动中取静抓核心 立足转化显本质——“特殊平行四边形中的线段最值问题”专题课教学设计

<正>笔者在完成特殊平行四边形教学的基础上,探索设计了一节"特殊平行四边形中的线段最值问题"专题课,对如何利用特殊平行四边形的性质,以及用所学知识解决动点与定点、动点与动点之间的线段最值问题进行深入探究,与大家分享.一、动中取静,构造三角形例1 如图1,在矩形ABCD中,AB=8,BC=3.顶点A,B分别在y轴和x轴上,当点A在y轴上移动时,点B也随之在x轴上移动,则在移动过程中,OD的最大值是( )解析此题意在考查学     

特殊四边形存在性问题的求解通法及思考

<正>函数背景下特殊四边形存在性问题是历年中考热点之一.学生在解决此类问题时,由于考虑不周全,往往会遗漏一些情形,而利用平面几何的平移来求解也有一定的难度.因此,找到突破口,掌握一套行之有效的方法是很有必要的.笔者总结了"对点法"、"假定法",可以将这类图形复杂、动点较多的问题变为简单的代数问题.一、问题及诊断1. 问题及解答如图1,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C. 若D是x轴上的动点,     

对一个轨迹问题的变式探究

题目:长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,求线段AB的中点的轨迹方程.这是人教A版数学必修2第124页B组第2题.易得点P的轨迹方程为x~2+y~2=a~2.如果就题论题,那么我们就会失去一次培养学生探究能力的机会.如果借助《几何画板》,改变问题的条件,那么可以得到多姿多彩的曲线.现将我们的探究过程介绍如下.1.改变动点的位置,探究动点的轨迹结论1.1长为l的线段AB的两个端点A和B分别在x轴、y轴上滑动,点P在直线     

动点问题的分类妙解

<正>动点问题是初中数学中的重要内容之一,也是综合性强、难度高的题型之一.在解题过程中,遇到此类问题,很多学生往往束手无策、无从下手.鉴于此,探究动点问题的解法,对于提高学生探究数学的积极性,自信心有重要意义.动点问题往往与函数、几何有着密切的联系,涉及数学思想方法多样化,笔者结合多年教学实践经验,对此类题目的解法进行归类探讨.一、含动点的找规律问题"找规律"问题往往与动点问题结合在一     

以抛物线为载体的四类“一动点型最值问题”的通用解法

<正>若问题中只涉及一个动点,并且要求最值,我们称之为"一动点型最值问题".此类问题是近几年中考的热点问题之一.本文介绍以抛物线为载体的四类"一动点型最值问题"的通用解法.一、线段长度最值型问题例1(2010年眉山)如图1,RtABO的两直角边OA,OB分别在x轴的负半轴和y轴     

辨析 悟道 防错解

<正>列方程解几何题虽然是一种常见的方法,但也难免出现一些不容忽视的错误.那么使用这种方法解题时,主要存在哪些需要防范的问题呢?对此,笔者通过一些案例进行了探究,并将其归纳为"一个中心,两个基本点".1一个中心:方程模型与图形结构要匹配1.1杜绝显性不当的方程模型例1如图1,在平面直角坐标系中,已知点A(1,2),B(2,1),而点C(m,0)是x轴上的一个动点.若使     

最值问题中动点的确定

"最值问题中动点的确定"是初中数学中一类综合性很强的问题,在整个初中数学的学习中都存在最值问题,这类试题也是近几年中考的热点问题之一,它主要考查学生的探究能力和创新意识和运用所学数学知识解决实际问题的能力,对学生思维能力的要求很高.本文结合实例谈谈"最值问题中动点确定"的若干求解策略.一、利用轴对称确定动点通过轴对称,画出一个定点关于对称轴的对称点,把折线段变成直线段,由"两点之间线段最短"得线段和的最小值,从而确定此时的动点位置.     

坐标系中圆的分类探究

众所周知:圆心决定圆的位置,半径确定圆的大小,两元素中有一个未定时,既需分类探究.一、圆心位置引出的分类探究例1如图1,在平面直角坐标系中,直线l:y=-2x-8分别与x轴、y轴相交于A,B两点,点P(0,k)是y轴的负半轴上的一个动点,以P为圆心,3为半径作⊙P.     

例析与抛物线旋转有关的问题

<正>将某抛物线绕某定点或动点旋转一定的角度后,得到的新抛物线与原抛物线叠加融合,使得抛物线成对出现,同时设置"动点"、"动线段"、"动图形"等探究性问题,使问题在呈现方式上图文并茂、新颖活泼、富有创新意识.此类问题关联的知识点多、能力要求高、思维密度大,能较好地考查学生的综合能力和学科素养.本文撷取几例,供大家参考.一、形状确定的抛物线绕x轴上的动点旋转     

“斜向”垂线段的最值求解策略

<正>2015年中考压轴题出现了一类新题型:求抛物线上的动点到定直线的距离的最大(小)值问题,解答时一般先画出动点到定直线的垂线段,然后再求垂线段的长.由于定直线不与x轴(或y轴)平行,垂线段往往是"斜向"的,直接求其长度比较困难.这类问题的求解策略是:先过动点作y轴的平行线与定直线相交,再利用条件建立动点与交点连成的线段长、"斜向"垂线段长之间的等量关系,进而设出动点坐标,根据等量关系得到"斜向"垂线段长的函数表达式求最大(小)值.下面举例说明.     

