关于三角形内角平分线长的一个不等式

刘健在文[1]中建立了下述三角形不等式: 设△ABC的内角A,B,C的平分线与面积分别为w_a,w_b,w_c与△,则     

一个三角形不等式

文[1]中建立了一个不等式链: m_am_bm_c≥r_ar_br_c≥w_aw_bw_c。 (1) 下面给出不等式链(1)的一个综合加强。 命题 设m_a、m_b、m_c,w_a、w_b、w_c,r_a、r_b、r_c分别表示△ABC的中线、角平分线和旁切圆半径。则 m_am_bm_cw_aw_bw_c≥(r_ar_br_c)~2。 (2) 当且仅当△ABC为正三角形时,等号成立。     

恒(能)成立问题的正确转化

<正>河北省邯郸市第一中学马进才老师的《双变量的"任意性问题"与"存在性问题"辨析》~(\[1\])一文发表于《中学数学教学》2018年第6期(总第234期).不久前笔者刚好上过一节研究此类问题的专题课,因此,这篇文章引起了我的注意,阅读之后很有收获,不过文中有几处论述感觉有待商榷,现予指出,欢迎同行批评讨论.为方便读者,现将原文摘录如下:     

一个数学擂题的引申

《美国数学月刊》2006年第1期刊登了德国人Oleg．Faynshteyn提供的问题11197如下： 问题11197 设x、y、z是正实数,满足x^2＋y^2＋z^2=1,n是正整数,证明     

《数学教学》数学问题第877题的变式探究

<正>作为《数学教学》的一个备受关注的栏目,“数学问题与解答”栏目已经成为启迪思维、开发智力的小智囊,也为初等数学研究提供了一些很好的素材.《数学教学》2013年第2期数学问题第877题为:问题1在锐角△ABC中,求证:cosAcos B/cos C+cos Bcos C/cos A+cos Ccos A/cos B≥3/2.     

一个擂题的源与流——兼擂题(82)的评注

本刊2006年第6期刊出的由笔者提供的有奖解题擂台(82)是:设x、y、z是正实数,满足x2 y2 z2=1,n是正整数,证明或否定:1/(1-x~(2n)) 1/(1-y~(2n)) 1/(1z~(2n))≥(n n1)~(1 1/n).(1)本文给出不等式(1)的起源、引申及擂题(82)的评注.1起源《美国数学月刊》2006年第1期刊登了德国人Ol     

一个几何不等式猜想的证明

设△ABC的三边长为a,b,c,三边上的中线及角分线分别为m_a,m_b,m_c,w_a,w_b,w_c,半周长为s,∑表示循环求和.最近,本刊文[1]提出如下一个猜想:在△ABC中有∑s-maa≥33(1)注意到ma≥wa等,我们自然可考虑证明如下的结论:∑s-waa≥33(2)实际上(2)是成立的,下面我们将证明较(2)更强的     

美国数学月刊数学问题12083的推广

2019年第3期《美国数学月刊》刊登了摩洛哥人Alijadallah Belabesset提供的问题.问题12083[1]设x,y,z>0,证明:1/x+y+1/y+z+1/z+x≥3√3/2√x^2+y^2+z^2(1).本文从变量的个数与系数出发,给出如上不等式的三个推广.     

也谈平行截割定理之"逆"

本刊1986年第1期初中数学教学专栏里刊登了何黎明同志的《浅谈平行截割定理之"逆"》(以下简称《逆》)一文,笔者认为《逆》文所给出的所谓较完整的定理,仍然是一个假命题,其证明方法是欠妥的.为了说明它的错误,先把它抄录如下:定理已知直线l_1、l_2、l_3截直线a、b,交点分别是A、B、C、D、E、F,且AB     

谈谈偏逆命题的真假性

《数学教学》2003年第2期文[1]认为,当原命题 为真时,偏逆命题A,必为真.这一说法是错误的.事实上命题的真假完全由A、B、C的真假值决定,与命题A→C,B→C的真假没有直接关系.因此,     

问题139的推广

《湖南教育·数学教师》2007年第12期第139号数学问题是:A为整数,B为小数,且B的小数位数不大于3,A、B均大于零,A B=AB.求符合条件的所有A、B一共有多少组?2008年第1期,给出了上述问题的解答.     

