用向量求解一类三角问题

贵刊文[1]通过创设解析几何背景,利用解析法求解含有asin α±bsin α(或asin α±bsin β)或acos α±bcos β)所满足条件的三角问题,读后深受启发,本文利用向量作为工具,通过构造向量解决文[1]中的三个例题,供参考.     

asinα+bcosα的一个性质及应用

性质　若 sinα与 cosα的一次齐次式asinα+ bcosα满足 asinα1 + bcosα1 =asinα2+ bcosα2 =0 (α1 ≠ kπ+α2 ,k∈ Z) ,则 asinα+bcosα恒等于零 .证明　由条件 asinα1 + bcosα1 =0 ,asinα2 + bcosα2 =0 ,∵α1 -α2 ≠ kπ( k∈ Z) ,∴ sinα1 cosα2 - cosα1 sinα2 =sin( α1 - α2 )≠ 0 ,∴上述关于 a,b的齐次线性方程组只有零解 a=b=0 ,∴ asinα+bcosα恒等于零 .利用上述性质 ,可以使一类三角函数式的求值、化简、证明问题 ,获得简明的解法 ,下面略举几例 ,以示说明 .例 1　求证 :sin( 5π6 - φ) + sin( 5π6 + φ) …     

巧构等腰三角形妙证两角互余题

题　若 b>a>0 ,　bsin2 α=asin2 β,bcos2 α acos2 β=b,α,β∈ (0 ,π2 ) .求证 :α 2 β=π2 .此题常规的证明方法是利用已知条件先证明 cos(α 2 β) =0 (或 sin(α 2 β) =1 ) ,再利用余弦函数值等于 0 (或正弦函数值等于1 )的角 α 2 β在 (0 ,3π2 )内只有 π2 来证 .事实上 ,若联想所给条件的几何意义 ,便可构造等腰三角形 ,巧妙地加以证明 .证明　∵ bcos 2α acos 2β=b,∴acos2 β=b(1 - cos2 α) >0 .由 β∈ (0 ,π2 ) ,知 2 β∈ (0 ,π2 ) .由 bcos 2α=b- acos 2β>a(1 - cos 2β)图 1>0及 α∈ (0 ,π2 )知 2 α∈…     

一个三角问题的再思考

<正>几乎每年的高考题中,都有涉及asin x+bcos x形式的三角问题.处理这类问题时,我们常用到辅助角公式asin x+bcos x=(a2+b2)～(1/2)sin(x+φ).此法对简化三角问题的处理有积极的作用,但由于涉及辅助角,有时应用不太方便.实际上,对于三角方程asin x+bcos x=     

学习公式asinθ+bcosθ=(a~2+b~2)~(1/2)sin(θ+φ)(ab≠0)的四个层次

一般地,三角式asinθ＋bcosθ（ab≠0）总可通过添设辅助角,利用三角变换知识转化为“√a^2＋b^2sin（θ＋φ）,即得公式     

几种三角函数极值的物理应用

1 y=asinθ＋bcosθ的极值应用 y=asinθ＋bcosθ=√a^2＋b^2sin（θ＋α）,其中tan α=b/a，所以,y的极值：ymin=-√a^2＋b^2sin     

正、余弦定理的新推导

新教材利用向量数量积 ,分别用不同方法推导出正弦定理和余弦定理 ,其技巧不易想到 .我们尝试用向量的坐标表示及其运算 ,引导学生推导 ,结果事半功倍 ,“一箭三雕”.图 1如图 1,在△ABC中 ,|AB|=c,|BC |=a,|AC|=b,则 AB=(c,0 ) ,BC=(acos(π- B) ,asin(π-B) ) =(- acos B,asin B) ,AC=(bcos A,bsin A) .∵ AC=AB+BC,∴ (bcos A,bsin A)=(c,0 ) +(- acos B,asin B)=(c- acos B,asin B) .∴ bcos A=c- acos B,bsin A=asin B,(bcos A) 2 +(bsin A) 2 =(c- acos B) 2 +(asin B) 2 ,∴ acos B+bcos A=c(射影定理 ) ,asin A=b…     

