Weisenbck不等式的推广

命题1 设三角形三边长分别为a、b、c,面积为S。则a~n b~n c~n≥2~n·3~((4-n)/4)S~(n/2)(n∈N),当且仅当a=b=c时等号成立。 这个命题是Weisenbck不等式a~2 b~2 c~2≥4 3~(1/2)S的推广形式。 证明:当n=1时,     

作业批注——关于不等号“≥”和“≤”

一、连续使用例1 已知a/x+b/y=1,求x+y的最小值。(x、y、a、b均正数) 错解∵1=a/x+b/y≥2((ab/xy)~(1/2)) ∴(xy)~(1/2)≥2((ab)~(1/2)) ∴(x+y)≥2((xy)~(1/2))≥4((ab)~(1/2)) ∴x+y的最小值为4((ab)~(1/2)) 批注第一个“≥”中等号成立的条件为x=y,第二个“≥”中等号成立的条件为a/x=b/y,两者只有在a=b时才是相容的,而原题未给出这个条件。正确的解法为:     

一道高考选择题的多种解法

题目(2006年重庆理科卷第10题):若a,b,c且a(a b c) bc=4-23,则2a b c的最小值为()(A)3-1.(B)3 1.(C)23 2.(D)23-2.这是一道最值问题,主要考查基本不等式的应用和代数式的变形.对复杂式子的辨别能力要求较高,学生难以下手,让现在高三的学生练习也如此,现经过探讨和共同研究得到多种解法,供大家参考.解法1:a(a b c) bc=4-23,即(a b)(a c)=(3-1)2,因为a,b,c>0,所以(a b)>0(a c)>0,故2a b c=(a b) (a c)≥2(a b)(a c)=2(3-1),当且仅当a b=a c时,即b=c时等号成立.所以2a b c的最小值为23-2,选(D).解法2:若a,b,c>0且a(a b c) bc=4-23,则a2 ab ac…     

余弦定理变形一得

在△ABC中有余弦定理:a~2=b~2 c~2-2bc·cosA,变形得: a~2=(b c)~2-2bc(1 cosA) =(b c)~2-4bc·cos~2A/2 ≥(b c)~2-(b c)~2cos~2A/2 =(b c)~2sin~2A/2. 由此得sinA/2≤a/(b c)(当且仅当b=c时取等号).同理可得sinB/2≤b/(a c)(当且仅当a=c时取等号);     

三角形中的三角函数问题初探

一、直接运用正弦定理或余弦定理求解的问题例1在△ABC中,已知角A,B,C的对应边分别为a,b,c,且满足4sin~2((B C)/2)-cos2A=7/2.(1)求角A的度数;(2)若a=3~(1/2),b c=3,且b相似文献   

(ax by)~n的展开式系数绝对值的单峰性

我们知道,二项展开式(x y)~n=sum from i=0 to n(C_n~ix~(n-i)y~i)的各项系数C_n~0,C_n~1,…,C_n~n的大小规律具有单峰性,即 当n为偶数时,C_n~0C_n~(n/2 1>)…>C_n~n; 当n为奇数时,C_n~0C_n~((n 1)/2) 1>…>C_n~n。 实际上,(ax by)~n=(sum from i=0 to n(C_n~ia~(n-i)b~ix~(n-i)y~i)(a,b∈R,ab≠0,n∈N_ ) ①的各项系数的绝对值 g_(i 1)=C_n~i|a|~(n-i)|b|~i(i=0,1,…,n) ②的大小规律也具有单峰性,本文给出这方面的结论。     

高灵不等式的加强

1981年,高灵得到不等式(1):a′(-a+b+c)+b′(a-b+c)+c′(a+b-c)≥4(3ΔΔ)~(1/2).本文给出一个加强.定理 a,b,c,a′,b′,c′与Δ,Δ′分别表示两个三角形 ABC 和 A′B′C′的边和而积,则a′(-a+b+c)+b′(a-b+c)+c′(a+b-c)≥4(3ΔΔ)~(1/2)+2((ab′)~(1/2)-(a′b)~(1/2))~2等式当且仅当ΔABC 与ΔA′B′C′均为正三角形时成立.应用如下两条引理立得:引理1(2)符号如定理,则     

