加强“变式”练习 减轻学生负担

目前初中数学教学,仍普遍存在着学生负担过重,思维训练尤其是创新思维训练没有充分重视的问题。笔者认为,要解决这一问题,主要途径之一应是通过“变式”练习,让学生在一题多解、一题多变中开阔思路,提高思维能力。一、形异实同型“变式”训练为了使学生对知识的本质加以认识,教师在教学中可构造一些形异实同的“变式”练习,强化知识。例:(1)已知x,y为实数,(x-1)2 y 3=0,求x,y的值。(2)已知x,y为实数,x2 2y y2-6x 10=0,求x,y。(3)已知a2 2 b-5=22a,求a-1a-1 6a 2b 1-6 b-6a的值。(4)已知a,b,c为△ABC的三边,且a2 b2 c2=ac bc ab,求证:以a,b…     

以“法”导学

课堂上教师布置了这样一道题:有自然数a、b,且a÷3=b,那么a、b的最大公约数是( ),最小公倍数是( )。学生中有的把最大公约数填为“b+3”,有的把最小公倍数填为“3a”或“ab”,有的知道应分别填“b”和“a”,但说不出道理。 如何使学生理解这道题的解法?这位老师的做法是:他先让学生反复审题,弄明白a÷3=b是一道含     

慎用韦达定理

有这样一道代数题:巳知a~2=7-3a,b~2=7-3b。求(b~2)/a (a~2)/b的值。 对于这道题,一般同学是这样解的:由条件可知a,b是方程 x~2 3x-7=0的两根,故由韦达定理得a b=-3或ab=-7。所以,(b~2)/a (a~2)/b=(a~3 b~3)/ab     

创新求值题

近年各地中考和竞赛中都涌现出不少的设计新颖、灵活 ,富有创意的新型求值题 .主要有以下几类型 .一、开放型1.条件开放型求值题 :即代数式中字母可任意赋值的求值题 ,一般是先化简 ,再取适当值计算 .例 1　 ( 2 0 0 3年南通市中考题 )先化简代数式( a2 +b2a2 - b2 - a - ba +b)÷ 2 ab( a - b) ( a +b) 2 ,然后请你自取一组 a,b的值代入求值 .(所取 a,b的值要保证原代数式有意义 ) .解 :逆用平方差公式化简得 :原式 =a2 +b2 - ( a - b) 2( a +b) ( a - b) .( a - b) ( a +b) 22 ab =a +b,只要取 a≠ b且 a≠ - b的 a,b值代入均可 ,如取 a= …     

代数式最值的求法

求代数式的最大值及最小值是初中考试中经常出现的题目,它的解法灵活多样,不可一概而论,下面就初中阶段较常见的解法举例说明,以便同学们复习参考.一、配方法例1设a、b为实数,那么a2+ab+b2-a-2b的最小值是___.解:a2+ab+b2-a-26=a2+(b-1)a+b2-2b=(a+b-1/2)2+3/4(b-1)2-1因为(a+b-1/2)2≥0,3/4(b-1)2≥0,     

巧解代数题四法

巧解,就是指思路巧,解法简捷、新颖。学会巧解,对于开拓思路,训练思维有极大好处。本文列举数例,简析巧解代数题的一些方法,供大家参考。 一、巧用“a+b≥(ab)~(1/2)”解方程组 不等式a+b≥(ab)~(1/2)(a>0,b>0),在解题中有着广泛的应用,解方程组只是其应用的一个方面。     

以“司法”导学

一位老师在课上布置了这样一道题:自然数a、b,且a÷3=b,那么a、b的最大公约数是( ),最小公倍数是( )。学生有的把最大公约数填为“b+3”,有的把最小公倍数填为“3a”或“ab”,有的虽然知道应分别填“b”和“a”,但都说不清为什么。 如何使学生弄清这个问题,这位老师的做法是: 他让学生反复读题,理解题意,加深印象:这是一道含有字母的除法算式,算式中的字母代表的是被     

巧用代入法 妙求分式值

一、化简代入技巧例1先化简,再求值。ba-b·a3+ab2-2a2bb3÷b2-a2ab+b2,其中a=23,b=-3。解:待求式=ba-b·a(a-b)2b3·b(b-a)=-ab=-23÷(-3)=29。二、求值代入技巧例2已知a(a-2)-(a2-2b)=-4,则a2+b22-ab=。解:∵a(a-2)-(a2-2b)=-4,∴a2-2a-a2+2b=-4,∴-2(a-b)=-4,a-b=2,故a2+b22-ab=(a-b)22=222=2。三、换元代入技巧例3如果x:y:z=1:3:5,那么x+3y-zx-3y+z=。23,则。解:设x=k,y=3k,z=5k,则x+3y-zx-3y+z=k+9k-5kk-9k+5k=5k-3k=-53。四、和积代入技巧例4已知x=樤3+樤2,y=樤3-樤2,试求2xyx2-y2+xx+y-yy-x的值。解:由题设得,x+y=2樤3,x-y=2樤2,xy=1…     

