设K的妙用

在解有“比”的习题时 ,设 K可以使含“比”的项用 K的代数式表示 ,有利于思路的展开 ,达到顺利解题的目的。例 1 .在△ ABC中 ,已知∠ A∶∠ B∶∠ C=1∶ 2∶ 3,求 a∶ b∶ c。略解 :设∠ A=K,则∠ B=2 K,∠C=3K,由∠ A ∠B ∠ C=1 80°,得∠ A=30°、∠ B=60°、∠C=90°。设 a=K′,则 c=2 K′。∴b=3 K′,∴ a∶ b∶ c=K′∶ 3K′∶ 2 K′=1∶ 3∶ 2。　　例 2 .如图 ,在△ ABC中 ,∠ ACB =90°,CD⊥ AB,若 AC=6,sin B=35。求 CD。略解 :由∠ACB=90°,CD⊥AB易得∠ B=∠ ACD。∵ sin B=35,∴ sin∠ ACD=ADAC=35…     

第二章《平行线与相交线》测试题（北师大版）

一、填空题(每空1分,共24分)1.如果∠A=35°,那么∠A的余角等于;补角等于.2.如图1,直线a、b被直线c所截(即直线c与直线a、b都相交).已知a∥b,若∠1=120°,则∠2的度数=;若∠1=3∠2,则∠1的度数=.3.如图2中,已知a∥b,且∠1 2∠2=150°,则∠1 ∠2=.4.如图3,根据图形填空:∵∠B=,∴AB∥CD().∵∠DGF=,∴CD∥EF().∵AB∥EF,∴∠B =180°().5.如图4,是由两个相同的直角三角形△ABC和△FDE拼成的,则图与∠A相等的角有个,分别是;∠1与∠A关系是;2与∠1的关系是.6.如果一个角的补角是150°,那么这个角的余角的度数是________.个角的余角…     

每期一题

题:△ABC是⊙○内接锐角三角形,射线AO、BO、CO各交⊙○于A′、B′、C′。记BC=a、CA=b、AB=C,BC′=B′C=a′CA′=C′A=b′、AB′=A′B=c′。求证:abc=ab′c′+a′bc′+a′b′c。分析:本题结论可以改写成: b′c′/bc+c′a′/ca+a′b′/ab=1; 由于∠BA′C与∠BAC互补、∠CB′A与∠CBA互补、∠AC′B与∠ACB互补,     

一个命题的证明及其应用

命题:如图,设三面角S—ABC中,∠ASB=α,∠BSC=β,∠CSA=γ,二面角A—SC—B为θ,则 COSα=COSβcosγ SinβSinγcosθ(Ⅰ)。 证明:如图,不妨设∠ACB为二面角A—SC—B的平面角,SA=a,SB=b,SC=c.由余弦定理得:     

特征分析思想在解数学竞赛题中的应用

本文结合例题介绍特征分析思想的应用.1关系式特征数学竞赛题中,常会给出一些关系式,有的时候可恰当地转化关系式的形式,使之与我们学过的某些知识建立起联系,从而找到解题的切入点.例1已知a、b、c为△ABC的三边长,且满足a2=b2 bc.求证:∠A=2∠B.分析:考虑到已知条件给出的关系式的特征a2=b2 bc=b(b c),a.a=b.b b.c.比较这两种特征,我们可以联想到相似三角形中的比例关系,同时可以构造图形来解此题.图1证明:如图1,延长CA到D,使得AD=AB=c,则CB2=CA.CD.所以,CB为△ABD的外接圆过点B的切线.注意到∠ABC=∠ADB=∠ABD,故即∠A=2∠B…     