IMO-36第二试题的推广

第36届IMO第2题,可推广得如下四个命题: 命题1 设a、b、c∈R~ ,且abc=1,则1/a~3(b c) 1/b~3(c a) 1/c~3(a b)≥1/2(bc ca ab)(1),当且仅当a=b=c=1时等式成立。 证 易知(2)等价于b~2c~2/a(b c) c~2a~2/b(c a) a~2b~2/c(a b)≥1/2(bc ca ab)(2)。由平均值不等式可得: b~2c~2 (1/4)a~2(b c)~2≥abc(b C), ∴b~2c~2≥abc(b c)-(1/4)a~2(b c)~2,     

IMO-36第二题的四种证法

第三十六届国际奥林匹克数学竞赛第二题: 设a、b、c为正实数,且满足a·b·c=1,试证:1/a~3(b c) 1/b~3(c a) 1/c~3(a b)≥3/2(1)。(俄罗斯提供) 证法一 由已知条件a·b·c=1,(1)与下面(2),等价:b~2c~2/a(b c) c~2a~2/b(c a) a~2b~2/c(a b)≥3/2(2),现用含参数基本不等式:a~2 (λb)~2≥2abλ(λ为参数)的变形:a~2/b≥2λa-λ~2b。因而     

二项式（a＋b）^n展开式寻根

1课堂奇遇从(a b)~2说起老师要讲新课——二项式(a b)~n的展开式了．他的提问从初中数学“和的平方公式”开始．题1在二项式(a b)~n中,分别求n=2和n=3的结果．解答根据乘法法则,分别有: (a b)~2=a~2 2ab b~2; (a b)~3=a~3 3a~2b 3ab~2 b~3．     

一个不等式的推广

文 [1 ]给出了下面一个三角形不等式 :设△ABC的三边长分别为a、b、c ,则13 ≤ a2 +b2 +c2(a +b +c) 2 <12 ,①当且仅当a =b =c时等号成立 .本文将不等式①推广为 :设△ABC的三边长分别为a、b、c .对于任意正整数n ,n >1 ,有13 n - 1≤ an+bn+cn(a +b +c) n<12 n- 1,②当且仅当a =b =c时等号成立 .证明 :根据文 [2 ],有an+bn+cn3 ≥ a +b +c3n,当且仅当a =b =c时等号成立 .由此易知第一个不等式成立 ,取等号的条件也成立 .下面证明第二个不等式 ,这等价于an+bn+cn<12 n - 1(a +b +c) n.③用数学归纳法 .当n =2时 ,由式①知式③成立 .设n …     

π是无理数的一个简证

设π是有理数,即它为二正整数a与b的商a/b:作多项式: f(x)=(x~n(a-bx)~n)/n!, F(x)=f(x)-f~((2))(x)+f~((4))(x)-…+(-1)~nf~((2n))(x),这里正整数n将由后面来确定。因为n!f(x)是x的整系数多项式,且各项x的次数都不小于n,故对x=0时,f(x)及其各阶导数f~((i))(x)的值均为整数,又因f(x)=f(a/b-x),故对x=π=a/b时,它们的值也都是整数。于是由初等微积分的知识,我们有     

对一个无理不等式的改进及推广

文[1]证明了如下无理不等式: 设a,b,c∈R ,n≥2,则有 ∑n 1√(a/b c)n≥n 1/n 1√n(1) 当且仅当n=2且a=b=c时,上式取等号.     

