对一道高考数学试题的思考与拓展

题目如右图,设抛物线方程为x^2=2py（p〉0）,M为直线y=-2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A、B．     

求直线与抛物线交点的一类习题的简捷解法

定理:设抛物线方程y~2=2px,若过抛物线焦点F(p/2,0),且倾斜角为α(α≠0)的直线,交抛物线于M(x_1,y_1)、N(x_2,y_2),则M、N点的坐标存在如下关系:x_1·x_2=p~2/4 ①y_1·y_2=-P~2 ②证明:过焦点F(p/2,0)且倾斜角为α的直线方程为:     

一道高考试题的探究与推广

2004 年福建省高考理工 22 题,文史 21 题均涉及到如下命题: P 是抛物线C : y = x2 /2上一点,直线l 过点 P 且与抛物线C 交于另一点Q ,若直线l 与过点 P 的切线垂直,求线段PQ 中点 M 的轨迹方程. 上述命题中,线段 PQ为过切点且与切线垂直的弦,点 M 为线段 PQ 的中点.这是一道求受限动弦中点轨迹的问题,本文探究此类轨迹方程的一般形式,并予以推广. 定理 1 抛物线 x2 = 2py的弦 PQ垂直于过点 P 的切线,则 PQ中点M 的轨迹方程为 y = x2 / p p3 /(2x2) p . 证明 设 P(x1, y1),Q(x2, y2) ,M(x, y) ,由 y = x2 得 y'=…     

高考试题课本寻踪

题目过抛物线y^2=2px（p〉0）的对称轴上一点A（a,0）（a〉o）的直线与抛物线相交于M、N两点,自M、N向直线l：x=—a作垂线,垂足分别为M1、N1．     

对圆锥曲线一个向量性质的再探究

本刊文[1]由2007年全国高考福建卷的一道解析几何试题引出了如下圆锥曲线的向量性质： 性质1 设抛物线y^2=2px（p〉0）的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A、B两点，交直线l于点M，     

椭圆切线的几个性质

性质1设F为椭圆的一个焦点,其相应的准线为l,过椭圆上的一点M的切线交准线l于P,则PF⊥MF.证明过椭圆22ax2+by2=1(a>b>0)上点M(a cosθ,bsinθ)的切线为:x cos ysin1aθ+bθ=,则(2,(cos))sinPa b c ac cθθ?.∴sin,MFcoskba cθ=θ?k FP=c?b saicnoθsθ,∴k MF?kFP=?1,∴PF⊥MF.性质1'设F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过抛物线上任一点(非顶点(0,0)M的切线交准线l于P,则PF⊥MF.证明设抛物线上一点M(t2/(2p),t)(非顶点(0,0)),则过M的切线为:2()2ty p xt=+p,∴22(,)22Pp t pt??,∴22222,MF FP2k pt kt pt p pt=?=??,∴k MF?kFP…     

一道高考题的探究

2009年湖北省高考数学试题文（20）如图1,过抛物线y^2=2px（p〉0）的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点,自M、N向准线L作垂线,     

立足教材 点石成金--2009年高考数学试题的教学运用

2009年高考数学湖北卷理科第20题：过抛物线y^2=2px（p〉0）的对称轴上一点A（a,0）（a〉0）的直线与抛物线相交于M、N两点,自M、N向直线l：x=～a作垂线,垂足分别为M1、N1．     

2013年山东高考数学试题文理科11题

题目 抛物线C1:y=1/2px2(p＞0)的焦点与双曲线C2∶x2/3-y2=l的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=(). A.√3/16 B.√3/8 C.2√3/3 D.4√3/3 解法1 设点M(x0,1/2px02),抛物线C1的焦点为F(0,p/2),双曲线C2的右焦点为F2(2,0),双曲线C2过第一象限的渐近线斜率为b/a=√3/3.     

一道高考试题的多种解法

2009年高考数学湖北卷的解析几何解答题如下． 题目：过抛物线y^2=2px（p〉0）的对称轴上一点A（a,0）（a〉0）的直线与抛物线相交于M、N两点,自M、N向直线l：x=-a作垂线,垂足分别为M1、N1.     

