塞瓦定理及应用

1　基础知识塞瓦定理　设A′、B′、C′分别是△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上的点 .若AA′、BB′、CC′三线平行或共点 ,则 BA′A′C·CB′B′A·AC′C′B=1 .①证明 :若AA′、BB′、CC′交于一点P ,如图 1 (b) ,过A作BC的平行线 ,分别交BB′、CC′的延长线于D、E ,得 CB′B′A=BCAD,AC′C′B=EABC .又由 BA′AD =A′PPA =A′CEA ,有 BA′A′C=ADEA .从而 BA′A′C·CB′B′A·AC′C′B=ADEA·BCAD·EABC =1 .若AA′、BB′、CC′三线平行 ,可类似证明 (略 ) .注 :对于图 1 (b)也有如下面…     

塞瓦定理的等价定理及其应用

众所周知,塞瓦定理在证明三线共点问题时的功用可以与梅涅劳斯定理在证明三点共线问题时的功用媲美.本文介绍一个与塞瓦定理等价的定理,有时候用它来证明三线共点比用塞瓦定理更简捷、方便.定理设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB(或其延长线)上的点,     

塞瓦定理与三线共点

三线共点问题是数学竞赛中的热门问题之一,各种辅导书上多有介绍,许多书上都提到可用塞瓦定理的逆定理来证明,但例题偏少且对这一方法的强调也不够,实际上,塞瓦定理的逆定理应是证明三线共点的首选工具之一,凡是具有这种图形或添加辅助线后可作出这种图形的题目,都可以考虑使用塞瓦定理的逆定理,成功率是很高的。     

塞瓦定理的推广及其应用

意大利数学家塞瓦(G.Ceva)在1678年发表了下面十分有用的定理:塞瓦定理.设X、Y、Z分别是三角形ABC三边BC、CA、AB上的点,如果直线Ax、ByOZ共点,则BX/XC·CY/YA·AZ/ZB=1逆定理.设X、Y、Z分别是三角形三边BC、CA、AB上的点,如果BX/XC·CY/YA·AZ/ZB=1那么直线AX、BY、CZ共点。我们可将塞瓦定理推广到四面体中。定理1设E、F、G、H、M、N分别是四面体ABCD     

谈谈空间塞瓦定理及其逆定理

在平面几何中 ,有著名的塞瓦定理及其逆定理 (见文 [1]中Ｐ .2 4 4～ 2 4 6) .文 [2 ]中定理 6- 16与文 [3]中定理分别给出了塞瓦定理在三维空间的两个推广 .在三维空间中 ,其实我们可以提出更贴近平面情形的空间塞瓦定理及其逆定理 .定理 1(空间塞瓦定理 )　设Ｐ是四面体Ａ1 Ａ2 Ａ3 Ａ4内任一点 ,平面ＡｉＡｊＰ(ｉ ,ｊ =1,2 ,3 ,4 ,ｉ≠ｊ)与棱ＡｉＡｊ的对棱ＡｋＡｓ 相交于点Ｄｋｓ(Ｄｋｓ与Ｄｓｋ表示同一点 ) ,则　 Ａ1 Ｄ1 2Ｄ1 2 Ａ2·Ａ2 Ｄ2 3Ｄ2 3 Ａ3·Ａ3 Ｄ31 Ｄ31 Ａ1=Ａ2 Ｄ2 3Ｄ2 3 Ａ3·Ａ3 Ｄ34Ｄ34Ａ4·Ａ4Ｄ42Ｄ42 Ａ…     

塞瓦定理与梅涅劳斯定理的联合推广

译注:该文引用了两个不难理解的新概念(广义欧氏平面(这是射影几何中的概念),与重心坐标),而使有关证明相当简洁,有关定理的结果及应用实例都很有启发性。塞瓦定理与梅涅劳斯定理在讨论诸线的共点与诸点的共线方面应用很广,其结果早已从三角形推广到多边形及空间图形。此外,这两个定理由于具有对偶性还可以相互导出。本文仅就三角形的情形给出一个推广,使     

塞瓦定理在n维空间的推广

本文将塞瓦定理推广到了n维空间,得到结论:A0A1…An为n维空间的单形,P为空间任一点(P不在A0,A1,…,An中的任意n个点所确定的超平面上,也不在过其中的任意n-1个顶点且与另外两个顶点所确定的直线平行的超平面上).那么各棱中点,过任意n-1个顶点与点P的超平面与对棱的交点,共2C2(n+1)个点,以及任意三顶点所确定的三角形所在平面与点P和其余顶点所确定的超平面的交点和三角形三个顶点连线的中点,总共(n(n+1)2/2个点在同一n维二次超曲面上.     

