例谈解题中的反客为主法

一些题目中涉及到若干个量,其中有常量、也有变量,学生在解答时,由于思维定势,不习惯把其中的常量暂视为变量、而把其中的变量暂视为常量的做法,结果求解过程异常复杂甚至难以解出．其实,常量与变量是相对的,是辩证统一的关系,如果根据需要,将它们的地位调换,即“反客为主”,常常使许多难题巧妙获解,下面举例说明．     

一类高次方程的巧妙解法

在解高次方程时,往往因未知数的次数较高,使得求解过程比较复杂,为了避免这一点,这里介绍一种解一类高次方程的巧妙方法——常量代换法。即把未知量暂时看作常数而把某一次数较低的特殊常量作为未知量,得到一个关于这个特殊常量的方程,解此方程即得这个特殊常量用未知数的代数式表示的方程,再解此方程,即得原方程的解,下面举例加以说明。 [例1] 解方程x~3 2(3~(1/2))x~2 3x 3~(1/2)-1=0 这是三次方程,且系数中含有无理数。不易求解,若反过来把x看作已知数,3~(1/2)看作未知数t,     

转化——数学解题常备策略

数学解题,常常需要将陌生变熟知,将复杂变简单,常用的策略之一是转化.它是重要的数学思想和方法. 一、常量与变量的转化 例1 解关于x、y、z的方程组分析与解:按常规视a、b、c为常数,用加减法或行列式法求解,但计算冗繁.若视a、b、c为变量,构造t的三次方程: t3+zt2+yt+x=0, 则a、b、c是它的三个根.由根与系数关系知 z=-(a+b+c),y=ab+bc+ca,x=-abc.     

常数变易两例

常量与变量是相互对立 ,相互统一的两个量 .在解决某些较为复杂的数学问题时 ,如果我们把某个特定常量看作变量 ,经巧妙的构思 ,则问题可柳暗花明 ,令人耳目一新 .略举两例 .例 1　设 9cos A+ 3sin B+ tan C=0 ,( 1 )sin2 B- 4cos Atan C=0 . ( 2 )求证 :| cos A|≤ 16 .解　在 ( 1 )式中 ,视“3”为变量 x,则 ( 1 )式化为 x2 cos A+ xsin B+ tan C=0 . ( 3)若 cos A=0 ,则不等式 | cos A|≤ 16 成立 .若 cos A≠ 0 ,则由 ( 2 )知 ( 3)式 (关于 x的二次方程 )的判别式为 0 .∴关于 x的方程 x2 cos A+ sin B+ tan C=0有两个等根 x1 =x…     

例说主元法的五类应用

<正>数学问题中,往往有多个变量,如果选择其中某个变量为主变量,将其它变量看作常量,则可为解决这类问题打开通道.这种以某个变量为主变量去分析解决问题的方法称为"主元法".一、利用主元法解特殊方程或求值例1已知关于x,y的方程x2-4x+y2-2y+5=0,求x,y的值.解将方程x2-4x+y2-2y+5=0看     

主元思想在含参问题中的应用

含参数问题通常含有两个或两个以上变元,我们在解题中可视其中一个为主元,其余视为参数,化多元问题为一元问题,常可降低思维难度·1·主元与次元互换一般地,可把已知范围的那个量看作自变量,另一个看作常量·例1对于0≤p≤4的一切实数,不等式x2+px>4x+p-3恒成立,求x的取值范围·分析:习惯上把x当作自变量,记函数y=x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p∈[0,4]时,y>0恒成立,求x的范围·解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理,这是比较复杂的·若把x与p两个量互换一下角色,即将p视为变量,x为常量,则上述问题可转化为关于p的一次函…     

巧用主元法讨论方程根的情况

在关于x的一元二次方程中,有时为了解题的方便.需把x视为“常量”,而选择其中的一个变量为“主元”,这种考虑问题的方法称为主元法.下面举例说明主元法在讨论方程根的情况中的独特作用.     