例析一道复习题的变式教学

<正>数学课堂随处充满了问题,对于一道例题,我们教师可启发学生发现并设计一系列的问题,让学生的手"动"起来、脑"动"起来,就能充分调动学生学习的潜力.下面是笔者对一节复习课的设计和尝试.初中数学八年级中《轴对称图形》的单元复习课上,笔者选了如下一道题目来复习等腰三角形的轴对称性.复习题顶角为36°的等腰三角形具有一种特性,即经过它的某一顶点的一条射线可把它分成两个小等腰三角形.请解答:     

几何画板让数学研究走进缘分的天空——也谈技术环境下与两定圆相切的动圆圆心轨迹的探求

与两定圆相切的动圆圆心轨迹涉及问题复杂,需要构建技术环境以帮助学生认识问题的本质;在详解问题情境的画板构造后,分情况进行详细探究,并得出结论:当动圆与两定圆同时内切或外切时,圆心轨迹为长轴长(或实轴长)为半径之差的椭圆(或双曲线);当动圆与一定圆外切一定圆内切时,圆心轨迹为长轴长(或实轴长)为半径之和的椭圆(或双曲线).而应用技术在帮助学生认知的同时,也为数学课堂转型提供了一重要方向.     

“k·PA+PB”型几何最值问题的解题策略

<正>"k·PA+PB"型的动点几何最值问题是近几年全国各地中考试题中的热点,也是难点.本文选取几例中考题,谈谈此类问题的解题思路,希望能给大家一点启发.一、构造二次函数模型求解例1(2018年重庆中考题)抛物线■与x轴交于点A,B(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(1)如图1,连结CD,求线段CD的长;(2)如图2,点P是直线AC上方抛物线上     

两个动线与动点构造的相似三角形问题

探究与抛物线有关的动线构造的图形之间的位置、数量关系等,是中考数学综合题的一般构造方式.由于问题的开放性较强,联系的知识点较多,富有趣味性、探究性的特点,因此倍受各地中考命题的重视.本文结合与动线、抛物线上动点构造的三角形相似问题进行分析,并得出一般问题的普遍性结论,供参考.一、问题引入例1如图1,点P是二次函数y=-x~2+3x的图象在y轴右侧部分上的一个动点,将直线y=-2x向上平移,分别与z轴、y轴交于点C、D,如果以CD为直角边的△PCD与△OCD相似,确定符合条件的点P的     

初中常见的动点轨迹问题归纳与突破策略

动点轨迹问题对于初中生来说既是重点也是难点.文章归纳出初中常见的两大类动点轨迹类型——圆弧型和直线型.列举具体实例对学生比较困惑的两种动点轨迹问题(即"定边对定角"的动点轨迹和动点与定点的连线与定直线的夹角为定角的动点轨迹)进行分析讲解:题目中如能找到定边对定角,则该动点的运动轨迹为在以定边为弦且经过定点的圆弧上,这一类型关键的突破口是求出定边对面角的具体度数,为定值.而题目中如出现动点与定点的连线与定直线的夹角为定角时,则该动点的轨迹为直线型(这个夹角的另一边),解决这一类型的方法为夹角定位法.     

直线方程教学中探究式学习初探

<正>探究能力是指应用学过的知识通过观察、联想、类比、分析、综合、猜想等手段,对问题进行探索和研究的能力.本文通过一道解析几何题,浅谈学生探究能力的培养.例过点P(2,1)引一条直线l,使它与x轴、y轴分别交于A、B两点.若SAOB=6,求直线l的方程一、探究问题的基本解法在指导学生解题时,首先要求学生注意研究基本的解题思路和方法.分析直线方程有五种形式,在利用待定系数法设直线方程时,要注意方程的形式     

一道动点最值问题的探究与变式思考

<正>动点最值问题是初中平面几何学习和考试的热点.本文笔者对一道定角动点最值问题作了深入探究,发现借助"斜大于垂"或是"隐圆"可以轻松破解.在探究解法的基础上,从改变题目的条件或是结论或是改变题目的呈现背景,将其架构到不同几何图形中,进行深入的变式探究,从而更好地理解问题的本质,达到解一题会一类,有效提升学生的学科素养.     

抛物线中平行四边形形状的判定

抛物线与平行四边形的融合,是近年来中考命题的新亮点,一方面考查学生平行四边形的判定,另一方面考查学生抛物线的知识.这类题目通常和动点问题相联系,综合考查学生分类讨论的数学思想.一、一动点在一定线段上运动例1(2009年江西)如图1,抛物线y=-x~2+2x+3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,顶点为D.(1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴;(2)连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,     

手脑并用"话"路径 ——探索动点的路径

探索动点路径的形状和计算路径的长是学生解决的难点,要求学生具有较高的空间想象能力和分析问题的能力.本文旨在通过学生自主的"手脑"活动,初步探究解决动点路径问题的基本方法.     

浅谈动点产生特殊三角形的解决模型

<正>近年来,以动点产生特殊三角形常常被命制成中考数学压轴题,这类问题失分率较高,笔者尝试用建立模型与构图对中考真题进行剖析,并揭示解题策略.一、动点产生等腰三角形例1(2013年云南大理等八地市)如图,四边形ABCD是等腰梯形,下底AB在x轴上,点D在y轴上,直线AC与y轴交于点E