集合论中的无穷、维数和悖论分析

集合论、传统数学对维数的认识是相互矛盾的,从两方面分析了这个矛盾：1）分析了集合论中空间填充曲线的证明过程,指出在该证明过程中本应使用超穷归纳法进行证明,但实际上却用归纳法进行证明,因此该证明是不严格的;2）分析得出在考虑序关系后,无穷集合中整体和部分的一一映射将包含矛盾。为了分析上述各个矛盾产生的原因,基于代数结构及方程论,建立了一个与集合论等价的代数模型,并把该代数模型与集合论模型进行了对比分析,得出结论：1）罗素悖论、哥德尔不完全性等可以转化为方程组无解的问题。因此虽然在集合论中,罗素悖论、哥德尔不完全性不可避免,但对一个具体的集合,可以判断该集合中是否包含罗素悖论或不完全性命题;2）无穷集合的整体与部分的一一对应将导致矛盾,该矛盾与高维空间物体映射到低维空间后产生的重影点带来的矛盾相同;3）相对于集合论,传统数学对维数的认识更加可靠和严格。     

集合论悖论与辩证逻辑

从辩证逻辑视角出发，对无穷集合论的基本思想、认识论背景、悖论表现形式、矛盾消除方案及悖论实质作了系统的评述。指出无穷集合既是最大的集合(即实无穷集合成完全的集合)，又不是最大的集合，而是潜无穷集合或不完全的集合。其辩证本质即在于此。     

浅议集合论悖论

悖论的出现引起了数学领域的三次危机,特别是集合论悖论的出现所引发的第三次数学危机对数学界的震动最大、影响最深.数学家和逻辑学们在寻求解决办法的过程中形成了各种的学派,在不同领域促进了数学和其他科学的发展.     

提高学生逻辑推理能力的有效途径——悖论解读

在高中数学集合论的教学中，适当向学生介绍与之相关的数学悖论，并利用已有数学知识，对其逻辑关系进行分析、推理，探索其本身矛盾产生的原因，对学生逻辑推理能力的培养，无疑是很有裨益的。文章以几个悖论为例，对其违反逻辑原理的实质进行数学推理和分析。     

罗素悖论

一天．萨维尔村的一个理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发,我也只给这些人理发．”于是有人问他：“您的头发由谁理呢？”理发师顿时哑口无言．     

芝诺悖论、贝克莱悖论和罗素悖论新解

分析、揭示了悬而未决的芝诺悖论、贝克莱悖论和罗素悖论这三大悖论家族所暴露的自古以来就存在于科学基础理论中与＂有穷——无穷＂概念相关内容的缺陷。得到明确的结论：自古以来由于受＂重形式———轻本体＂这种错误工作思路的影响,导致了三大悖论家族的产生与不断繁荣壮大,并且无法真正认清这三大悖论的本质,决定了由它们所揭示的问题在现有科学理论体系中一直无法得到解决。本文进一步揭示这三大悖论的本质。     

芝诺悖论、贝克莱悖论和罗素悖论“三胞胎”悬案的解决：概念与逻辑、无穷观、与“无穷”相关的数量形式及其处理理论和技术

基于迄今为止所取得的与“无穷概念、逻辑”相关领域的研究新成果,分析了“概念、逻辑、悖论”之间的密切关系,对比了无穷理论体系中三个组成部分新、旧内容之间的主要区别,即经典无穷观和新无穷观,与“无穷”相关的经典数量体系和新数量体系,与“无穷”相关的数量形式的新、旧处理理论和技术（比如极限论）。进一步分析芝诺悖论、贝克莱悖论和罗素悖论家族千百年来悬而未决且不断繁衍壮大的原因,事实证明了自古以来,人们在对这三个悖论所揭示问题的研究工作中那种“忽视基础理论研究（重形式-轻本体）”的思路一直是错误的。得到明确的结论,现有“概念-逻辑”、无穷理论体系基础的缺陷使人们自古以来一直无法知道芝诺悖论、贝克莱悖论和罗素悖论是“三胞胎”悖论,它们生于、养于、受保护于现有知识理论体系,与该体系共存亡,在现有知识体系中不可能单独解决其中的任何一个悖论;人类2500多年来艰辛却无果的“无穷悖论”史证明了经典无穷理论体系中与“潜无穷-实无穷”相关的各种内容是错误的、必须抛弃;注重“概念-逻辑”的研究,构建、研发以“无穷规律、性质及其载体”为基础的新无穷理论体系及其相关的逻辑体系,是解决这“三胞胎”无穷悖论悬案的唯一出路。     