剖析求直线方程时的“漏解”现象

一部分同学在求直线方程时,由于对直线方程几种形式适用范围认识不清,有的是做题方法不当.经常会出现“漏解”现象.现举几例,进行剖析,希望大家从中汲取教训、澄清概念. 1.使用直线方程的截距式常导致漏解例1 求过点P(2,3),并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 错解:设所求直线方程为x/a+y/b=1. 依题知a=b,且P(2,3)在直线上,代入得: 2/a+3/a=1,因此,a=5,b=5. 所求直线方程为x+y=5. 剖析:直线方程的截距式x/a+y/b=1只适用于ab≠0的形式.     

转化思想在解数学题中的应用

一、等式与不等式的转化例1若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是______.分析为了求ab的取值范围,只要将原等式转化为不等式即可.解运用不等式a+b≥2ab姨,原等式可化为不等式.∵ab=a+b+3≥2ab姨+3,∴ab-2ab姨-3≥0.又ab姨>0,∴ab姨≥3,即ab≥9.例2已知不等式a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c,求正整数a,b,c.分析本题所给的是不等式,而求的是a,b,c,故应将原不等式转化为3个等式,才能解决问题.解∵不等式的两边是整数,∴将a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c配方得(a-b2)2+3(b2-1)2+(c-1)2≤0.则有a-b2=0,b2-1=0,c-1=0,∴原不等式有唯一的一组解a=1,b=2,c=1.二、常…     

巧用代换快速解题

代换是数学解题中经常运用的一种手段,而如何代换,是要讲究方法的。本文结合例子,说明怎样利用代换技巧,实现快速解题。例1:已知ab=1,求11+a2+11+b2的值。解:∵ab=1∴1=ab∴11+a2+11+b2=abab+a2+abab+b2=bb+a+aa+b=1。例2:实数a、b满足ab=1,设M=1a+1+1b+1,N=aa+1+bb+1,则M、N的关系为()。A.M>NB.M=NC.M相似文献   

构造完全平方式 解数学竞赛试题

完全平方式a2±2ab+b2具有非负性,利用这一特性,能够解决许多疑难问题.现以竞赛试题为例,进行分类介绍.一、构造完全平方式,求代数式的值例1　(第八届“希望杯”数学邀请赛初二第一试试题)已知a=-2000,b=1997,c=-1995,那么a2+b2+c2+ab+bc-ac的值是.解:原式=12[(a2+2ab+b2)+(b2+2bc+c2)+(a2-2ac+c2)]=12[(a+b)2+(b+c)2+(a-c)2].当a=-2000,b=1997,c=-1995时,a+b=-3,b+c=2,a-c=-5,∴原式=12[(-3)2+22+(-5)2]=19.评注:本题是求代数式值的问题.若直接代入计算很繁琐,而采用构造完全平方式的方法,就简便多了.二、构造完全平方式,解不定方程例2　(…     

和差代换技巧及其妙用

例 1.已知 a2 b2 =6 ab且 a>b>0 ,则 a ba- b=。 (2 0 0 1年北京市中学生数学竞赛初二决赛题 )解 :设 a=x y,b=x- y,则将其代入 a2 b2 =6 ab中 ,得 (x y) 2 (x- y) 2 =6 (x y) (x- y)展开括号 ,化简整理得 4 x2 =8y2。而 a>b>0 ,∴ x>y>0 ,∴ x2y2 =2 ,∴ xy=2 ,另 a b=2 x,a- b=2 y,因此 a ba- b=2 x2 y=xy=2。二、求最值范围例 2 .已知实数 a、b满足 a2 ab b2 =1,且 t=ab- a2 - b2 ,那么 t的取值范围是。 (2 0 0 1年 TI杯全国初中数学竞赛 A卷试题 )解 :设 a=x y,b==x- y,代入已知式得(x y) 2 (x y) (x- y) (x- y…     

