轴对称性在数学解题中的应用

很多图形本身具有轴对称性,而几何图形的翻折问题均涉及到了轴对称和轴对称图形的知识.由于被翻折的图形本质上是轴对称图形,被翻折的"两部分"关于折痕必然成轴对称,所以解决几何图形的翻折问题时应主要抓住以下两点:(1)翻折后重合的两个图形必全等.     

野鸽

折法步骤图说明:1.取正方形纸一张,对角折,然后按虚线往下折。2.按虚线往上翻折,注意折出的形状是正方形。3.按虚线对折。4.按虚线折出一翅膀,翻过来,重复动作,折好另一翅膀。头部(P),先按虚线,左右翻折,折出折痕,然后,展开往下折。5.按虚线把两个翅膀再往下折。6.把翅膀展开至飞翔状,野鸽就折好     

对称轴——确定剪纸形状的好帮手

在近几年出现的新题型中,常会遇到一类将正方形或长方形纸片按照某一方式折叠,然后剪去其中一部分或挖去中间一部分,最后展开,让同学们确定展开图形的形状问题,它是近年各类考试中的热点题型。由于这类试题能够考查同学们的空间想像能力和动手操作能力，符合新课标的理念，因而备受命题者的青睐。解答此类问题要注意抓住“折痕”，即为原来图形的对称轴，然后利用轴对称的知识进行逆向思维，从后进行推理，逐步作出以“折痕”为对称轴的轴对称图形，从而确定展开图形的形状。     

折出正方形的黄金分割点

黄金分割是几何中的一个著名问题.它是指把一条线段分成两条不等的线段,使其中较长线段为原线段与较短线段的比例中项.现有一张正方形的纸片,能否通过折叠的方式找出正方形纸片各边的黄金分割点呢?我们只需按图1～图3所示的方法折纸即可找到正方形各边的黄金分割点.1.将正方形纸片对折(图1),折痕为EF;2.折出折痕AF(图2);3.把AD边翻折到折痕AF上,新折痕为AG(图3).那么G点即为DC边的黄金分割点.现在我们来证明上面结论的正确性.如图3,设正方形ABCD的边长为a,DG=x,那么BF=12a,AF=52a,CG=a-x.因为△AGD′是由△AGD翻折所成,所以△A…     

轴对称性在数学解题中的应用

很多图形本身具有轴对称性,而几何图形的翻折问题均涉及到了轴对称和轴对称图形的知识.由于被翻折的图形本质上是轴对称图形,被翻折的"两部分"关于折痕必然成轴对称,所以     

立体几何中的翻折与展开问题

正1考点回顾图形的翻折与展开是立体几何图形的2种重要变换.它是空间几何与平面几何问题转化的集中体现,也是立体几何中考查分析能力与创新能力的好素材.解决这类题目的关键是抓住图形的特征关系(特别是垂直关系).画好翻折前后的平面图形与立体图形,分析清楚翻折前后发生变化的量及其关系和没有发生变化的量及其关系,并以此为出发点结合目标运用立体几何基础知识解决问题.2方法点拨例1已知矩形ABCD,AB=1,BC槡=2.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中     

一道图形翻折问题的解法探究与启示

<正>在2016年上海中考模拟试题中有一道关于图形翻折的问题,值得大家分析探究.一、试题与分析试题在ABC中AB=k,∠A=α,点P是AC的中点,将△ABP沿直线BP翻折,点A落在点A'处,且∠A'CB=90°+α,则BC=____.(用k和含α的三角比的代数式表示)分析这道有关图形翻折的问题,其难点主要体现在以下三个方面:第一,虽然是一     

中考数学压轴试题的新走势

近两年的中考,在新课程改革的理念指导下,题型灵活、设计新颖、富有创意的压轴试题如雨后春笋般涌现,其中一类以轴对称、平移、旋转、翻折等图形变换与二次函数相结合的试题更是成为中考压轴大戏的主角,现例举2006年中考压轴题评析如下。一、图形翻折与二次函数相结合例1.[临安]如图,△OAB是边长为2 #3的等边三角形,其中O是坐标原点,顶点B在y轴正方向上,将△0AB折叠,使点A落在边OB上,记为A,折痕为EF,(1)当AE‖x轴时,求点A和E的坐标;(2)当AE‖x轴,且抛物线y=16x2 bx c经过点A和E时,求抛物线与x轴的交点的坐标;(3)当点A在OB上运动,…     

热点六 动手操作性问题

一、探究解题新思路题型一图形的展开与折叠问题典例1(2004·河南)如图所示,把一个正方形三次对折后沿虚线剪下,则所得图形是上折右折右下方折沿虚线剪开A B C D研析:平面图形的折叠问题是近几年中考试题中涌现出的一类新题型.在解答这类问题时,一般先作出折叠前后的图形形状及位置,然后再利用轴对称性质和其他相关知识进行解题.本题动手操作即可获解,答案选C.技巧点拔:此题有一定的趣味性和挑战性,需要学生有折叠图形之间联系的空间概念,考查观察分析能力与直觉思维能力,通过实际演示与操作给不同思维层次的学生都提供了机会.学生在解题…     

