…,aa22000065两两不相等.问:a1,a2,…,a2006中最少有多少个不同的数?(陈永高供题)三、正整数m、n、k满足mn=k2+k+3.证明:不定方程x2+11y2=4m和x2+11y2=4n中至少有一个有奇数解(x,y).(李伟固供题)第二天(2005-01-13)四、在Rt△ABC中,∠ACB=90°,△ABC的内切圆⊙O分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F,联结AD,与内切圆⊙O相交于点P,联结BP、CP.若∠BPC=90…     

神秘的“91”

91是个有趣的数。用一个十位与个位数字相同的两位数去乘以91,只要把这个数的个位和十位数字拉开,分别作为千位和个位数字,再在百位和十位上放两个0,就得到它们的积。例如:11×91=100122×91=200233×91=300344×91=400455×91=500566×91=600677×91=700788×91=800899×91=90     

数学第一册总复习

一、把左边的3只小玛圈起采,给石边的第3只小鸡打..V”。心心心心心心心心心ha十位个位搞益()个一十和()个一()个(2.十位上的数是1,个位上是8,这个数是( 个位上的数是8,十位上是l,这个数是(3.1个十和4个一组成(),7个一和4.从。数起,第20个数是()。5.在()里填上适当的数。 4+()=96一()=49+()6.把下面的算式按得数从大到小排列。 飞+R 10+74+97+8 ()个() )。 )。个十组成()。=14 >>>>7.算一算。 9+7=9一2=18一10=三、把得数相同的算式连起来。 5+4+l=9一3一5= 18一8一6二9+6+7二 10一()=46+8 10一4=10一2一4二8+9一7=’、必必必必大约是_时再…     

数学问题的分析解法

我们知道 ,数字问题用算术方法解比较困难 ,用方程法去解比较简便 ,但若用正确的逻辑思维去进行分析也会使解法很简便。现举例如下 :例 1　一个两位数 ,十位上的数字比个位上的数字少 1,十位数字与个位数的和是这个两位数的15 ,求这个两位数。解法一、(方程法 ) :设十位数字为ｘ ,则个位数字为ｘ + 1,依题意可得 :ｘ +ｘ + 1=15 (10ｘ +ｘ + 1)解之可得ｘ =4 ,ｘ + 1=5 ,∴这个两数为 4 5解法二、(分析法 ) :由前一条件知道这个两位数可能是 12、2 3、34、4 5、5 6、6 7、78、89,再由后一条件知此数能被 5整除 ,故这个两位数是 4 5。甲上例…     

拆项在数列中的应用

形如an=f(n)×qn(其中f(n)是关于n的多项式)的数列可用错位相减法求和,但f(n)的次数较高时用错位相减法比较麻烦.下面就来探讨拆项在相关数列问题中的应用. 一、拆项在数列求和中的应用 1.可行性分析 如果能找到一个数列{bn},使得an =bn+1-bn,那么数列{an}的前n项和Sn=a1 +a2+…+an=(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn+1-b1)一般地,当an=bn+k-bn或an=bn-bn+k(其中n∈N+,k∈N+,且k为常数)时,都可快速求和.     

问题1.12参考答案

问题　圆上有 9 个数码,已知从某一位起把这些数码按顺时针方向记下,得到的是一个9位数并且能被27整除.试说明:如果从任何一位起把这些数码按顺时针方向记下的话,那么所得的一个9位数也能被27整除.分析与解　如图 1 所示,设从位置a1 起得到的9位数是A = a1a2…a9,能被27整除,现在只要说明B = a2a3…a9a1 能被27整除,其余的均可依次推出.而A = a1 ×108 + a2 ×107 + a3 ×106 +…+ a ×10+ a ,善学　乐学B = a2 ×108 + a3 ×107 + a4 ×106 +…+ a9 ×10+ a1.故 10A -B = a1 ×109 - a1 =99…99个9a1 =9a1 ×11…19个1.因为3可整除11…1…     

这五个数的总和是多少

计算 1 966+ 1 976+ 1 986+ 1 :996+ 2 006 这 五个数 的 总和 是 多少华杯赛试题?( ) 这是一道等差数列求和的计算题 特点是已知 5 个加数 它们。 ,中前后相邻二数的差相等 都是 (10 构成等差数 列 要 求总 和 是), ,多少 解题关键是熟悉等差数列 。的求和公式与应用平均数或基数的求和公式 。公式 : 等差数列 的和= 首 项+ 末① (项 数的个数 2)× ÷。 奇数个等 差数 的平 均数=②中位数 即处于中心位置的那个 (数)。 它 们 的和 = 中 位 数 数 的 个 ×数 。 和=基数 可选最小数 数 ③ ( )…     

