“1”的巧用

“1”是一个简单的数,在数学中,若能利用结果为1的式子(如0a,1(0)aaa坠,2sina 2cosa等等)或与1有关的结论解题,常能达到化繁为简的目的. 1 巧用“1”的变式解题 例1 22031xx--=,则x=_________. 解 ∵22031xx--=,∴220033xx--=, ∴2200xx--=, 解得5x=或4x=-. 例2 已知a、b     

数学问题转换例说

在解决一些比较复杂的题目时 ,解题的途径不那么明朗 ,经常需要对问题进行转换 ,即从不同的角度去观察问题 ,产生新的联想 ,理出解题思路 .这种转换的思想常常表现为以下几种情况 .1　已知条件与问题结论的转换一些难度较大的题目 ,条件与结论之间的距离较远 ,条件一般不易直接用上 ,这时往往需要把条件向结论或把结论向条件推演、变换或转化 ,使二者沟通 ,建立联系 .这实际上也就是我们常说的 ,在探求解题思路时 ,交替使用分析与综合的思考方法 .例 1　若函数 f(x) =x2 -x +k ,且log2 f(a) =2 ,f(log2 a) =k(a≠ 1) .(1)求 f(log2 x)的最小…     

选择主元解数学题

当一道数学题比较复杂，含有多个变量时，我们可选择其中某个变元为主，其他的变元为辅或当作常量进行研究，从而把多个变元问题转化成为一元 (或者少数元 )问题，这种解决问题的方法称之为主元法。下面通过问题的求解，谈谈选择主元在解题中的应用。 　　一、化简与求值 　　例 1已知 x＋ 3y＋ 5z=0,2x＋ 4y＋ 7z=0,求的值。分析：题设条件中含有 x， y， z三个变量，不妨选择其中 x,y为主元，将 z当作常量，解关于 x,y的方程组得， x=－ ,y=－ z,将 x,y的值代入原式可得所求值是。 例 2已知 x2＋ 2y2=1,求 2x＋ 5y2的最大值和最小值。 　…     

对一道高考题的解题反思

题目已知集合P={x|1/2≤x≤2},函数y=log2(ax2-2x 2)的定义域为Q.(1)若P∩Q≠Φ,求实数a的取值范围;(2)若方程log2(ax2-2x 2)=2在[1/2,2]内有解,求实数a的取值范围.分析这是一道不等式、方程、函数综合题,由于有利于数学思想的渗透,数学方法的生成,阅读能力的培养,分析问题、解     

几类函数题的常见错误

在解答基本函数的有关问题时,若忽视或混淆条件充分性、必要性或充要性,进行非等价转化,或者由于概念、性质、定理不清、运算方法不当等,就会造成“对而不全”的解题失误甚至错误.1忽视对定义域的等价转化致错例1已知函数f(x)=loga(-x2+log2ax)的定义域为(0,21),则实数a的取值范围是.图错解函数f(x)=loga(-x2+log2ax)的定义域为(0,21),即当x∈(0,21)时,-x2+log2ax>0恒成立,即关于x的不等式log2ax>x2在(0,21)上恒成立,令y1=log2ax,y2=x2,如图,y2过点P(21,41),y1>y2在(0,21)上恒成立,则应有y1、y2在(0,12)上的图象的位置关系为y1在y2上方,所…     

巧选主元分解因式

在分解含有多个字母的多项式时 ,由于字母多 ,结构复杂 ,分解的思路有些零乱 ,怎样解决这类问题呢 ?选择主元是排除干扰的有效方法 ,一个看似无法分解的多项式 ,选定主元整理后 ,分解的思路就自然畅通 ,选择主元的常用思路有以下几种。一、选择次数较低的字母作为主元在选择主元时 ,一般选取多项式中次数较低的字母作为主元 ,可使问题化繁为简。例 1.分解因式 :x4 x2 2 ax 1- a2 。解 :以次数较低的字母 a为主元 ,整理得原式 =- a2 2 xa x4 x2 1=- a2 2 xa- x2 x4 2 x2 1=- (a- x) 2 (x2 1) 2=(x2 x- a 1) (x2 -…     

选取主元的四种方法

在一个涉及多个变量的问题中,若能适当地选取其中的一个变量作为主变量(也叫主元),突出其作用,则能使问题顺利得到解决.一、从整体角度选取例1已知x>0,y>0且x+y=1,求x2+y2-x2y2的取值范围.分析这里以x、y中的任意一个为主元,都会给解题带来麻烦.现取“xy”这一整体作主元.解∵x>0,y>0且x+y=1,∴2xy√≤1.∴0m>1,t>1,求证:logntmtm>…     

