从求最小公倍数入手分析

[题目]有三个连续的自然数,其中最小的一个能被15整除,较大的一个能被17整除,最大的一个能被19整除。请写出一组这样的自然数。     

问题解答与“解证明题”

常州市的朱叶涛等同学来信问:为什么“连续7个自然数,各数平方的和能被7整除?”这个问题讲完整了应是:“证明连续7个自然数,各数平方的和能被7整除.”"证明"也称"论证",是根据已知真实的判断来确定某一     

数学基础知识答问二则

问:整除与除尽有什么不同? 答:整除与除尽是两个不同而又容易混淆的概念。如果一个自然数a,除以一个自然数b,得到一个整数商c而没有余数时,我们说a能被b整除,或叫做b整除a。记作a∶b。例如32÷4=8,我们说32能被4整除,或叫做4整除32。记作32∶4。这里的被除数,除数都是自然数,商也是自然数(不可能为零),我们才称为整     

一道菲律宾赛题的推广

题目:试求两组大于7的三个连续整数,分别被7,8和9整除. 事实土,可将该题推广为: 命题若三个连线自然数:一2,x一」,x分别能被自然数a一2,a一1,a(x>a>2)整除,则x=a ka(a一」)(a一2)(k任N). 证明显然司x, (a一1)lx一1=(a一1)(1 ka(a一2)), (a一2)一x一2.故命题成立. 另外,命题可推     

关于排列组合两个问题的探讨

排列组合是初等数学的重点内容之一。推导组合数公式的传统方法，都是根据排列与组合的联系，利用排列数公式来推导组合数公式。实际上，我们完全可以不借助于排列数公式而独立的建立组合数公式；任意m个连续自然数之积，一定能被m!整除，这是学过排列组合的同学不难理解的，但是,m-1个连续自然数之积在满足一定条件后，也能被m!整除，这一点也许同学们并没有注意到。熟悉这些内容，对于进一步学习，研究有关排列组合问题是十分有益的。     

第五讲 数的整除

数的整除是指:整数a除以自然数(小学里对于a和b都限于自然数),除得的商正好是整数而没有余数(也就是余数为0),我们就说a能被b整除,或者说b能整除a。这时,a叫做b的倍数,b叫做a的约数,显然零是任何自然数的倍数,1是任何自然数的约数。但零不是任何自然数的约数。     

能被末位是3的自然数整除的整数特征

贵刊1993年第5期刊载过《能被末位是9的自然数整除的整数的特征》一文,本文特给出能被末位是3的自然数整除的整数的特征,以供读者在教学和研究中参考.定理能被自然数10n 3(n 为非负整数)整除的整数的特征是:这个数的末位数的(3n 1)倍与它的末位以前的数字所表示的数     

质数与合数

一个大于1的自然数，如果它只能被1和本身整除，那么就称这个自然数为质数(也称素数)；如果它不仅能被1和本身整除，而且还能被其他的自然数整除，那么称这个自然数为合数；1既不是质数，也不是合数．这样，就把全体自然数分成为：1、质数和合数三类．质数和合数是有关自然数的又一重要概念，由于质数分布的不规则性，     

关于数的整除性的判别法

关于自然数N和D,如果存在着一个自然数q,能使等式N=Dq成立,那么我們称N能被D整除,为了要知道N能否給D整除,当然只要除一除就解决了。但如果我们希望不通过除的实踐,也要确定一个数能否給另一个数整除,我們就要研究整除性的判別法。以下为敘述方便起見,我們采用符号a:b表示a能被b整除,a不:b表示a不能被b整除。     

一类高次方程根的性质的证明

1.在方程x~3+lx~2+mx+n=0中,系数l、m、n都是自然数旦分别能被自然数p、p~2p~3整除,方程的根为α、β、γ,则对于任何自然数k,α~k+β~k+γ~k为整数,且能被p~k整除。 2.在方程x~4+lx~3+mx~2+rx+q=0中,系数l、m、r、q都是自然数且分别能被自然数p、p~2、p~3、p~4整除,方程的根为α、β、γ、δ,则对于任何自然数k,α~k+β~k+γ~k+δ~k为整数且能被p~k整除。一般的有: 3.在方程x~n+α_1x~(n-1)+α_2x~(n-2)+…+a_(n-2)x~2+a_(n-1)x+α_n0中,系数α_1、α_2、…、α_都是自数然且分别能被自然数p、p~2、…、p~n整除。方程的根为x_1、x_2、…、x_n,则对于任何自然数k,x_1~k+x_2~k+…+x_a~k为整数且能被p~k整除。     