一道2013甘肃省预赛试题的解法、源头及推广

正1试题及解法题1(2013甘肃省预赛第9题)如图1,抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,已知点A、B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=120°,过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则|MN|/|AB|的最大值为     

对一道数学高考题的探究

原题再现 题目 （2009年高考湖北卷数学理科第20题）过抛物线y^2=2px（p〉0）的对称轴上一点A（a,0）（a〉0）的直线与抛物线相交于M、N两点,自M、N向直线l：x=-a作垂线,垂足分别为M1、N1．     

对一道切线问题的再思考

问题 直线l是过抛物线y^2=2px（p〉0）上一点P的切线．过该抛物线焦点F的直线FN⊥l,与直线l交于点N,与抛物线的准线交于点M．求证：直线MP平行于x轴．     

圆锥曲线中的隐含条件

一、定点是隐含条件 直线过定点是一个值得注意挖掘的隐含条件． 例1 设点A和B为抛物线y^2=2px（p〉0）上除原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB于M，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．     

关于一道压轴题的多角度思考

校内一道竞赛压轴题如下： 如下图,P是抛物线x^2=2py（p〉0）上的动点,点M、N在x轴上,圆x^2＋（y—p）^2=p^2,内切于△PMN,求APMN面积的最小值．     

2019年北京卷理科第18题别解与推广

<正>试题已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1).(Ⅰ)求抛物线C的方程及其准线方程;(Ⅱ)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M、N,直线y=-1分别交直线OM、ON于点A、B,求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.这是2019年北京卷理科第18题,我们首先给出试题的一种新解法.解答 (Ⅰ) 由抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1),则4=2p,所以抛物线C的方程为x2=-4y     

圆切于抛物线顶点的定理及其在物理中的应用

定理1：抛物线x^2=2py的p确定后，圆x^2 (y-p)^2=p^2是只与抛物线有顶点交点，且内切于抛物线的最大圆。     

对一道解析几何题的渐进式思考

在解析几何的复习中,我们遇到了这样一道题;已知抛物线 y~2=2px(p>0)上有两点 A、B 关于点 M(2,2)对称.(1)求 p 的取值范围;(2)当 p=2时,该抛物线上是否存在另外两点 C、D,且A、B、C、D 四点共圆?若存在,求出此圆方程;若不存在,请说明理由.对于第一问,同学们都能做出来,即设 A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)是抛物线上关于点 M(2,2)对称的两点,则 x_1 x_2=4,y_1     

一线串珠，五珠争辉——抛物线对称轴上的5个特殊点

在抛物线y^2=2px（p〉0）的对称轴x轴上有5个特殊点，分别是焦点（p/2，0）、NA（0，0）、点（-p/2，0）、点（p，0）及（2p，0）．这5个点尤如5颗珍珠，镶嵌在抛物线的对称轴上，闪烁在抛物线的各类问题之中．     

抛物线对顶点张直角的弦的几个性质及应用

本文探讨抛物线对顶点张直角的弦的几个性质及应用.设点A,B在抛物线y2=2px或x2=2py(p>0)上,且OA⊥OB(O为坐标原点).1、对抛物线y2=2px,弦AB过定点(2p,0),反之也成立;对抛物线y2=2px弦AB过定点(0,2p),反之也成立.2、若直线OA的斜率为k(k≠0),则:(1)对抛物线y2=2px,弦AB的中点为(p(k2 1/k2),p(?k 1/k));对抛物线x2=2py,弦AB的中点为(p(k?1/k),p(k2 1/k2)).(2)弦AB的长l=2p(k2 k12 12)2?94;(3)△AOB面积2S2p2k1k= .下面只对y2=2px的情形加以证明,对x2=2py的情形类似可证.证明由???yy2==k2x,px,得A(2k p2,2kp).由OA⊥OB可得B(2pk2,?…