圆外切闭折线一个奇妙性质的推广

在拙文[1]中,我们曾将三角形的一个奇妙性质推广到一般圆外切闭折线中,得到了如下命题:定理1设闭折线A(n)外切于⊙I,其一级顶点子集V_j的2号心为B_j(j=1,2,…,n),则闭     

关于圆外切闭折线的一个性质

对于三角形,下面的结论是熟知的[1]: 命题1 平分三角形的周长和面积的直线必经过三角形的内心. 这一性质可以推广到任意的圆外切多边形中[1]: 命题2 平分圆外切多边形的周长和面积的直线必经过三角形的内心. 本文拟将这一性质作进一步推广,证明关于圆外切闭折线的一个性质. 约定 符号121nAAAADL表示闭折线12AA 1nAAL的有向面积[2],ABCD表示△ABC的有向面积. 定理 设闭折线121nAAAAL有内切圆⊙(,),,IrMN分别是边12AA、1kkAA (1,kn相似文献   

圆内接闭折线的k号心定理——三角形垂心定理的奇妙推广

众所周知,关于三角形有如下共点线定理：定理1三角形的三条高（所在的三条直线）必相交于同一点．这个点称为三角形的垂心．定理1称为三角形的垂心定理．本文拟应用向量方法,对定理1作多方位地类比推广,导出一个更具普遍性的、关于一般圆内接闭折线之k号心的共点线定理,供读者赏析．     

关于平面闭折线的一个优美定理——一个三角形定理的推广

美国数学家R.A.约翰逊在其名著[1]中,介绍了如下一个优美的三角形定理:定理1如果两个同底的三角形内接于同一个圆,那么它们垂心的连线平行且等于它们顶点的连线.本文拟应用向量方法,将这定理多方位地推广到一般平面闭折线中.为了叙述简便起见,本文约定:(1)符号A(n)和B(n)表示同     

关于圆外切闭折线的诸线切圆定理

众所周知,在三角形中,以内心与奈格尔点连线的中点为圆心,内切圆半径的一半为半径的圆,称为三角形的斯俾克圆.它有如下美妙性质:[1] 定理 0 设△ABC 的三个顶点与奈格尔点连线的中点分别为 M1、 M2 、 M3 ,三条边的中点分别为 N1、N2 、N3 ,那么△ABC 的斯俾克圆必内切于△M     

圆外切闭折线的折心及其性质

本文建立了一般圆外切闭折线的折心概念，并揭示了它的若干基本性质．     

圆外切闭折线的斯俾克圆及其性质

数学家约翰逊(R·A·Johnson)在其名著[1]中,介绍了三角形的斯俾克(Spieker)圆概念如下: 定义1设ΔABC三边BC,CA,AB的中点分别为D,E,F,则DEF的内切圆称为ΔABC的斯俾克圆。本文试将斯俾克圆的概念,从三角形推广到一般圆外切闭折线中,并探讨其性质。为了论述简便起     

圆内接闭折线垂心的一个性质的推广

从闭折线123nAAAAL的n个顶点中任意除去(1)kkn?个顶点,那么其余()nk-个顶点所组成的集合,称为这条闭折线的k级顶点子集,记为()jkV.文[1]研究了(3)jV的一个性质.本文将其推广到k级顶点子集,并作出更深入的分析. 定理1设闭折线123nAAAAL内接于⊙(,O)R,其垂心[2]为H,其k级顶点子集()jkV的垂心为()jkH,除去的k个顶点为12,,jjAA12,(1)kjkAjjjn?<<L则 22()1mljkjjmlkHHAA相似文献   

圆外切闭折线的k号界心及其性质

我们知道,三角形的第一界心和第二界心有如下基本性质:[1] 定理0设△ABC的内心为I,重心为G,第一界心为N,第二界心为F,则I、G、F、N四点共线,且 IG:GF:FN=2:1:3.     

也谈圆外切闭折线的优美性质

贵刊文[1]揭示了圆外切闭折线的一个优美性质,读后得盖匪浅.本文试对该性质作进一步的推广. 我们约定:符号()An表示外切于⊙(,)Ir的任意一条闭折线1231nAAAAAL. 在闭折线()An的两条边上各取一点M和N,为了确定起见,不妨设点M在边12AA上,点N在边1kkAA+上(1kn#,且1nA+为1A,如下图).于是 (i)M和N两点将()An分成两条开折线,即 23kMAAANL ① 和 121kknNAAAAM++L. ② 本文约定:这两条开折线的长分别记作1l和2l. (ii)在开折线①和②中连结MN,可以得到两条闭折线,即 23kMAAANML …     

圆内接闭折线的一个美妙性质

众所周知,关于三角形有如下命题: 定理1 设△ABC三条边BC、CA、AB 的中点分别为D、E、F,则△ABC的外心是△DEF的垂心．本文拟应用向量方法,将这个定理推广到一般圆内接闭折线中．为了叙述简便起见,本文约定:符号A(n)表示任意一条平面闭折线     

关于圆外切闭折线的几个不等式

设△ＡＢＣ的三边长为ａ,ｂ,ｃ,其内切圆为⊙(Ｉ,ｒ),则有下面的不等式(证略):ＡＩ2+ＢＩ2+ＣＩ2≥14(ａ2+ｂ2+ｃ2)+3ｒ2(1)文献[1]中还有以下不等式:ＡＩ+ＢＩ+ＣＩ≥6ｒ(2)(1),(2)中等号成立当且仅当ａ=ｂ=ｃ.定理1　设平面闭折线Ａ1Ａ2Ａ3…ＡｎＡ1有内切圆为⊙(Ｉ,ｒ),其边长为|ＡｉＡｉ+1|=ａｉ(ｉ=1,2,…,ｎ,且Ａｎ+1为Ａ1),则有:∑ｎｉ=1ＡｉＩ2≥14∑ｎｉ=1ａ2ｉ+ｎｒ2(3)当且仅当ａ1=ａ2=…=ａｎ时取等号.　　证明　设已知闭折线的边ＡｉＡｉ-1,ＡｉＡｉ+1分别与内切圆切于点Ｂｉ-1,Ｂｉ(如图1),设|ＡｉＢｉ-1|=|ＡｉＢｉ|=ｘｉ(ｉ…     