数学奥林匹克问题

本期问题 初343已知x、y为正实数,n∈N,且n≥2.证明: n√x+(2n-1)y/x+n√y+(2n-1)x/y≥4. 初344 在边长为2的正方形ABCD中,动点E、F均在边AD上,满足AE=DF,联结CF与对角线BD交于点Q,联结AQ、BE交于点P.求DP的最小值. 高343设a、b、c＞0,且abc=1,λ(λ≥1)为常数.证明:a1/a+b+λ+1/b+c+λ+1/ρ+δ+λ≤3/2+,当且仅当a=b=c=1时,上式等号成立.     

2013年湖南高考数学试题理科10题

题目 已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+ 4b2+ 9c2的最小值为____. 解法1 由柯西不等式得(a2 +4b2+ 9c2)(12+12+ 12)≥(a+2b+3c)2, 所以3(a2+ 4b2+ 9c2)≥36, 所以a2+ 4b2+ 9c2≥12,当a/1=2b/1=3c/1且a+2b+3c=6,即a=2,b=l,c=2/3时取得最小值.     

一类三角函数最值的应用

命题函数y=a/cosx b/sinx,(a、b∈R~ ),x∈(0,1/2π)的最小值为(((a~2)~(1/3) (b~2~(1/3))~3)~(1/2) 证明∵a~(1/3)cosx b~(1/3)sinx ≤ ((a~2)~(1/3) (b~2)~(1/3))~(1/2)(当且仅当x=arc tg(b/a)~(1/3)时等号成立), ∴((a~2)~(1/3) (b~2)~(1/3))~3)~(1/2)y≥a~(1/3)cosx b~3sinx)·(a/cosx b/sinx)≥(a~(1/6)(cosx)~(1/2)(a/cosx)~(1/2) b~(1/6)(sinx)~(1/2)·((b/sinx)~(1/2))~2=((a~2)~(1/3) (b~2)~(1/3))~2(当且仅当x=arc tg(b/a)~(1/3)时等号成立),即     

2013年湖南卷理科第10题的多解及推广

1.问题试题(2013年湖南卷理科第10题)设a,b,c∈R,且满足a+2b+3c=6,则a^2+4b^2+9c^2的最小值为______.2.问题解决视角1柯西不等式法解法1:由柯西不等式得(a+2b+3c)^2=(1×a+1×2b+1×3c)^2≤(1^2+1^2+1^2)(a^2+4b^2+9c^2)=3(a^2+4b^2+9c^2),即a^2+4b^2+9c^2≥12,当且仅当a=2,b=1,c=2/3时等号成立.     

常数凑配技巧

在我们平时的学习和考试中,都想快速解题,以减少运算时间,这需要掌握一些技巧,下面谈谈凑配常数的技巧。 例1 设α、b、c、d>0,且α b c d=1,求证:((4a 1)(1/2)) ((4b 1)(1/2)) ((4c 1)(1/2))) ((4d 1)(1/2))<6,1980年苏联列宁格勒数学竞赛题,我们将它推广并给出下限: 若sum from i=1 to n (a_i)=1,则(n 1)0) (1) 粗看(1)式感到棘手,特别是不等式的下限,但将常数进行凑配和巧妙的变形后,就会迎刃而解: 证明:∵sum from i=1 to n ((na_i 1)~2)~(1/2)≤n[(na_i 1)     

例说柯西不等式的巧用

设a1,a2,a3,…,an;b1,b2,b3,…,bn是任意两组实数,则有((n∑i=1)aibi)2≤((n∑i=1)ai2)·((n∑i=1)bi2)当且仅当a1/b1=a2/b2=…=an/bn时,取"="号,这就是柯西不等式.     

一个不等式猜想引发的思考

一、猜想能作更有意义的修正吗?在文[1]中,李韵老师提出了如下猜想:设a,b,c∈R,且a+b+c=1,n∈N~+,则(a(n+1)+b)/(b+c)+(b(n+1)+c)/(c+a)+(c(n+1)+b)/(a+b)≥(1+3~n)/(2·3~(n-1)).无独有偶,文[2]、[3]、[4]都用极限法和特殊值法指出该猜想是错误的.