一个三角形不等式的巧证

《数学教学》2 0 0 1年第 2期问题 532是 :在△ ABC中 ,∠ A,∠ B,∠ C的对边 BC=a,CA= b,AB=c,试证明 :2 bcos C2 +2 ccos B2 >a+b+c. (1 )这是一个形式优美的不等式 ,第 3期给出化边为角的常规的证明方法 ,下面我们给出另一种简便证法 .分析　观察不等式 (1 ) ,我们设想 ,如果能够构造出以 2 bcos C2 ,2 ccos B2 ,a+b+c为边长的三角形 ,则 (1 )式成立就不言而喻了 ,于是我们自然得到如下证法 .图 1证明　过 A点作直线 l∥ BC,BB′平分∠ABC,CC′平分∠ ACB,且 BB′∩ l=B′,CC′∩ l=C′.再过点 B作 BD∥ CC′,BD∩ l=D…     

错在哪里

题　在△ABC中 ,∠A =80° ,a2 =b(b +c) ,求∠B。解　在△ABC中 ,cosB =a2 +c2 -b22ac =c2 +bc2ac =c +b2a ,所以b +c=2acosB ,故a2 =b(b+c) =b·2acosB ,a =2bcosB ,即sinA =2sinB·cosB =sin2B。考虑到∠A的值及 2∠B的范围 ,可得 :∠A =2∠B或∠A +2∠B =1 80°,故∠B =40°或∠B =5 0°。解答错了 !错在哪里 ?我们检验一下 ,当∠B =5 0°时 ,∠C =5 0° ,可得b =c。故a2 =b(b +c) =b2 +c2 ,此三角形应为直角三角形 ,且∠A应等于 90°,与已知条件矛盾。问题出在哪里呢 ?实际上由b +c =2acosB到a =2bcosB为同一条件叠代 ,是…     

第五章《相交线与平行线》测试题

一、填空题(每题2分,共20分)1.如果一个角的补角是150°,那么这个角的余角是_____.2.如图1,平面镜A与B之间夹角为110°,光线经平面镜A反射到平面镜B上,再反射出去,若∠1=∠2,则∠1的度数为.3.如图2,已知AB∥CD,∠1=∠2.若∠1=50°,则∠3=___.4.如图3所示,a∥b,c与a、b相交.若∠     

(四)全等三角形测试卷(B)

一、填空题（每空5分，共40分）：1．若三角形三边长分别是4、9、2x＋1，则X的取值范围是_____．2．若三角形三内角的比是2。3：1，则这个三角形是_____三角形．3．如图1，若∠ABC=60°，∠ACB=40°，BEAC，CDAB，垂足分别是E、D，BE、CD相交手F，则∠ABE=_____，∠BFC_____．4．如图2，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6=＿．5．如图3，∠C=90，角平分线AD、BE相交手O，则ZAOE=___．6．在ABC中，若∠C=90°，∠A－∠B=30°，则∠A=____，∠B=___．二、单项选择题（每小题5分，共澳分）；1．在ABC中，a＝4k，b=3k，c=4，k为…     

第十八届江苏省初中数学竞赛试题

初二年级第2试一、选择题(每小题7分,共56分)以下每题的4个结论中,仅有一个是正确的,请将正确答案的英文字母填在题后圆括号内.1.已知1a+1b+1c=0,a2+b2+c2=1,则a+b+c的值等于().(A)1(B)-1(C)1或-1(D)02.已知整数a,b,c,d满足abcd=25,且a>b>c>d,那么｜a+b｜+｜c+d｜等于().(A)0(B)10(C)2(D)123.如图1,∠ABC=31°,又∠BAC的平分线AE与∠FCB的平分线CE相交于E点,则∠AEC等于().(A)14.5°(B)15.5°(C)16.5°(D)20°图1图24.计算机中的堆栈是一些连续的存储单元,在每个堆栈中数据的存入、取出,按照“先进后出”的原则.如图2,堆栈(1)的…     

数学奥林匹克问题

本期问题 初77.已知a、b、c都是[0,1]中的实数.求证:(a b c)(1-abc)≤2.(张善立 浙江省岱山县岱山中学,316200) 初78.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:4,∠A、∠B、∠C的对边的长分别为a、b、c.求证:     