三角形的半外切圆及其性质

本文介绍三角形旁切圆的一个类似圆,它与三用形两边的延长线相切,并与三角形的外接圆相外切.姑且称之为半外切圆。笔者经过认真地探究,发现这种圆有一系列有趣的性质,掌握这些性质,可以加深我们对这类几何图形的了解。因此,特撰拙文,供同仁参考,亦可作为教学和第二课堂活动参考资料为叙述简便,通文用a、b、c、表示△ABC三顶点A、B、C所对的边,R表示△ABC的外接圆半径,I_1,r_1分别表示切AB、AC延长线的半外切圆的圆心和半径。     

三角形的半外切圆及其性质

本文介绍一种特殊圆，它与三角形的两边的延长线相切，并与三角形的外接圆相外切，姑且称之为半外切圆．笔者经过认真地探究，发现这种圆有一系列有趣的性质．因此，特撰拙文，与同仁共飨．为了简便，用a、b、c表示△ABC三顶点A、B、C所对的边，R表示△ABC的外接圆半径，I_1、r_1分别表示切AB、AC延长线的半外切圆圆心和半径，切AB、AC延长线的旁切圆半径为r在研究半外切圆性质之前，先讨论三角形旁切圆的一个性质．性质1与△ABC的边AB、AC的延长线相切，并与边BC相切的旁切圆半径等于证明如图由正弦定理同理可以求出另外两个旁…     

抛物线外切三角形的一个性质

文[1]中给出了抛物线外切三角形与内接三角形的一个美妙性质．笔者经研究，又发现了抛物线外切三角形的一个性质．     

三角形的半外切圆及其性质

本文介绍一种特殊圆,它与三角形的两边的延长线相切,并与三角形的外接圆相外切,我们姑且称之为半外切圆。笔者经过认真地探究,发现这种圆有一系列有趣的性质,这些性质深刻地揭示了它们几何性质,因此,特撰拙文,与同仁共飨。为了简便,用a、b、c表示△ABC三顶点A、B、C所对的边,R表示△ABC的外接圆半     

圆内接闭折线垂心的一个有趣性质

本文揭示圆内接闭折线垂心的一个有趣性质 .为了节省篇幅 ,沿用文献 [1 ]中的有关概念而不复述其意义 .本文得到的结果是 :定理　设 3≤ｋ <ｎ ,Ａ1Ａ2 Ａ3 …ＡｎＡ1内接于圆Ｏ ,其垂心为Ｈ ,且其顶点子集 {Ａ1,Ａ2 ,… ,Ａｋ}、{Ａｋ,Ａｋ+ 1,… ,Ａｎ,Ａ1}、{Ａ2 ,Ａ3 ,… ,Ａｋ-1}、{Ａｋ + 1,Ａｋ+ 2 ,… ,Ａｎ}的垂心分别为Ｈ1、Ｈ2 、Ｈ3 、Ｈ4,则△ＨＨ1Ｈ2 ≌△ＯＨ4Ｈ3 证明　以圆心Ｏ为原点建立直角坐标系ｘＯｙ ,设顶点Ａｉ 的坐标为 (ｘｉ,ｙｉ) (ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) ,点Ｈ、Ｈ1、Ｈ2 、Ｈ3 、Ｈ4的坐标分别为 (ｘ ,ｙ)、(ｘ1,ｙ…     

谈圆外切闭折线的奈格尔点的性质

文献[1]建立了圆外切闭折线的奈格尔点的概念,并研究了它的若干性质.本文对圆外切闭折线的奈格尔点的性质作进一步探讨.首先引入圆外切闭折线的奈格尔点的定义. 定义[1] 设闭折线1231nAAAAAL(以下简记为()An)外切于⊙(,)Ir,以圆心I为原点建立直角坐标系xIy,设顶点iA的坐标为(xiy)(i=1,2,L,n), 令 1nNiixx==, 1nNiiyy== (1) 则点N(,NNxy)称为闭折线()An的奈格尔点. 定理1设闭折线()An外切于⊙(,)Ir,其奈格尔点为N,设闭折线的内角11iiiAAA-+=qi(1,2,,in=L,且0A为1,nnAA+为1A), 则 2222122(1)cscnijijniANAAnr??+=-邋…     

关于圆外切多边形的一个定理

定理 设边长依次为a1，a2，…，ak（k≥3）的k边形外切于圆，则 2/^n√2〈k∑i=1^n√ai/^n√k∑i=1ai≤k/^n√k.[第一段]     

关于圆外切多边形的一个定理

定理设边长依次为 a_1,a_2,…,a_k(k≥3)的 k 边形外切于圆,则证明:设 k 边形 A_1…A_k 切圆 O 于点 B_1,…,B_k,(A_iA_(i 1)切圆于 B_i,)且A_iA_(i 1)=a_i(A_(k 1)=A_k),A_iB_i=x_i(i=1,…,k),那么有a_i=x_i x_(i 1)(i=1,…,k,x_(k 1)=x_1),∑a_i=2∑x_i(以下略去求和限),以及