一个涵盖广泛的整除性定理

在数的整除性问题研究中,有一个重要的定理,本文以它作为引理:如果两个数中的一个数能被一自然数整除,那么这两个数的和(或差)能被这个自然数整除的充要条件是另一个数也能被这个自然数整除。由这个引理可推出能被2(或5)、4(或25)、8(或125)、3(或9)、11以及7、11、13整除的数的特征。引理本身以及由它推出的能被这些数整除的数的特征,有     

数的整除特征

一个整数A能被自然数B整除的特征,就是A能被B整除的充要条件。能被2,5,4,25,8,125,3,9,7,11,13整除的数的特征是人们熟知的我们进一步问:能被17,19,23,29,31,37,41,43,47,…这些自然数整除的数的特征又是什么呢?如果弧立地一个一个去研究,那么得出的结论必然太多,难于记住,价值也就不大了,于是,笔者把大于5的质数分成个位为1,3,7,9四类,研究能被每类质数整除的数的统一特征,获得了四个一般性的结论,从而不只从理论上而且从实践上一举解决了怎样判断一个整数能被大于5的任何一个质数整除的问题。     

用“割尾法”判断整除性溯源

判断自然数 N 能否被自然数 b 整除,有一种方法是“割尾法”,它分“割尾相加”与’割尾相减”两种。如判断一个数能否被19整除,用“割尾相加法”,去掉此数的末位数,再从剩余部分组成的数里加上割去数的2倍。如此继续。若最后结果能被19整除,则该数就能被19     

联系小学实际 简介整数的性质(一)

一、约数和倍数 1.整除整数a除以自然数b,如果能够得到整数q,这时,就叫做b能整除a(或者a能被b整除)、记作b|a(或者a|b)。如果b不能整除a,记作b(?)a。小学数学教材在讲整除概念之前就提出:“在讲数的整除时,我们说的数,一般只指自然数,不包括0。”然后提出:“数a除以数b,除得的商正好是整数而没有余数,我们就说,a能被b整除。”按照这个定义,我们就不能判断0能不能被2、3等数整除,而按照前一定义,就能作出肯定的判断。     

因式分解的应用

因式分解是一种技巧性很强的恒等变形,它是初中代数的重要内容之一,在解决其他许多问题时有着广泛的应用．根据题目特点,适当地应用因式分解解题,可以简化运算过程,提高解题速度．以下便以几道题目为例加以说明．一、复杂运算简单化二、求值问题迅速化三、整除性质明朗化∴　原式能被１３整除．四、判断合数熟练化例９　若ａ为大于１的整数,求证：ａ４＋４为合数．例１０　求证：对任意自然数ｎ,总能找到自然数ｍ,使得ｍｎ＋４为合数．例１１　四个连续自然数的积与１的和是一个合数吗？解　设四个连续自然数依次为∴　四个连续自然…     

梅森素数的诱惑

一个大于1的自然数,只能被1和它本身整除,不能被其他自然数整除,这样的自然数叫做素数(有的书上也叫质数).2,3,5,7,11,13,17,19,都是素数,其他自然数,1除外,叫做合数.     

学习“数的整除性”一章应注意的几个问题

学习《算术理论》一书有关数的整除性时,有必要联系小学教材和教学工作的实际,弄清几个有关的问题。一、关于整除的两种定义。整除的定义,常见的有两种。第一种是:如果整数a除以自然数b,所得的商正好是整数而没有余数,我们说a能被b整除。第二种定义是:a和b都是自然数,如果a除以b所得     

约数和因数的联系和区别

约数和因数是既相联系又有区别的两个概念。我们说一个数是另一个数的约数,是以这个数能被另一个数整除为前提的;而教材中所讲的“整除”,“一般只指自然数”,即它是在自然数范围内讨论的。据此考察15的约数,则有:1、3、5、15;同样在自然数范围内去寻找15的因数,     

与“任意性”有关的数学问题

请看下面一组自然数：7,19,31,43,79。这几个数都是素数,但其中任意两个数的和都能被2整除,任意三个数的和都能被3整除,任意四个数的和都能被4整除。     

三筐鸡蛋

有大、中、小三筐鸡蛋,它们的个数都是两位数,而组成这三个数的六个数码是1、2、3和6、7、8,并且任取两筐鸡蛋个数之乘积,都能被另一筐蛋数所整除．请你算出三筐鸡蛋各有多少个。答案因2n、4n、8n（n为任意自然数）任取两数之积都能被另一数所整除。令n＝9就在18,36,72为所求。三筐鸡蛋@李方钥