利用微积分证不等式的几例

随着近代数学的发展,不等式问题在数学中越来越占有重要的地位。不仅它本身能解决许多实际问题,而且还有助于解决其它的数学问题。在学习中不难发现,不等式的证明方法是较多的。本文想就不等式的证明,在微积分范围内给出几例。     

利用向量数理积解证不等式问题

由于向量具有几何和代数的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介．因此，它在研究其它许多问题时获得广泛的应用．根据｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜，当且仅当a和b同方向时，等号成立．应用这一性质解证一些具有和积结构的代数不等式，思路清晰，易于掌握．     

构造向量巧证不等式

向量是高中教材的新增内容 ,作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学后 ,给中学数学带来无限生机。笔者在阅读文 [1 ]发现 ,该文所举的各个例子 ,均可通过构造向量 ,利用向量不等式 :m·n≤ |m|·|n|( )轻松获证 ,显示了向量在证明不等式时的独特威力。例 1　已知a、b、c∈R ,且a +2b +3c=6,求证a2+2b2 +3c2 ≥ 6。证明　构造向量 :m =(a ,2b ,3c) ,n =( 1 ,2 ,3 ) ,由向量不等式 ( )得6=a +2b +3c≤a2 +2b2 +3c2 · 1 +2 +3 ,∴a2 +2b2 +3c2 ≥ 6。例 2　已知 :a、b∈R+ ,且a +b =1 ,求证(a +1a) 2 +(b +1b) 2 ≥2 52 。证明　构造…     

构造向量巧证不等式

现行高中新教材(试验修订本必修)中新增加了平面向量的内容,这大大拓宽了解题的思路与方法.构造向量,利用向量的有关性质证明(解)不等式,就是向量的典型应用,本文仅举数例说明,以期抛砖引玉.     

运用概率方法巧证不等式

不等式是数学分析中的重要内容,但是不等式的证明一般比较困难.本文运用概率的方法对一些不等式进行了巧妙地证明,并对这些不等式进行了进一步推广.     

巧选向量 妙证不等式

<正>在有些不等式的证明中,可巧用向量将复杂的问题简单化.兹例说如下.例1求证:a+b≤(a2+1)(1/2) (b2+1)(1/2)≤1/2(a2+b2)+1.分析根据向量模、数量积的代数特征考察不等式,是构造向量证明不等式的关键.证明设m=(a,1),n     

运用平面向量巧证不等式

平面向量引入高中课本以后,人们越来越体会到它的实用意义,它可以广泛地和其他知识联系在一起．如向量与函数;向量与三角;向量与圆锥曲线;向量与不等式等．本文仅以课本中的题目为主要实例,展示向量在不等式证明中的应用．     

活用向量工具 巧证不等式

在新教材向量部分的知识中,有一些向量不等式,例如:设 a,b 为两个非零向量,则有三角不等式:|a|-|b|≤|a±b|≤|a| |b|;数量积不等式:a·b≤|a·b|≤|a|·|b|和 |a|~2≥(a·b)~2/(|b|~2),当且仅当 a 与 b 共线(同向或反向)时,等号成立。我们可以借助这些向量不等式来解决一些具有相似结构特征的代数不等式问题,其中数量积的定义及其坐     

利用排序不等式法证分式不等式

众所周知,排序不等式 a_nb_n a_(n-1)b_(n-1) …… a_2b_2 a_1b_1≥a_nb_(in)) a_(n-1)b_(in-1) …… a_2b_(i2) a_1b_(i1)≥a_nb_1 a_(n-1)b_2 …… n_2b_(n-1) a_1b_n(其中,a_i,b_i∈R,i=1,2,…n,a_n≥a_(n-1)≥…≥a_1,b_n≥b_(n-1)≥…≥b_1,i_1,i_2,…i_n 是数码1,2,…n 的任意一个排列,当且仅当,a_n=a_(n-1)=…=a_2=a_1或 b_n=b_(n-1)=…=b_2=b_1时等号成立)在不等式的证明中有着十分广泛的应用.当所证不等式具有对称性时,不等式中各个字母     

构造向量巧证三元分式不等式

本文利用高中数学新教材中新增的重要内容向量,对中学数学期刊上的一些三元分式不等式给出简证、加强和推广。     

利用一次函数巧证不等式

在证明不等式的过程中，放缩有着极大的技巧性，有些和式不等式的证明可以利用构造函数的方法，将已知函数与一个一次函数比较，让它在某处的数值与一次函数相等，达到有效的证明．本文从近年来国内外数学竞赛中列举数例，以飨读者．[第一段]     

利用概率方法巧妙证明不等式

本文利用概率方法的简单性质证明某些不等式,旨在把概率知识与其他数学分支联系起来,从而拓宽解题思路,提高创新思维能力,显示出概率方法在应用上的广泛性和优越性,体现出数学的统一性.     

利用构图法巧证不等式

构图法不仅是一种重要的解题方法．而且也是一种重要的数学思想,由于其解法跨越了数学各分科知识的界限且有一定的灵活性．因此它在中学数学中占有重要的地位．     

利用几何法巧证不等式例说

我们知道，证明不等式的方法有多种多样。常见的方法有比较法、综合法、分析法、反证法和放缩法等，而且以代数方法见长。但有一些不等式存在着几何背景，可构造出相应的几何图形，利用相关的几何知识能巧妙地证明它成立。     

利用几何法巧证不等式例说

我们知道,证明不等式的方法有多种多样.常见的方法有比较法、综合法、分析法、反证法和放缩法等,而且以代数方法见长.但有一些不等式存在着几何背景,可构造出相应的几何图形,利用相关的几何知识能巧妙地证明它成立.     

巧证不等式几法

证明不等式的方法有多种,除了书本中要求掌握的,还有几种巧妙证明不等式的方法. 一、转换函数法