错在哪里

1.广西贺县黄田松树冈中学黄健有来稿(邮编;542807)题 在△ABC中,a、b、c分别为三个内角A、B、C的对边,且∠C=2∠B,试证:C~2=b(a b).证明∵∠C=2∠B,∴∠A ∠B ∠C=∠A 3∠B=180°,∠A=∠180°-3∠B,∴sin∠=sin(180°-3∠B)=sin3∠B,从而有,∠A=3∠B.由此可得∠A=90°,∠B=30°,∠C=60“,∴a=2b.由勾股定理得 c~2=a~2-b~2=(a b)(a-b))=(a b)(2b—b)=b(a b).     

平面向量常见错误例析

初学平面向量这部分内容时,同学们常常会出现各种错误.现列举几种常见错误,供大家辨析.一、两向量夹角的意义不清例1△ABC三边长均为2,且BC=a,CA=b,AB=c,求a.b+b.c+c.a的值.错解:∵△ABC三边长均为2,∴∠A=∠B=∠C=60°,|a|=|b|=|c|=2.∴a.b=|a|.|b|cosC=2,同理可得b.c=c.a=2,∴a.b+b.c+c.a=6.图1评析:这里误认为a与b的夹角为∠BCA,两向量的夹角应为平面上同一起点表示向量的两条有向线段间的夹角,范围是[0,π].因此a与b的夹角应为π-∠BCA.正解:如图1,作CD=BC,a与b即向量BC与CA的夹角为180°-∠BCA=120°.∴a.b=|a|.|b|cos12…     

切割弦定理有妙用

平面几何中有切割弦定理 :如图 ,圆O的切线PA(A为切点 )与割线PBC满足关系PA2 =PB·PC .该定理在不等式求最值、求轨迹方程等方面有许多巧妙应用 ,如均值定理 a b2 ≥ab(a ,b>0 )的证明 :在上图中割线PBC过圆心O时 ,设PB =a,PC=b ,则PO =a b2 ,由切割弦定理PA =ab ,显然PO >PA ,再结合a=b有a b2 ≥ ab .再举几例 :例 1　在平面直角坐标系中 ,在y轴的正半轴 (原点除外 )上给定两点A ,B ,试在x轴的正半轴上求点C ,使∠ACB取得最大值 .　　解析　本题有多种解法 ,利用切割弦定理十分简便 ,如图 1,过点A ,B作一个圆与x轴的正半…     

问题2．10参考答案

图1如图1,连结CD,将△ACD以D为旋转中心顺时针旋转60°到△BC′D,连接CC′则∠C′DB=∠CDA,CD=C′D,BC′=AC=b,∴∠C′DC=∠BDA=60°.∴△CDC′是等边三角形,∴CC′=CD.∴在△CBC′中,CC′≤CB+C′B=a+b.∴CD≤a+b.当C′,B,C在同一条直线上时,CD取最大值a+b.这时∠DBC′+∠DBC=180°.又∠D B C′=∠D A C,∠D B A=∠DAB=60°,∠BCA+∠CBA+∠CAB=180°,∴∠DAC+∠DBC=180°,∴∠CBA+∠CAB=60°,∴∠ACB=120°.故当∠ACB为120°时,CD取最大值,最大值为a+b.问题2.10参考答案…     

倍角三角形三边关系的一个命题

定理　在△ABC中 ,∠A =n∠B ,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边 ,a、b、c的关系记为 fn=fn(a ,b,c) =0 ,则有 (记N =14( 2n + ( -1 ) n +1+ 1 )fn=∑nk =1( -1 ) k- 1C2k - 1n b[4a2 c2 -(a2 -b2 +c2 ) 2 ]k - 1(a2 +c2 -b2 ) n- 2k+1-a( 2ac) n - 1.证明 :由 (cosB +isinB ) n =∑nk=0 Ckncosn -kB·(isinB) k=cosnB +isinnB ,得　sinnB =∑Nk=1C2k- 1n ( -1 ) k- 1sin2k- 1B　·cosn - 2k+1B .①又由sinAsinB=sinnBsinB =ab ,sinnB =absinB ,代入①即得∑Nk=1( -1 ) k - 1C2k- 1n sin2k- 2 B·cosn - 2k+1B -a =0 .②由余…     