动圆圆心的轨迹归类例析

求轨迹或轨迹方程是解析几何中的一个重要问题,而求动圆圆心的轨迹(或方程)贯穿于整个解析几何之中,其轨迹既可以是直线和圆,也可以是圆锥曲线.通过对这类问题的学习,可以帮助学生更好地理解圆锥曲线的定义和性质,帮助学生理清各种多变的动圆圆心的轨迹情形,做到心中有数,胸有成竹.1轨迹是直线若动圆与一定直线相切,且半径为定值时,圆心的轨迹是二条直线.例1一个动圆与直线x+y=0相切,且半径为2,则动圆圆心的轨迹方程是.分析根据直线和圆相切及点到直线的距离公式,不难得到动圆圆心的轨迹方程是y=x±2.2轨迹是圆若动圆与二个给定的同心圆中的…     

解析几何在高考考题中的体现

平面解析几何知识包括直线和圆的方程,圆锥曲线方程,还有极坐标方程,这是高考必考内容。在近几年全国统一高考试题中,主要考查学生计算能力,逻辑推理能力,分析问题、解决问题的综合能力等。笔者结合近几年的高考题,分类说明如下:一、直线与圆位置关系①直线与圆相切问题,主要利用圆心到切线的距离等于圆的半径(点到直线的距离公式)。例如:1.若直线(1 !) y 1=0与圆x2 y2-2x=0相切,则a的值为A1,-1B2,-2C1D-12.设直线l过点(-2,0)且与圆x2 y2=1相切,则的斜率是A±1B±21C±!33D±!3②有关弦长问题,通常利用弦心距、弦半径、圆半径所构成的直…     

关于三角型函数y=asinωx＋bcosωx的奇偶性

通过三角函数奇偶性的定义、三角辅助角公式、诱导公式，用分类讨论的思想方法，对三角型函数Y=asinωx＋bcosωx的奇偶性进行研究，并得到了相应的结果．     

谈谈公式asinα+bcosα=(a~2+b~2)/(1/2)sin(α+φ)

1　问题的提出2000年全国高考理科考试数学卷的第17小题是这样的:已知函数y=12cos2x 32sinxcosx 1,x∈R.()当函数y取得最大值时,求自变量x的集合;()该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?这道题主要考查了三角函数的图象及变换、二倍角公式、两角和与差的正弦公式及化简变形能力.从答卷情况看,主要的问题在于y=asinα bcosα的化简,下面我们就来谈谈这个公式.1.1　源于课本asinα bcosα=a2 b2sin(α φ)是一道课本例题的结果,反映了添置辅助角的思想,它把asinα bcosα化为一个正弦函数.一般地,对于y=asinα b…     

高中物理中的数学方法

物理是数学的分支,要想学好物理,打好数学基础很关键.灵活地应用数学知识,对于解决物理问题显得尤为重要.从物理现象出发,经过分析,把物理问题转化为数学问题,运用数学知识,例如三角公式、函数关系、几何关系等,方能迅速地对物理问题进行求解.一、运用三角公式asinθ+bcosθ=a2+b2sin(θ+α)求解此方法主要根据三角函数sin(θ+α)=±1时,asinθ+bcosθ有最值,且tan例α=1ab.如图1所示,用力F拉一物体在水平地面上匀速前进,物体的质量为m,物体与地面间的动摩擦因数为μ,欲使F最小,则F应与水平图1方向成多大的夹角?最小的力为多大?解析:设F与…     

如何全方位理解sinθ±cosθ?