对一个猜想的证明之修正

《中学数学月刊》2005年第11期刊登了笔对张国棣老师的一个猜想：“n是偶数时，凸n面体的直度的最大值等于1”的证明．因疏忽，该证明出现了失误．由于二面角A1-PB—C与二面角C—P B—O都是直二面角，故A1，P，B，O其实是共面的．特此向读致歉．     

最早侵犯我国领海主权的不平等条约是什么

《历史学习》2002年第1期刊登的刘正纲老师的新编《中国近代现代史》上册选择题中,有这样一道题:最早侵犯我国领海主权的不平等条约是()A.中英《南京条约》B.《南京条约》附件C.中美《望厦条约》D.《天津条约》附件所给出的答案是A,对此,我认为此题所给答案有误,应选C,理由如下。     

集锦 一个命题的改进和推广

《数学通报》2 0 0 0年第 1期“数学问题”12 34题为 :设三角形三边 a,b,c所对内角的弧度数分别为α,β,γ.求证 .aα(β γ) bβ(γ α) cγ(α β)a b c <π24(1)《数学通报》2 0 0 0年第 2期给出的证明过程始终要依赖 a,b,c是三角形三边之长 ,显得较为复杂 .本文把 (1)作进一步改进且证明更简便 .命题 1　设三角形三内角的弧度数分别为 A,B,C实数 x,y,z非负且 x y z≠ 0 ,则A(B C) x B(C A) y C(A B) zx y z <(π2 ) 2 . (2 )证法 1　 M=A(B C) x B(C A) y C(A B) z=(x y z) (AB BC CA) - (BCx CAy ABz)…     

一道竞赛题的多种解法

贵刊93年第5期刊登的《一道竞赛题的多种求解思路》一文,对题目“已知1/3=1/A 1/B,A、B是不同的整数,求A、B的值(美国长岛小学数学竞赛题)。”介绍的三种解题思路都比较精巧,拜读后受益匪浅。笔者在研究这类题的解法时,还发现了几种更易于小学生掌握的方法,现分述如下: 扩分法如果一个分数1/m的分母能分解成两个因数a、b的     

再以“他山之石”,攻“玉”

《中小学数学》2009年第11期刊登了赵平的《教学设计应更简捷》一文.文中巧妙地用"菱形图"解决了货物调配问题,引起笔者较大兴趣.笔者对"菱形图"的用法作了进一步的思考和探索.题1(原问题):A城有化肥200吨,B城有化肥300吨,现要把这些化肥全部运到G、D两乡,从A城运往C、D两乡的费用分别为每吨20元和25元,从B城运往C、D两乡的费用分别为每吨15元和24元,现C乡需要化肥240吨,D乡需要化肥260吨,怎样调运整个运费     

也谈一道俄罗斯数学竞赛题的新证法

《中学数学月刊》1998年第5期刊登了陶明斌老师的文章《一道俄罗斯数学竞赛题的复数证法》,文中给出证法十分简捷。本文利用重心坐标公式给出一种更简捷的证法。 题目 已知α,β,γ夕,满足不等式sinβ Sinβ Sinγ≥2,试证:cosα cosβ cosγ≤√5。(第21届俄罗斯中学数学竞赛第四阶段十一年级第5题) 证 如图所示,显然点A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ)C(cosγ,sinγ)都在单位圆x~2 y~2=1上, 由三角形的重心     

一道合理选址问题的推广

200 1年第 8期《中学生数学 (高中版 )》第 1 9页《合理选址问题的求解两例》一文 (作者夏国华 )的例 2是一个有意义的问题 :题　如图 ,A地产汽油 ,B地的汽油需从产油地A运入 ,汽车自A地运汽油往B地 ,往返的油耗正好等于其满载汽油的吨数 ,故无法将汽油运至B地。为解决问题 ,在途中C地设一油库为中间站 ,先由往返于A、C间的汽车将油运至C地 ,再由往返于C、B间的汽车将油运至B地。问当C站设在何处时运油率 (即B地收到的汽油量除以A地运出的汽油量 )最大 ,最大值是多少 ?该文得到的答案是 :C站设在A、B两地的中点处时 ,运油率最大 ,其…     

一道美国数学竞赛题简证

《数学教学通讯》1980年第1期刊登“第六届美国全国数学竞赛试题解答”。及成都《数学爱好者》1981年第1期“一道美国数学竞赛题简解”中有一道立几题目: “如果空间四边形(四点不共面)的两组对边分别相等,则两条对角线的中点连线垂直于两条对角线。反之,如果空间四边形两条对角线的中点连线垂直于两对角线,则四边形的两组对边相等”。现另作简单证明如下:     

构造因式处理一类三元问题

问题x,y,z∈(0,+∞)且x2+y2+z2=1,求x+y+z-xyz的值域.这是一道美国数学月刊的征解题,《数学通报》和《中学数学月刊》都刊登了有关作者的初等解法.笔者经过探索,得出了更简捷的解法,并由