“常量”与“变量”

常量与变量是数学的两个重要概念.在不同的问题中,同一个字母可能是常量,也可能是变量,具有相对性.在解题时常常被忽视或对其认识不足.现举几例,供同学们借鉴. 例1 若不等式2x-1>m(x2-1)对满足-2≤m≤2的所有m都成立,求x的取值范围. 解:原不等式化为(x2-1)m-(2x-1)<0,记f(m)=(x2-1)m-(2x-1)(-2≤m≤2).根据题意知,要使不等式成立,只要f(-2)<0且f(2)<0,即2x2+2x-3>0且 2x2-2x-1<0.解之,x的取值范围是(-1+7～(1/7))/2相似文献   

巧解被错看的方程(组)

在学习解方程 (组 )的时候 ,我们有时会遇到求解有关被错看的方程 (组 )的问题 ,解决这类问题需要我们深刻理解方程 (组 )解的意义 ,下面举例说明之 .例 1　小明在解关于 x的方程 ax -12 + 7= 2 + x3 时 ,把 7错看成 1,解得 x =1,并且小明在运算时没有错误 ,求原方程的解 .分析 :方程的解即是使方程左右两边相等的未知数的值 ,我们把 x =1代入方程 ax -12 + 1=2 + x3 ,求出 a,尔后再求原方程的解解 :把 x =1代入方程 ax -12 + 1=2 + x3 ,得 a -12 + 1=2 + 13 ,即 a =1.所以原方程为 x -12 + 7=2 + x3 ,解得 x= -3 5 .例 2　甲、乙、丙三人同…     

求解函数方程五法

设f是定义在某个数集X上的函数,若f在X上满足某个关系式,则称这关系式为关于函数f的一个方程。通过这关系式求得f的解析表达式,就称为求解函数方程。本文就此类问题总结、归纳了几种常用方法,以供参考。如同求解分式方程或根式方程那样,求解函数方程之最后要有一个“验根”的步骤,为节约篇幅起见,本文一概略去。一、配凑法例1 已知f(x+1)=2x~2+3x+4,求f(x)。解:由于 f(x+1)=2(x+1)~2-(y+1)+3,故 f(x)=2x~2-x+3。思路:通过恒等变形,把复合函数f(g(x))的表达式配凑成以9(x)为基本元的表达式。     

“反客为主”解含参问题

<正>我们面对某些含参问题时,正面考虑会觉得很困难,但如果改变视角,把参变量看做主元——"反客为主",化原命题为另一陈述方式,重新设定参数,常会凸现解题思路,优化求解过程.因此,我们遇到含有参数问题时不妨也试试这个方法.例1方程x2+(m+1)x+1=0在[-2,-1]内有解,求m的取值范围.分析通常我们用根的分布知识来解决这个问题,就要讨论方程x2+(m+1)x+1=     

剖析错误解答 用好转化思想

贵刊 2 0 0 0年第 10期《运用数学思想方法解含参不等式》一文中 ,例 3的解答是错误的 ,现将“例 3”及“解答”与“评注”抄录如下 :例 3　若 a∈ [-1,3 ] ,解不等式 x2 -ax>3 x -2 a +1解 :原不等式变形为 ( 2 -x) a +x2 -3 x-1>0构造函数 f ( a) =( 2 -x) a +x2 -3 x -1,当 x =2时 ,不等式显然不成立 .由 a∈ [-1,3 ] ,且 f ( a) >0 ,知f ( -1) =x2 -2 x -3 >0f ( 3 ) =x2 -6x +5 >0解之得 x >5或 x <-1.评注 :本例以辩证转化思想为指导 ,把参变元 a视为主元 ,将变元 x看成常量 ,构造关于参数的一次函数 ,利用单调性求解 ,此法极其巧思 .…     

30分钟“智力自测题”

1.若关于x的方程3k+x一。的解与3x+1一O相同,则k一若三士里~6的倒数是一2,则x若3“习一‘与合二sb!十·是同类项,则(xy十5)2“01一4.若。是负整数,且:o,且关于x的一次方程3m(x一3)一4m(1一x)一1有正整数解,则x(答案在本期找)30分钟“匆力良测惬…     

答案不唯一的数学问题

求解答案不唯一的数学题时 ,一定要考虑周全 ,才能避免错误。下面举例说明 :例 1　三条直线两两相交有　　　个交点。图 1　　　　图 2错解 :3个 剖析 :在一般情况下 ,三条直线两两相交有三个交点(如图 1 ) ,但有一种特殊情况 ,即三条直线相交于同一点 (如图 2 )。正解 :1或 3。例 2　当m为何值时 ,(m + 3)xm + 1+ 3x - 1 =0是关于x的一元一次方程。错解 :m =0 剖析 :只考虑到方程左边第一项未知数x的次数是 1次 ,而忽略了第一项为常数 ,方程也是一元一次方程。正解 :( 1 )当m + 1 =1 ,即m =0时 ,原方程为 6x - 1 =0是一元一次方程。( 2 )…     