我们和谐成长——一个反思性实践改错案例与评述

一、案例这是初一学生小A学完平方根和立方根后的单元检测中解答题的错题原始记录.第三题.1.若｜a｜=5,!b2=7,｜a-b｜=b-a,则a b的值是多少?解:因为a0,b>0,则a b=12.(划线部分为小A的原始解题过程,下同)2.(多变题)已知!3(2x-1)6的平方根是±1,求x的值.解:x=2.(1)一变:     

求恒不等式中参数取值范围的六种方法

恒不等式问题,往往是把代数、几何、三角有机地结合起来,是近几年数学高考、竞赛中考查的热点,而学生对此类问题感到比较困难.为此,特举以下例子来探讨它的几种解法.一、变元转换法例1设g(x)=(log2x)2+(t-2)log2x-t+1,若在t[-2,2]时,g(x)>0恒成立,求x的取值范围.解p(t)=(log2x-1)t+(log2x)2-2log2x+1,将问题转化成当t眼-2,2演时,p(t)>0,∴P(-2)>0熏P(2)>0 熏即-2(log2x-1)+穴log2x)2-2log2x+1>0熏2(log2x-1雪+(log2x)2-2log2x+1>0 .故08.二、分离参数,最值转换法例2若f(x)=1+2x+3x+…+穴n-1雪x+nx·m姨,其中mR,nN,且n≥2…     

导数法证明不等式之函数巧构造

<正>一、多变量不等式,以其中一个变量为主元构造新函数对于双变量的不等式证明,可以采取"定主元,降辅元"的方法,即先把辅元当成常数,以主元为变量构造一个新的函数,再利用导数法证明不等式。例1已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xln x。(1)求函数f(x)的最大值;(2)设0相似文献   

高一数学综合检测

一、选择题1.设f:x→y=2x是A→B的映射,已知集合B={0,1,2,3,4},则A满足().A.A={1,2,4,8,16}B.A={0,1,2,log23}C.A{0,1,2,log23}D.不存在满足条件的集合2.已知函数f(x)=log2x(x>0),3x(x≤0),则f f41的值是().A.9B.91C.-9D.-913.设有两个命题:①关于x的不等式x2+2ax+4>0对于一切x∈R恒成立;②函数f(x)=-(5-2a)x是减函数.若上述两个命题有且只有一个为真命题,则实数a的取值范围是().A.(-2,2)B.(-∞,2)C.(-∞,-2)D.(-∞,-2]4.若f(x)=xx-1,则方程f(4x)=x的根是().A.21B.-21C.2D.-25.若定义在区间(-1,0)内的函数f(x)=log2a(x+1),满足f(x…     

“2006”趣题六则

1.已知f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=2,求ff((21))+ff((32))+ff((34))+…+ff((22000065))的值.2.已知函数f(x)=log21(x2+2x+4),试比较f(-2006)与f(-2005)的大小.3.已知数列{an}的前n项和Sn=log12006(1+n),求a2006+a2007+…+a20062-1.4.已知a≠0,且sinx+siny=a,cosx+cosy=a,求(sinx+cosx)2006的值.5.求证:log321006+log222006+1log1672006<1.6.已知直线kx+(k+1)y-1=0与坐标轴所构成的直角三角形的面积为Sk,求S1+S2+…+S2006.参考解答1.取y=1,则f(x+1)=f(x)·f(1)=2f(x),即f(fx(+x)1)=2.所以ff((21))+ff((23))+f(4)f(3)+…+ff((22000065))=2+22…     

多元之中定主元

某些多元的问题,考虑选择其中一个元为主元,其它的元看作常数或用主元表示的方法,可找到迅速解题的途径. 一、分解因式问题例1 分解因式x2-2y2+xy-xz-2yz. 解:以x为主元,那么原式=x2+(xy-xz)-(2y2+2yz)     

一个对数幂恒等式及其应用

定理　设x ,y ,a∈R ,且a≠ 1 ,则xlogay=ylogax.证明 :当x =1时 ,等式显然成立 .当x≠ 1时 ,应用换底公式logxy =logaylogax=lgylgx.∴logay·lgx =logax·lgy ,即lg(xlogay) =lg(ylogax) ,∴xlogay=ylogax.这个恒等式简单、对称 ,在处理幂指数上含有对数的表达式的相关问题时 ,可直接“换底”(幂底数与对数真数对换 ) .例 1　求 5 log54 2log3 53的值 .解 :原式 =5 log54 × 5 log3 59=4log55× 9log3 55=42 × 93=1 1 664.例 2　已知a ,b,c>0 ,且均不为 1 ,则alogbc blogca clogab-alogcb-blogac-clogba=　　 .解 :由于alogbc=clogba,…     