怎样说百位以上的数

用英语数到100,相信大多数同学都能做到。可是100以上的数字,你能用英语准确地表达吗?如果不能,那就来和我学一学吧。1.三位数用百位数加“hundred”,表示几百,然后在十位(如无十位则和个位)与百位间加上and.101a hundred and one320three hundred and tw enty648six hundred and forty-eight2.四位数以上从数字的右端向左端数起,每三位数加一个逗号“,”。从右开始,第一个“,”前的数字后添加thousand,第二个“,”前面的数字后添加m illion,第三个“,”前的数字后添加billion。然后一节一节地用我们学过的百位数、百以内数的形式分别表示就…     

数学竞赛训练题

~~《数学竞赛训练题》参考答案1D.221.37.4C.598.6239.7a与e,b与d,c与f是对面.8当0相似文献   

“多位数的读法和写法”练习设计

根据本节教学目的,我在教学中设计了以下几组习题,实践表明效果较好。一、复习概念,加深理解1.从低位到高位,按顺序说出个级、方级和亿级的每一个数位。2。从个位起,第几位是万位?第几位是亿位?3。千万位的左面一位是____位,右面的一位是_____位。4。用4、3、0、8、6五个数字组成最大的五位数是____,这个数中的“6”表示____。5。最大的七位数是____,最小的八位数是____,它们相差____。     

巧用等比数列求和公式证明不等式

等比数列求和公式为Sn=a1(11--qq n)(q≠1),有时用此公式证明不等式可简化证明过程.将数列知识与不等式知识相融合,既可培养学生思维的灵活性和创造性,又可简化思路、优化解题过程.一、直接公式法例1求证:1+21!+31!+41!+…+n1!<2(n≥2,n缀N).证明1+12!+31!+41!+…+n1!<1+12+212+123+…+21n-1=1×(11--121n)2=2-12n-1<2(n≥2,n缀N).故原不等式成立.小结本题直接运用等比数列求和公式,起到了立竿见影的效果.二、求和公式的逆用例2已知等差数列｛an｝和等比数列｛bn｝中a1=b1=a,a2=b2=b(b>a>0).求证:当n>2且n缀N时,bn>an.证明an=a+(n-1)(b-a)…     

数的巧算三例

例1计算3819+2246一1576一3219+1 573一2 843. 分析式中正的三个数与负的三个数的个位数字都是3、6、9,十位数字都是1、4、7,百位数字都是2、5、8,千位数字都是1、2、3,它们的代数和当然为。,即原式一0. 例2一个六位数,左边开始的数字为1,若把l从最左边移到最右边,则新数是厚数的3倍,求原数· 分析设l右边的五位数为x,依题意,得 IOx+1=3(105+x).解之,得x=42 857. 故所求的原数为142 857. 例3若1 512乘以正整数a,得到一个平方数,求最小的a和这个平方数. 分析由1512=23火3,又7知,当a=2x3x7=42时,有1 512 Xa=24 X 34 X 72二(22 X 32 x7)2=25…     

第2006个数是多少

问题:按规律排列的一串数:2,5,9,14,20,27……求这串数的第2006个数是多少?这是一道求数列(一串数)中某项(某个数)的巧算题。其特点是已知它的前6项a1、a2、a3、a4、a5、a6,要求第2006项a2006等于多少。解题的关键是先找出第n项an与序数n的数量关系,并熟悉等差数列求和公式。公式:等差数列的和=(首项+末项)×项数÷2可以这样思考,先把前6项从第二题起拆开写成和:a1=2,a2=5=2+3,a3=9=2+3+4,a4=14=2+3+4+5,a5=20=2+3+4+5+6,a6=27=2+3+4+5+6+7。于是找到规律。规律:数列第n项an等于n个连续自然数的和。其中第一个数(首项)是2,最末一个数(末项)…     

数列求和的方法

<正>数列求和是数列的重要内容之一,是高考必考内容.除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面就谈谈这类问题的解决方法和技巧.一、分组求和法如果数列的通项公式可分为几个等差、等比或常见的数列,这时就要分别求和,然后再相加.譬如数列{cn=an+bn},其中数列{an}、{bn}分别是等差、对比数列,前n项和Sn=(a1+b1)+(a1+b2)+…+(an+bn)=(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn).例1推测数列112,214,318,4116,…的前n项和Sn.解Sn=112+214+318+…+n+12()n=(1+2+3+…+n)+     