集合论与第三次数学危机

数学的产生和发展,始终与人类社会的生产和生活有着密不可分的联系。在新教材中,任何一个新概念的引入,都特别强调它的现实背景、数学理论发展背景或数学发展的历史背景,只有这样才能让学生感到知识发展水到渠成。所以特别希望在教学中能不时渗透数学史的相关知识,充分发挥和利用数学史     

与“无穷”相关的数学基础的革命：“新无穷观-新数量体系-新极限论”与“无穷悖论综合征”的解决

从“概念、数量观、形式语言”三个角度认识新、旧无穷体系之间的主要区别,研究芝诺悖论、贝克莱悖论和罗素悖论“三胞胎”千百年来悬而未决且不断繁衍壮大的原因及由它们所揭示的现有传统无穷体系基础中的缺陷。得到两个明确的结论,（1）现有传统无穷体系基础的缺陷决定了这三个悖论之间实际上是“三胞胎”关系,应该整合它们所揭示的问题,进行系统性研究;（2）自古以来在这个领域中那种错误的“忽视基础理论研究”的工作思路使人们无法认识这三个悖论的本质、无法解决它们所揭示的问题,以“新无穷观—新数量体系—新极限论”为基础的新无穷体系的产生是与“无穷”相关的数学基础的革命。     

罗素悖论与多元逻辑方程组无解问题的等价性

讨论了无穷序列及其极限的包含、相容、等价关系,主要有如下结论:1、无穷序列包含其极限为假命题;2、无穷序列及其极限相容,潜无穷与实无穷相容;3、无穷序列与其极限不等价;4、罗素悖论与多元逻辑方程组无解问题的等价;5、无穷小数的个数为可数无穷多个,不足以表示整个实数系。     

数学文化之数学悖论

本文主要研究数学文化之数学悖论,从数学悖论的内涵、在数学发展史中的影响、与创新思维的联系等多方面进行分析,并探讨、实现数学文化-数学悖论的生活化。     

道德危机：一个现代化的悖论

20世纪各方面突飞猛进，在人类力量得到无限高扬的同时，反道德、非道德却呈泛滥之势，中外概莫能外，其病根深植于几世纪以来现代化的实践模式与理念之中，这其中包括经济主义、唯科学主义、极端个人主义以及价值断裂等方面。     

数学悖论对数学发展的影响

数学史上的三次数学危机都是由数学悖论引起的。论述了数学悖论及其引发的三次数学危机的产生与发展,及数学悖论对数学发展的作用。     

数学悖论的发展与研究

对数学悖论的产生、发展、研究状况以及悖论的作用作了较细致的阐述     

数学教学艺术的美学基础

数学教学是一门艺术,这门艺术的美学基础是：数学内容的内涵美、教学表达的形式美,以及二者的有机结合．     

统一无穷理论是消解悖论的典型案例

从数理辩证逻辑的观点看“统一无穷理论”,可以消解涉及无穷小的微积分悖论和涉及无穷大的集合论悖论,并能引出与有穷实数相互谐调一致的,涉及大小实无穷常数与最大最小潜无穷常数间的加、减、乘、除、乘方、开方的非标准数计算,由此讨论了“统一无穷理论”存在的合理性.     

叠加原理的数学基础及其在物理上的应用

讨论了叠加原理的数学基础,概述了叠加原理在物理中的应用,并指出叠加原理不是一条普遍的原理。     

The Transition from Comparison of Finite to the Comparison of Infinite Sets: Teaching Prospective Teachers

Research in mathematics education indicates that in the transition from given systems to wider ones prospective teachers tend to attribute all the properties that hold for the former also to the latter. In particular, it has been found that, in the context of Cantorian Set Theory, prospective teachers have been found to erroneously attribute properties of finite sets to infinite ones — using different methods to compare the number of elements in infinite sets. These methods which are acceptable for finite sets, lead to contradictions with infinite ones. This paper describes a course in Cantorian Set Theory that relates to prospective secondary mathematics teachers' tendencies to overgeneralize from finite to infinite sets. The findings clearly indicate that when comparing the number of elements in infinite sets the prospective teachers who took the course were more successful and were also more consistent in their use of a single method than those who studied the traditional, formally-based Cantorian Set Theory course.This revised version was published online in September 2005 with corrections to the Cover Date.     

谈谈无穷级数中蕴涵的数学思想方法

以无穷级数这一章教学内容为例,探讨教学内容中蕴涵的＂极限＂＂、比较＂＂、转化＂等数学思想方法,使学生在学习知识的同时掌握数学思想方法,更好地领会数学内容和数学精神,从而提高学生的文化素质和学习能力。     

用初等方法求一个无穷级数和

文中用初等数学方法求得一个无穷级数的和。