余弦定理的应用

余弦定理和正弦定理是中学数学中的重要内容之一 ,两者可互为依据 ,相互推导 .随着学生学习的深入 ,知识面的扩大 ,抽象思维能力的提高 ,可进一步从不同的角度揭示二者的关系 ,加强应用 .余弦定理 :在△ ABC中 ,三边 a,b,c和它们所对的角∠ A,∠ B,∠ C之间有如下关系 :a2 =b2 c2 - 2 bc cos A,b2 =a2 c2 - 2 ac cos B,c2 =a2 b2 - 2 ab cos C.例 1　求证在△ ABC中 ,(1 ) a=b cos C x cos B;(2 ) asin A=bsin B=csin C.证 :(1 )由余弦定理b2 =a2 c2 - 2 ac cos B,c2 =a2 b2 - 2 ab cos C,所以 b2 c2 =2 a2 b2 c2 - 2 ac co…     

相交线和平行线(七年级下册北师大版)

一、耐心填一填1. 不在同一直线上的三点,可以确定条直线.2. 已知∠琢=68°,则∠琢的余角等于.3. 如图1,直线c与直线a、b相交,且a∥b,若∠1=40°,则∠2= .4. 如图2,AB、CD相交于O,OB平分∠DOE,若∠DOE=60°,则∠AOC的度数是.5. 如图3,AB∥CD,若∠ABE=120°,∠DCE=35°,则∠BEC=.6. 如图4,AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于E、F,EG平分∠BEF,若∠1=72°,则∠2= 度.7. 完成下列推理:如图5所示(1)若AB∥DE,则∠1= ,根据;(2)若AE∥DC,则=∠2,根据;(3)∠4=∠B,则∥,根据;(4)若∠5=∠C,则∥,根…     

解直角三角形及其应用

[知识要点]1 在Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,那么(1)三边之间的关系:　　　;(2)两锐角之间的关系:　　　;(3)边角之间的关系: sin A=　　　,cos A=　　　,tan A=　　　;(4) 面积S=　　　　　或S=12ch(h是斜边上的高) 2 解直角三角形的四种类型: (∠C=90°)(1) 已知两直角边a、b,则c=　　,tanB=　　,∠A=　　 (2) 已知一直角边和一锐角(a,∠B),则∠A=　　　, b=　　　,c=　　　　 (3) 已知斜边和一直角边(c, a),则 b=　　　,sin A=　　　,∠B=　　　 　　(4) 已知斜边和一锐角( c,∠A),则∠B=　　　, b…     

2001年全国初中数学联合竞赛试题及解答

第一试(4月 1日上午 8:30 - 9:30 )一、选择题 (本题满分 42分 ,每小题 7分 )1 .a,b,c为有理数 ,且等式 a b 2 c 3=5 2 6成立 ,则 2 a 999b 1 0 0 1 c的值是 (　　 )(A) 1 999　　　　 (B) 2 0 0 0(C) 2 0 0 1 (D)不能确定2 .若 a· b≠ 1 ,且有 5 a2 2 0 0 1 a 9=0及9b2 2 0 0 1 b 5 =0 ,则 ab的值是 (　　 )(A) 95 　　　　 (B) 59(C) - 2 0 0 15 (D) - 2 0 0 193.9已知在△ ABC中 ,∠ ACB=90°,∠ ABC=1 5°,BC=1 ,则 AC的长为 (　　 )(A) 2 3　　　(B) 2 - 3(C) 0 .3 (D) 3- 24.如图 ,在△ ABC中 ,D是边 AC上…