不可忽视的“0”

在数学中,“0”是一个特殊的数值,作为解题的条件,一般不会直接给出,而是隐含在题目中,解题时容易被忽视,从而导致错解.下面我们通过分析错解的例题,使同学们对这个问题加强认识,以便在今后的解题过程中,不再出现同样的错误.一、忽视绝对值符号里的字母为“0”例1若实数a满足a a=0,则a=____.错解:由a a=0移项得a=-a,故a<0.分析:以上错解的原因是忽视了绝对值符号中的字母a=0的情况.事实上,使得已知等式成立的实数a应为非正数,即a≤0.二、忽视分母不为“0”例2当x=____时,函数y=x2 x-2x2-1姨的值为0.错解:分子x2 x-2姨=0,即x2 x-2=0,解得x=1…     

主元法巧解导数压轴题

许多数学问题中都含有常量、参量、变量等多个量.通常情况下,有一些元素处于突出和主导的地位,可视之为主元.在某些情况下,为解决问题的需要,我们也可人为突出某个元素的地位作用,将之当作主元.确立主元后,以此作为解题的主线进而把握问题,促使问题转化直至问题解决的思想方法称为主元法.数学中的多元参数问题,若按常规思路确定主元,可能导致问题复杂化,此时,若能针对题目的结构特征,改变思考的角度,重新选择某参变量为主元,另辟蹊径,往往可以使问题化难为易,迅速求解.在导数试题中,经常涉及到多个变量(如x、a、b等),解题常规思路是以x为主元求解.但是对于不少导数压轴试题,以x为主元进行求解会十分繁琐.此时如果能够改变思路,重新确定主元,则会使得解题过程格外简捷自然.     

“分式方程”典例赏析

例1已知实数x满足 扩十粤、二干工 劣X 析解:可将二+工看作一个整体 X 设它为 O,试求 l X十— 的值. 为得y=1或一2,当二+工二 X l时方程无解, 则二+工只能等于一2.此题由解分式方程演 X 变而来,暗设陷阱,解题时,若忽视t’x是实数” 这个条件,将求得的值不加以检验直接写出,则 前功尽弃. 例:若关于:的分式方程共 X一乙 劣一 X+ Zx+a 一劣2一x一2 有唯一的实根,则( (A)a可为任何实数 (B)a=一7或a=一l (C)a尹一7且a笋一l (D)a尹一7或a尹一1 析解:将分式方程化为整式方程可得二= 得k二0. 所以犷一耘二o, 即二=0(舍),二=4. ②当二=一1时,代…     

解题的心向——化归

正化归思想是中学数学最基本的思想方法,是解题思想的灵魂,是解题的"心向".如何恰当地化归,乃是探索解题途径的中心环节.怎样恰当地化归问题呢?下面本文具体举例阐述.1.转换表达,化未知为已知将未知的问题向其等价的表达形式上转化,这是解题的基本方向.例1已知函数f(x)=x+1x+a2,g(x)=x3-a3+2a+1,若存在x1、x2∈[1a,a](a1)使得|f(x1)-g(x2)|≤     

剖析错误解答 用好转化思想

贵刊 2 0 0 0年第 10期《运用数学思想方法解含参不等式》一文中 ,例 3的解答是错误的 ,现将“例 3”及“解答”与“评注”抄录如下 :例 3　若 a∈ [-1,3 ] ,解不等式 x2 -ax>3 x -2 a +1解 :原不等式变形为 ( 2 -x) a +x2 -3 x-1>0构造函数 f ( a) =( 2 -x) a +x2 -3 x -1,当 x =2时 ,不等式显然不成立 .由 a∈ [-1,3 ] ,且 f ( a) >0 ,知f ( -1) =x2 -2 x -3 >0f ( 3 ) =x2 -6x +5 >0解之得 x >5或 x <-1.评注 :本例以辩证转化思想为指导 ,把参变元 a视为主元 ,将变元 x看成常量 ,构造关于参数的一次函数 ,利用单调性求解 ,此法极其巧思 .…     

2002年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试题

<正> 一、填空题(本大题共有12题,每小题4分,满分48分). 1.若z∈C,且(3十z)i=1相似文献