数列求和的方法

<正>数列求和是数列的重要内容之一,是高考必考内容.除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面就谈谈这类问题的解决方法和技巧.一、分组求和法如果数列的通项公式可分为几个等差、等比或常见的数列,这时就要分别求和,然后再相加.譬如数列{cn=an+bn},其中数列{an}、{bn}分别是等差、对比数列,前n项和Sn=(a1+b1)+(a1+b2)+…+(an+bn)=(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn).例1推测数列112,214,318,4116,…的前n项和Sn.解Sn=112+214+318+…+n+12()n=(1+2+3+…+n)+     

高考数列求和题型归类解析

数列求和问题 ,往往与函数、方程、不等式、参数讨论等诸多知识联系在一起 ,它以复杂多变、综合性强、解法灵活等特征而成为高考的重点 .下面针对高考数列求和问题的常见题型 ,结合实例 ,介绍其求解策略 .一、等差、等比数列求和综合题例 1　 ( 1998年全国考题 )一个数列 {an};当 n为奇数时 ,an=5n +1;当 n为偶数时 ,an =2 n2 .求这个数列的前 2 m项的和 .解 :数列的前 2 m项中 ,共含有 m个奇数项和 m个偶数项 ,故S2 m =( 2 +2 2 +… +2 m) +[6 +11+… +( 10 m- 4) ]=2 ( 1- 2 m)1- 2 +( 6 +10 m - 4) m2=5m 2 +m +2 m+ 1- 2 .评析 :求解此…     

“本末倒置”有奇效

所谓“本末倒置” ,是指把事物的主次、前后的位置摆颠倒 ,我们不妨将这种情形移用到数学中来 ,仔细分析和式和积式的结构 ,我们可以发现它们往往具有对称性的特征 .由此 ,可以先将其“倒序” ,然后再来求和或求积 .1.本末倒置———求和倒序求和法其实来源于教材中等差数列前n项和的推导 ,其实质是抓住了等差数列的一个重要性质 :若n +m =p +q ,则an+am =ap+aq(n、m、p、q∈N+ ) ( )首先写出Sn 的和式 ,再写出Sn 的倒序求和式 ,即Sn =a1 +a2 +… +an- 1 +an ①Sn =an+an- 1 +… +a2 +a1 ②① +②则2Sn =(a1 +an) +(a2 +an - 1 ) +… +(…     

灵活运用组合数的性质求和

组合数、排列数、自然数连乘积、自然数的方幂等求和中 ,很多问题 ,有时百思不得其解 .灵活运用组合数的性质 :Cmn+1 =Cmn + Cm- 1n ,却能化难为易 ,获得简捷明快的解法 .下面由浅入深研究四个问题 .一、排列数与组合数的求和例 1　求证 :Cmm + Cmm- 1 + Cmm +2 +… + Cmn =Cm+1n+1(其中 m ,n均为正整数 ) .证明 :根据组合数的性质 :Cmm =Cm +1m +1 ,Cmn + Cm- 1n= Cmn+1 .∴ Cmm + Cmm +1 + Cmm+2 +… + Cmn =Cm+1m+1 +Cmm +1 + Cmm+2 +… + Cmn =Cm+1m+1 + Cmm+2 +… + Cmn =… = Cm +1n + Cmn =Cm +1n+1 .例 2　求和 :S =Pmm…     

九年义务教育六年制小学数学第六册部分思考题试析(一)

1.在下面每个算式中等号两边的方框里填上相同的两位数,使算式两边相等。(P5) 3× =1 6× =2 答案是50和40。这道题是让学生熟悉乘法口诀表。但部分学生感到很难想,甚至认为题目无解,原因是只考虑填1--9九个数字,而没有考虑填0。 2,X拧 X誓 X誓 芦誓先笔算上面各题,然后想一想,怎样算比较简便。你能很快算出下面各题的得数吗?13×11 24×11 38×11 49×11 (P10) 笔算竖式结果分别是132,253,396,495。分析被乘数与乘积的关系,可知乘积的百位和个位上和数字分别是被乘数卜位和个位上的数字,而乘积的十位上的数字是被乘数十位和个位数字之和(如果和大于9,则乘积的十位上的数字取和的个位数,而十位数则加到乘积的百位上的数字去)。这是两位数乘以11的速算方法。为此得出所求各式的答案分别是143,264,418。539。