塞瓦定理在证题中的应用

塞瓦定理是解决“三线共点或互相平行问题的”,现行初中《几何》课本(第一册1983年11月第1版,第二册1984年10月第1版)中的有些问题,用塞瓦定理证明,不添辅助线,简单明了。有的问题,三条线段共点或互相平行同时存在,用塞瓦定理就能够一次完成这样的证明(如本文中的例3)。     

塞瓦与梅氏定理的空间推广

定理1 设P是四面体ABCD内一点,A′,B′,C′,D′分别为AP,BP,CP,DP与面BCD,CDA,DAB,ABC的交点。则有     

角元塞瓦定理及其应用(一)

塞瓦定理与梅涅劳斯定理是数学竞赛范围内的两个重要定理．近几年来，使用这两个定理证明的试题频频出现，因而，不会运用这两个定理证题的人是很难取得好成绩的．     

角元塞瓦定理及其应用(二)

（本讲适合高中）十年前，在数学竞赛中，证明平面几何中的三线共点问题时，首选的方法是同一法，行之有效的方法是同一法，用得最多的方法还是同一法．近几年来，同一法的老大地位已逐渐让位于塞瓦定理的逆定理，其中当然包括角元塞瓦定理的逆定理．下面给出角元塞瓦定理的逆定理．     

数学定理教学浅议

数学定理教学浅议丁秋红数学定理是数学教学中十分重要的内容。因为,定理是数学的“骨架”．它蕴含着丰富的数学思想方法,隐藏着知识的创造过程。定理的教学,最能培养学生的数学素养。所以,数学定理教学是教学的一个重要环节。下面以三垂线定理教学为例,谈谈定理教学...     

塞瓦定理和梅涅劳斯定理的一种向量证法

平面向量的一个主要应用是解决一些平面几何问题,塞瓦定理和梅涅劳斯定理是平面几何中的两个重要定理,人们自然想到如何利用平面向量的知识证明这两个定理,这里给出一种向量证法. 现将两个定理叙述如下: 塞瓦定理 如图1,设O是△ABC内任意一点,AO,BO,CO分别交对边于D,E,F,则 AF/FB· BD/DC · CE/EA=1.(1) 梅涅劳斯定理 如图1,设一直线与△ADC的边AC,AD及CD延长线分别交于E,O,B,则 AO/OD· DB/BC· CE/EA=1 (2) 为了证明定理,先给出一个简单的引理: 若→OA=λ→ OB+μ→ OC(λ,μ为常数),则A,B,C3点共线的充要条件是λ+μ=1.     

运用塞瓦定理证明一类等角中的等角问题

在几何证明题里有一类这样的习题,即题设中有两个角相等,结论中也有两个角相等;结论中两个相等的角在题设中两个相等的角之中且顶点都重合,这两对角分别在公共边的两侧．我们称之为等角中的等角．题中图形的两对等角象似“手足情深”的两对“双胞胎”兄弟．它给人以如此对称之美、和谐之美的感觉．作为一种欣赏,笔者运用塞瓦定理来证明这类习题．     

关于梅涅劳斯、塞瓦定理在平几中的应用

在平面几何的教学和初中数学竞赛的辅导中，往往会碰到一些几何题的解法或证明过程难而繁．缺少一些直观性的解题，证明方法．本文拟在中学数学教学大纲范围内用梅涅劳斯、塞瓦氏两定理来证明平面几何中的某些几何题，使证明过程化难为易．一些问题分析、思考更加直观形象，思路更为简单扼要，达到事半功倍之目的．     

塞瓦定理在证明三角形三线共点问题中的应用

塞瓦定理是平面几何中证明线共点问题的一个重要定理,利用它证明现行中学几何教材中有关三角形的几个三线共点问题时,不仅使此类问题的证法得到统一,而且证题思路简捷明快,对拓宽学生的知识面,提高证题技巧,培养能力都有一定的帮助,本文就此举例如下,以供参考。     

塞瓦三角形周长的大小

（数学问题333）设P是三角形ABC内的一点,直线AP、BP、CP与三边的交点分别为D、E、F,则三角形DEF叫做点P的塞瓦（Ceva）三角形．     

浅议《切线长定理》教学过程设计

教学过程中教师不仅要重视知识的结果,更要重视知识的形成过程,引导学生积极思考,感受、理解知识产生和发展的过程,培养学生独立思考和分析问题、解决问题的能力。