在数学题目中,我们常见到 sinθ±cosθ的形式,它是asinθ bcosθ形式的特殊情况.如何全方位理解这个形式是解题中灵活运用它的前提,下文通过五个方面来谈谈这个问题.1 可化为y=Asin(wx (?))的形式     

抓住三个关键环节,轻松破解解析几何题

解析几何解答题向来是各地高考数学试题中具有相当分量的题目,在高考中起着拉开各类学生档次的作用,之所以这样说,是因为解析几何解答题融汇直线、圆、圆锥曲线、三角、向量等知识于一体,计算量比较大,而且承载着数形结合、转化化归、函数与方程等思想方法的考查任务,因此对很多学生来说,解析几何题得高分是可望而不可及的.解析几何解答题,通常包含两问(或三问),第一问,确定曲线方程,比较简单,学生得分相对容易;第     

数学课堂中的人本教学模式——以“点到直线的距离公式”教学为例

<正>点到直线的距离公式是高中解析几何课程中重要的公式之一,它是解决点线、线线距离的基础,也为以后研究直线与圆的位置关系、圆锥曲线综合问题奠定了基础.本节课"点到直线的距离",是从初中平面几何的定性作图过渡到高中解析几何的定量计算.学生通过点到直线的距离公式的探究过程,可以进一步领会蕴含于其中的数学思想,逐步学会利用数形结合、转     

解析几何

解析几何综合题是高考命题的热点内容之一,向来作为压轴题出现,成为考生能否取得高分的关键.这类题目大都以直线、圆或者圆锥曲线知识为载体,综合函数、不等式、三角、数列等知识,涉及的知识点较多,重在考查思维能力,要求考生能够结合已经掌握的有关直线、圆、圆锥曲线的知识与方法,对面临的问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括;会用类比、归纳和演绎进行推理;能合乎逻辑地、准确地进行表述.调查表明,很多考生对解析几何综合题     

利用三角方程asinx+bcosx=c有解的条件解题

<正> 三角方程asin x+bcos x=c有解的充要条件是利用这一结论,可简捷地解决一些三角函数问题.一、求有关三角函数的值域或最值例1 求函数y=3sin(x+20°)+sin(x+80°)的最大值     

也谈化asinα+bcosα为一个函数的问题兼与淡异如同志商榷

淡异如同志在《关于化 asinα+bcosα为一个函数的问题》一文中(以下简称《淡文》,见本刊82年第5期《教材讨论》专栏)认为:“部编教材(高中一册)中,化 asinα+bcosα为一个函数的结论:asinα+bcosα=(a~2+b~2)~(1/2)sin(α+(?))(其中(?)由 tg(?)=b/a 确定)”不妥.其理由是:“由 tg(?)=b/a 确定的(?)不是唯一的”,“其中有的(?)能使等式 asinα+bcosα=(a~2+b~2)~(1/2)sin(α+(?))成立,有的(?)则不能使上面等式成立”。并以“化-2~(1/2)/2sinα+2~(1/2)/2cosα     

利用直线与圆求解一类三角题

形如 acosθ bsinθ=c 的关系式常常出现在某些三角问题中.若设 cosθ=x,sinθ=y 则此式可写成 ax by=c 同时有 x~2 y~2=1,因而可将问题与解析几何中直线与圆相联系来求解.本文打算通过数例来说明这一应用,以期抛砖引玉.     

题中无圆心有圆 圆来就这么简单

研究近年高考数学试题,发现解析几何对“椭圆”和“抛物线”的考查难度有所下降,“直线与圆”的地位大幅度提升,具有数学文化背景的题目层出不穷.其中,有一类圆的问题在已知条件中没有直接给出圆的有关信息,而是隐藏在条件中,需要通过分析转化,从而发现圆(或圆的方程),进而利用圆的知识求解,这类问题称为“隐形圆”问题.比如“蒙日圆”、“阿波罗尼斯圆”等.“隐形圆”问题综合性强,充分考查了学生数形结合、化归与转化等数学思想方法,学生答题有一定的难度.本文以几道高考题和模拟题为例,探寻“隐形圆”问题求解策略.