巧用翻折、旋转的“不变性”解题

新课程标准下的初中数学教材,增加了翻折、旋转等贴近生活的内容.此类问题涉及到了“动”———翻折或旋转.解此类问题,我们首先把握好“动”前后图形或图形的部分不变性,从而找到相等的元素,然后,才能正确的解决此类问题.为此,本文举例如下:例1如图1,在长方形ABCD中,AD=10,AB=8,E是CD上一点,若以AE为折痕,将△ADE翻折过来,顶点D恰好与BC边上的点F重合,求△AEF的面积.分析翻折后,△AFE≌△ADE(“动”后的不变性),所以AF=AD=10,∠AFE=∠D=Rt∠,EF=ED.要求△AEF的面积,我们只要求直角边EF即可,在Rt△ABF中,AB=8,AF=10,…     

翻折题四则(初二、初三)

翻折(折叠)题,灵活多变,且很有趣味,所以备受命题者的青睐.同学们对此类问题往往感到困难.其实翻折就是一个轴对称,折痕就是对称轴.对称轴两边的对应点的连线垂直于对称轴且被平分.抓住这个基本,问题就容易解决了.例1 已知:长方形ABCD中,AB=8,BC=4:     

四边形中考题型预测

一、四边形与图形变换结合 在2005年中考试题中，与图形变换相关的试题比前两年有所增加．解这类问题常使用旋转、平移和翻折的方法来变换图形，引起条件的改变，或者把分散的条件集中，以利于解题．解这类问题的关键在于如何“静中取动”或“动中求静”。     

落叶信封

1．将长方形彩纸的短边与长边重合,然后将折出的角水平往下对折。2．将彩纸展开．留下折痕,刚好出现了一个小正方形的折痕．从小正方形的顶端开始分别向上和向下折叠（就是扇子的折法）,一直折到小正方的对角线为止,注意折叠部分向外。     

从平面到空间的图形重组问题

将给定的平面图形按照一定的方法或要求进行剪拼或翻折 ,使之成为一个空间图形 ,我们把这样的一类问题称之为图形的重组问题 ,下面我们就来谈谈从平面到空间的图形重组问题的常见的类型及其处理方法 .1　定法动态重组这类重组问题的特征是定法不定量 ,也就是说 ,按照怎样的方法进行剪接与翻折 ,题中已规定得很清楚 ,但具体的量没有给出来 ,还处在动态之中 ,故在此类重组问题中 ,常常要讨论某些量的最值 .例 1　如图 1 ,把边长为a的一个正方形铁皮从四个角处剪去相同的小正方形 ,再焊接成一个底面为正方形的无盖盒子 (不计接缝 ) ,则所做成的…     

立体几何中的翻折与展开问题简

1考点回顾图形的翻折与展开是立体几何图形的2种重要变换。它是空间几何与平面几何问题转化的集中体现，也是立体几何中考查分析能力与创新能力的好素材。解决这类题目的关键是抓住图形的特征关系（特别是垂直关系）。画好翻折前后的平面图形与立体图形，分析清楚翻折前后发生变化的量及其关系和没有发生变化的量及其关系，并以此为出发点结合目标运用立体几何基础知识解决问题。     

“直线与平面垂直的判定”的教学实践及其反思(续)

3 "判定定理"的教学"课标"要求"通过直观感知、操作确认,归纳出直线与平面垂直的判定定理".为此,教科书安排了"探究:请同学们用一块三角形纸片做实验:如图3,过△ABC 的顶点 A 翻折纸片,得到折痕 AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC 与桌面接触).(1)折痕 AD 与桌面垂直吗?(2)如何翻折才能使得折痕 AD 与桌面所在平面α垂直?"     

巧用轴对称性质解折纸问题

<正> 将一张规则的纸片,按某一要求折叠,从而产生一些几何问题,这些问题近年经常出现在中考和竞赛中.现举例如下. 例1 如图1,已知正方形ABCD,现将△DCE沿折痕DE向上翻折,使DC落在对角线DB上,求CE:EB.     

例析展开与折叠问题

近几年各省市中考试题都进行了改革和创新,本文拟介绍一些有关展开与折叠的问题. 例1 (2003年天津市)在下列图形中(每个小四边形皆为全等的正方形),可以是一个正方体表面展开图的是( ).     

一道图形翻折问题的解法探究与启示

<正>初中阶段平面图形的三种基本运动形式——平移、旋转和翻折是几何学习的重点,也是中考和各类考试必考的题型.有些试题往往需要学生结合图形利用所学的知识来综合分析,具有一定的难度.在2016年上海中考模拟试题中就有这样一道有关图形翻折的问题,在笔者所任教的班级中,正确回答出来的学生寥寥无几,有个别做出答案的学生也并不能正确给出解答过程.现将原题呈现如下.1试题与分析试题在△ABC中AB=k,∠A=α,点P是AC的中     

老师，这样做是否更简洁?——一道立体几何问题的求解

<正>2021年10月初,我校高二年进行了第一次的月考,数学单选的压轴题是一道空间线面成角余弦值的取值范围求解问题.在评讲试卷的时候,老师利用建系给出了该问题的一个解法,本人觉得老师的解法虽然常规,但是运算量较大,事实上,利用图形之间存在的相关关联,不需要太繁杂的计算,就能求解出该题.下面展示试题及其两个解法.试题 已知E、F、O分别是正方形ABCD边BC、AD及对角线AC的中点,将三角形ACD沿着AC进行翻折构成三棱锥,则在翻折过程中,