有关正三角形的一个性质

问题 P为正三角形ABC内的一点,且PA=4,PB=2(1/3),PC=2,求正三角形ABC的边长。 由上述问题,本人想到将其推广到更一般情形:     

正三角形的一个共点线性质

正三角形具有许多有趣的几何性质．本文给出正三角形的一个共点线性质：     

正三角形内点的一个性质

命题 如图2,P是以a为边长的正△ABC内一点,P到A、B、C的距离分别为R_1、R_2、R_3,∠BPC=α,∠CPA=β,∠APB=γ。则 α~2=R_3~2 2R_1R_2sin(γ-30°),     

正三角形内一特殊点的一个性质

命题 如图,以a为边长的正△ABC内一点P到各顶点的距离分别是u、v、w,且     

正三角形的一个性质在空间的推广

文 [1]给出了有关正三角形的一个性质 :定理　设Ｐ为正三角形ＡＢＣ所在平面上的任意一点 ,且记ＡＢ =ＢＣ =ＣＡ =ａ ,ＰＡ =ｄ1 ,ＰＢ =ｄ2 ,ＰＣ =ｄ3 ,ｄ21 ｄ22 ｄ23 =ｕ ,ｄ21 ｄ22 ｄ22 ｄ23 ｄ23 ｄ21=ｖ ,则( 1)当Ｐ在正△ＡＢＣ内部或其边上时 ,ａ2 =ｕ 12ｖ - 3ｕ22 ;( 2 )当Ｐ在正△ＡＢＣ外部时 ,ａ2 =ｕ - 12ｖ - 3ｕ22 .(其中 12ｖ - 3ｕ2 ≥ 0 )将之推广到空间 ,我们得到如下图 1命题　设Ｐ为正四面体Ａ1 Ａ2 Ａ3 Ａ4所在空间任意一点 ,且记正四面体Ａ1 Ａ2 Ａ3 Ａ4的棱长为ａ ,ＰＡｉ=Ｒｉ (ｉ =1,2 ,3,4 ) ,∑4ｉ=1…     

正三角形性质补遗

<正>~~     

正三角形外接圆周上点的一个性质的应用

正三角形外接圆上任一点到三顶点的距离，其最长必等于较短二之和.(图1)(证明略)     

单位圆内接正三角形顶点坐标的一个性质

设A,B,C为单位圆x^2＋y^2=1上的三个点,且△ABC为正三角形,则可设A,B,C的坐标分别为A别为A（cos a,sin a）．B（cosβ,sin βC（cos γ sinγ,．若k为整数则有如下结论：     

正三角形的又一性质

正三角形的又一性质兰州师专温传校引理正三角形外接圆上的任一点到它的三顶点的连线段的平方和为一定值。已知：如图（１），ΔＡＢＣ是正三角形，Ｐ是它的外接圆⊙Ｏ上的任一点，⊙Ｏ的半径为Ｒ。求证：ＰＡ２＋ＰＢ２＋ＰＣ２为一定值。证明：连接并延长ＢＯ交ＡＣ于Ｄ...     

正三角形中的一个不等式

定理 设D、E、F分别是正要△ABC的边BC、CA、AB上的内点,△DEF、△AEF、△BDF、△CED的周长分别记为m_0,m_1,m_2,m_3。则: 1/m_1 1/m_2 1/m_3≥3/m_0 证明 在△AEF中,∠A=60°.由余弦定理有: EF~2=AE~2 AF~2-2AE·AF·cosA=AE~2 AF~2-AE·     

正三角形内任意一点的性质

正三角形内任意一点的性质○黄兴丰（江苏南通市天星湖中学２２６０１０）正三角形是最完美的三角形，它有许多优美的性质．那么，正三角形内任意一点是否也具有一些特殊的性质呢？性质１正三角形ＡＢＣ内任意一点Ｐ到各边的距离之和为一定值（等于该三角形之高ｈ）．性质...     

正三角形的两个有趣性质

<正>如图1,设△ABC为正三角形,P为其内部任一点,由P分别向三角形的三边作垂线,垂足分别是D、E、F,连PA、PB、PC,则△ABC被分成6个直角三角形,设这些直角三角形的内切圆半径依次为r1、r2、r3、r4、r5、r6,则有如下两个有趣结论:(1)AF+BD+CE=FB+DC+EA;(2)r1+r3+r5=r2+r4+r6.     

正三角形一个充要条件及其应用

一、充要条件设逆时针方向的三点Z_1,Z_2,Z_3分别与复数z_1,z_2,z_3对应,则Z_1,Z_2,Z_3是正三角形的顶点的充要条件是z_1+wz_2+w~2z_3=0。(其中w=cos(2π)/3+isin(2π)/3)。证:如图1所示,     

正三角形的一个最值问题

定理 设边长为a的正三角形内(或边上)任一点P到三顶点的距离分别为d_1,d_2,d_3。则 1/d_1 1/d_2 1/d_3≥(4 2/(3~(1/2)))·1/a。等号当且仅当P为正三角形一边上中点时成立。 为证上述定理,需用到以下两个引理。     

正三角形中的一个猜想的证明

<正>1问题的提出在△ABC中,三个内角A,B,C的对应边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列,a,b,c成等比数列,求证△ABC为等边三角形(高中《数学》选修2-2P85).这个命题不难证明,且反之亦然.于是便有了下面的定理1.定理1△ABC是正三角形的充要条件是△ABC的三个角成等差数列且对应的三条边成等比数列.若将三角形的角和边的关系作相应的交换,立     

叠合正三角形的两个有趣性质

如图1,把两个边长为1的全等正三角形叠合,使它们重复的部分是一个凸六边形ABCDEF,则有如下两个有趣性质：     

正三角形中的一个不等式及其推广

本文将给出正三角形中的一个新的不等式,并对它作一些推广. 定理 设D、E、F分别是正△ABC的边BC、CA、AB上的内点,△ABC、△AEF、△BDF、△CED的面积分别记为S、S_1、S_2、S_3.则 1/s_1 1/s_2 1/s_3≥12/S     

正三角形外接圆周上点的性质的推广

众所周知 ,正三角形外接圆上任一点到三顶点的距离 ,其最长者必等于较短二者之和。若将其推广到一般的三角形 ,则得 :定理　Ｐ是△ＡＢＣ外接圆上一点 ,Ｐ与Ｃ在ＡＢ的异侧 ,则ＰＢ·ｓｉｎＢ +ＰＡ·ｓｉｎＡ =ＰＣ·ｓｉｎＣ ,证明　连结ＰＡ、ＰＢ、ＰＣ ,由托勒密定理 :ＰＢ·ＡＣ +ＰＡ·ＢＣ =ＰＣ·ＡＢ。在△ＡＢＣ中 ,设它的外接圆半径为Ｒ ,由正弦定理得 :ＡＣ =2Ｒ·ｓｉｎＢ ,ＢＣ =2Ｒ·ｓｉｎＡ ,ＡＢ =2Ｒ·ｓｉｎＣ ,将它们代入上式得 :ＰＢ·ｓｉｎＢ +ＰＡ·ｓｉｎＡ =ＰＣ·ｓｉｎＣ。推论 1　如下左图 ,Ｐ是△ＡＢＣ外…     

正三角形内一特殊点的性质再探

文[1]指出: 命题 如图,以a为边长的正△ABC内一点P到各顶点的距离分别是u、v、w,且满足关系式u~2 v~2=w~2.则