警惕“陷阱”谨慎解题

在中考数学命题中,命题者为了考查学生对所掌握的知识的灵活运用能力,常常故设“陷阱”.学生解题时,如果审题不严、思考不周就会误入“陷阱”.本文对求解中考“陷阱”题的一些方法进行归纳总结,供同学们学习参考.一、理解概念,越过“陷阱”命题者往往围绕数学概念设置“陷阱”,只要我们透彻理解了课本中的每个数学概念,就能灵活运用,越过“陷阱”.　例1　若二次根式a+b9a和a+8b是同类二次根式,则ab的值是　　　　.本题“陷阱”设在a+b9a不是最简二次根式.解　∵a+b=2,∴a+b9a=3a+ba.由同类二次根式的定义知a+b=2,a=a+8b.解得a=2,b=0.∴ab=2…     

构造方程时要三注意

贵刊1990年第五期《方程组的解法及其应用》一文中的例5及其解法是: 若a、b为实数,且a~2+3a+1=0,b~2+3b+1=0,求b/a+a/b的值。(1987年泉州市初二双基邀请赛题) 解:由已知及方程根的定义可知,a、b是方程x~2+3x+1=0的两根,由韦达定理得a+b=-3,ab=1,∴b/a+a/b=(a~2+b~2)/ab=((a+b)~2-2ab)/ab     

把握整体,灵活解题

在解决有些问题的过程中,我们往往不知不觉地把注意力集中在一个局部上,甚至被一些假象迷惑,因而迷失了解题的方向,如能全面地观察、分析整体与局部、整体与结构的关系,则可把握问题的实质,灵活解题,现介绍几种方法如下:一、整体代入例1 巳知a、b、c为不等于零的实数,且a+b+c=0,则a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)的值为__.(1999年山东省初中数学赛题)解:求值式=a+b+c/a+a+b+c/b+a+b+c/c-3=-3二、整体换元例 2 已知实数a、b满足a2+ab+b2=1,求a2-ab+b2的取值范围.(1998年黄冈市初中赛题)解:设a2-ab+b2=t,由a2+ab+b2=1,得     

巧用整体方法解条件求值题

给出条件的代数式求值问题是中考中的常见题型.解决这种问题的方法多姿多彩,“整体方法”是其中一道亮丽的风景.例1若xy=a,1x2+1y2=b(b>0),则(x+y)2的值为().A.b(ab-2)B.b(ab+2)C.a(ab-2)D.a(ab+2)分析先将条件式变形,再整体代入求值式求值.解b=1x2+1y2=x2+y2x2y2=(x+y)2-2xyx2y2=(x+y)2-2aa2,故(x+y)2=a2b+2a=a(ab+2).选D.例2已知a+b=-8,ab=6化简bba姨+aab姨=________.分析先将求值式变形,再把条件式整体代入求值,在变形过程要注意a<0,b<0.解原式=-baab姨-abab姨=-ab姨a2+b2ab=-ab姨(a+b)2-2abab=-6姨64-126=-2636姨.填-2636姨.例3已知x=…     

让学生成为研究者

荷兰数学家费赖登塔尔指出:“数学知识既不是教出来的,也不是学出来的,而是研究出来的。”教师采用“满堂灌”的传统模式来完成一堂课,学生学起来感觉乏味,更谈不上有兴趣,掌握知识的程度也就可想而知。改变这一局面,教师可以对每一章节的知识背景进行揭示,带领学生进行研究、探索,拓展学生的思维,启迪学生的智慧。例如在“二项式定理”的教学中,教师可设计许多问题来逐步达到猜想出公式的目的。提问:同学们是否还记得(a+b)2=?(a+b)3=?学生回答:(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3。再问:有谁能得出(a+b)100=?学生讨论热烈,这时教师可…     

“积化和差”公式应用两例

可逆性思维是一种重要的思维方式,在初中数学教学中,逆用公式是训练学生的可逆性思维的常用方法之一。如下的“积化和差”公式: ab=((a b)/2)~2-((a-b)/2)~2是逆用两数和与两数差的平方公式导出的一个结果,在解题中多有应用,兹解如下两道熟悉的成题以作欣赏: 例1 已知实数a、b、c满足关系:a=6-b,c~2=ab-9。求证:a=b。(1983年天津市初中数学竞赛题)     

一抽象函数习题的衍射性教学探究

《普通高中课程标准实验教科书数学1》96页练习11有这样一道题：已知f（x）=1g1-x/1＋x,a,b∈（-1,1）,求证f（a）＋f（b）=f（a＋b/1＋ab）.此题思路是分别将a,b代入f（x）中,将等式两边各自变形;采用的是“中间会合”技巧;考察的知识点是对数运算法则与它的应用,以及证明恒等式技巧．学生的解答过程如下：