对一道最新赛题的商榷

当x=1,3时,为原方程的解,当x=2时,原方程无解。 故原方程有2个解。 笔者认为,此题有两处值得商榷:其一是原题中“已知[x]表示不超过x的整数”应为“已知[x]表示不超过x的最大整数”,否则原题无法求解;其二是此题答案应为4个解,而不是2个解。     

关于X的方程根的认识

x的一次方程与x的一元二次方程都是关于x的方程,区别只是x的一元二次方程多了一个隐含条件,如二次项系数不为零,然而这个不明显的条件,导致很多同学把关于x的方程的实根误认为是关于x的一元二次方程的实数根。为避免这种错误,特举几例加以说明。例1k为何值时,关于x的方程2(k+1)x2+4kx+2k-1=0有实数根?解:若方程2(k+1)x2+4kx+2k-1=0是一元二次方根,则k应满足:2(k+1)≠0△=(4k)2-4×2(k+1)·(2k-1)≥0kk≠≤1-1k≤1且k≠-1若方程2(k+1)x2+4kx+2k-1=0是一元一次方程,则有2(k+1)=0即k=-1·当k=-1时,原方程为-4x-3=0,方程有实数根x=-43,综合两种…     

让学生认识检验方程的解的重要性

小学里检验方程的解有两个目的:一是判断解方程的过程是否完整正确;二是判断计算是否有误。笔者发现,在教学“简易方程”时,很多学生把检验方程的解的过程看作是一种形式,是瞎子成眼境——装装样子。如一名学生解方程“15-0.94+x=20”,错为: 解:0.94+x=20-15 x=5-0.94 x=4.16 检验:把x=4.16代入原方程, 左边=15-0.94+4.16=20,右边=20 左边=右边, 所以x=4.16是原方程的解。又有一学生解方程“0.5×8=8x”,错为:解:4=8x     

巧用增元技巧 妙解代数方程

在数学竞赛中,有些复杂的或具有某种特殊结构的方程用常规方法求解较繁难,但运用增元法可达到化繁为简,快速求解的目的.本文略举几例予以说明.1解整式方程例1解方程x=(x2+3x-2)2+3(x2+3x-2)-2.(1996年四川省初中数学竞赛试题)分析若去括号,会得到一元四次方程,对初中学生来说求解实非容易,故不可取.若注意到括号内整体特征,设y=x2+3x-2,从而将一元方程转化为二元二次方程组,易解.解设y=x2+3x-2,则有x=y2+3y-2,(1)y=x2+3x-2.(2)(1)-(2)得(x-y)(x+y+4)=0.当x=y时,由(2)解得x1,2=-1±3;当x+y+4=0时,将y=-(x+4)代入(2),解得x3,4=-2±2.2解分式方…     

至少有一个方程有实根问题的正面解法

先看下面三道题:(1)如果一元二次方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,求实数a的范围.(2)已知p1p2=2(q1+q2),试证方程x2+p1x+q1=0和x2+p2x+q2=0中,至少有一个方程有实根.(3)若一元二次方程x2+ax+b=0,x2+bx+c=0,x2+cx+d=0的系数满足等式:bc+2d=(a-2)(b+c),则三个方程中,至少有一个方程有实根.这几道题属于“至少存在问题”,数学竞赛中常常见到.这类题若从正面考虑,大家认为几个方程中“至少有一个方程有实根”的情况复杂,解答易错.所以有关书刊及资料上介绍的解法都采用的是反证法,其思路是这样的:假定三个…     

去括号时要小心

在解某些含括号的高次方程时 ,有的同学常常见到括号就去掉 ,总习惯于将方程中的多项式按降幂排好后再设法求解 .岂不知 ,这样的“习惯”处理有时易造成简题繁解 .例　解方程 :(x2 -x -3 ) 2 -(x2 -x -3 ) =x +3 .解法 1:由原方程得(x4+x2 +9-2x3 -6x2 +6x) -(x2 -x -3 )=x +3 .去括号 ,整理得x4-2x3 -6x2 +6x +9=0 .拆项为x4-2x3 -3x2 -3x2 +6x +9=0 .则 (x2 -2x -3 ) (x2 -3 ) =0 .解得x1 =-1,x2 =3 ,x3 =3 ,x4=-3 .小结 :解法 1及其结果无疑都是正确的 ,但其求解过程较繁琐 ,尤其是其求解过程中的“拆项”有一定的难度 ,一些同学往往不能…