概率问题中几种常见错误分析

一、不能正确判断与运用分步计数原理和分类计数原理例1甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有10个不同的题目,其中选择题6个,判断题4个,甲、乙二人依次各抽一题,问甲抽到选择题,乙抽到判断题的概率是多少?错解甲从选择题中抽到一题的可能结果有C61个,乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有C14个,故甲抽到选择题,乙依次抽到判断题的可能结果有C61+C41个,又甲,乙依次抽到一题的结果有C110+C91个,所以甲抽选择题,乙抽到判断题的概率为CC11610++CC1491=1190.分析把分步当作分类,错把分步计数原理当作分类计数原理来计算,正确的解法应是甲抽到选…     

对一道倍受争论概率题答案的再认识

先看人教版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-3,第59页习题2.2,B组第一题:甲、乙两选手比赛,假设每局比赛甲胜的概率为0.6,乙胜的概率为0.4,那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利?教师教学用书给出了这样的解答:每局比赛只有两个结果,甲获胜或乙获胜,每局比赛可以看成相互独立的,所以甲获胜的局数X是随机变量,X服从二项分布.（1）在采用3局2胜制中,X^B（3,0.6）,事件{z≥2}表示"甲获胜".所以甲获胜的概率为P（X≥2）=P（X=2）+P（X=3）=C₃²×0.6²×0.4+0.6³=0.648.（2）在采用5局3胜制中,X^B（5,0.6）,事件{X≥6}表示"甲获胜",所以甲获胜的概率为P（X≥3）=P（X=3）+P（X=4）+P（X=5）=C₅³×0.6³×0.4²+C₅⁴0.6⁴×0.4+0.6⁵=0.68256.可以看出在采用5局3胜制对甲更有利.长期以来,这个答案在教师与学生中引起了很大的争     

插空法的多种应用

<正>插空法是解决排列组合问题的一种重要方法,它有着多方面的应用.下面举例说明.类型1解决排列中的几个元素不相邻的问题例1含甲和乙的6个人排成一排,甲和乙不相邻的排法有多少种?分析先将甲和乙之外的四个人排列共有A_4⁴=24种排法,这时共有5个空(两边也为空);再将甲和乙分别插入这5个空中,共有5×4种插法,故排法种数为24×5×4=480.     

圆锥曲线问题中常见错误分析

一、圆锥曲线中常见问题1.不能灵活掌握圆锥曲线定义例1已知有一双曲线与x²/25+y²/16=1,且其虚轴长为4,有一点P₀,距左焦点为6,求该点距右焦点为多少.错解:用待定系数法设双曲线方程为x²/a²-y²/b²=1.易知椭圆焦点为F₁（3,0）,F₂（-3,0）,因此b=2,得a=23^1/3.因|PF₁-PF₂|=2a,得|8-PF₁i=43^1/2,得出PF₂=8-43^1/2或PF₂6+42^1/2剖析:解题过程中仅仅考虑到了取绝对值,但是因题目中给出了条件"P₀距离左焦点为6",因此可进一步判断结果有几个.正解:设双曲线方程为x²/a²-y²/b²=1,根据椭圆x²/25+y²/16=1可得焦点坐标为F₁（3,0）,F₂（-3,0）,因此b=23^1/2,假设P₀位于右曲线,取右曲线距离左焦点最小距离为23^1/2+3>6.因此可判断出P₀并不在右曲线上,只可能在左曲线上.求得结果为6+23^1/2.     

思维体操

<正>1.智力题大小狗龄有四只狗狗,它们分别是甲、乙、丙、丁,年龄从1⁴岁各不相同。现在它们遇到了一只花猫,花猫想知道它们各自的年龄。于是它们告诉花猫,它们说话有个规矩:如果一只狗狗说的是比它大的狗狗的话,则是假话;如果说的是比它小的话,则是真话。只见狗狗甲说:"狗狗乙有3岁。"狗狗丙说:"狗狗甲不是1岁。"那么,根据这些条件,花猫能算出这四只     

对一道解析几何高考题的探究

例题（2009年高考山东理科卷第22题）设椭圆E:（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a,b>0）过M(2,2^1/2),N(6^1/6,1)两点,O为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆E的方程.（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且（?）⊥     

对一道中考试题的研究

2019年呼和浩特市中考试卷中有这样一道选择题:若x1,x2是一元二次方程x²+x-3=0的两个实数根,则x₂³-4x₁²+17的值为().A.-2 B.6C.-4D.4这是一道新颖别致、值得玩味的好题,笔者对它产生了浓厚的兴趣,研究如下.     

用验证法解选择题

解物理选择题有许多种方法.其中,有一类选择题题干中提供的已知条件不足,不能直接由题干中提供的已知条件选出答案,解此类选择题的方法是:将题支中的结论作为已知条件,与题干中提供的已知条件一起,代入有关的公式进行一定的计算.最后求出的结果与题意相符合的,即是应选的答案. 例1甲、乙两种物质.它们的质量之比是3:1,吸收的热量之比是2:1,那么,甲、乙两种物质的比热容之比和升高的温度之比分别是: ( )     

组合恒等式的几种证明方法

<正>对于组合恒等式的证明无固定的方法,使得人们常感到无从下手,下面介绍证明组合恒等式的几种方法,供读者参考。一、构造组合模型例1求证:(C_n⁰)0)²+(C_n2+(C_n¹)1)²+…+(C_n2+…+(C_nⁿ)n)²=C_(2n)2=C_(2n)ⁿ。证明:设集合A={a_1,a_2,…,a_n},集合B={b_1,b_2,…,b_n}。选法一:从A∪B中的2n个不同元素中选取出n个元素的组合数为:C_(2n)n。证明:设集合A={a_1,a_2,…,a_n},集合B={b_1,b_2,…,b_n}。选法一:从A∪B中的2n个不同元素中选取出n个元素的组合数为:C_(2n)ⁿ。选法二:从A中取0个元素,从B中取n     

这是“循环论证”吗

1.问题与争论.某次初三调研试卷中有这样一道试题:知识回顾:在学习"二次根式"时,我们知道:2^1/2+3^1/2≠5^1/2;在学习"勾股定理"时,由于2^1/2、3^1/2、5^1/2满足等式(2^1/2)²+(3^1/2)²=(5^1/2)²,因此以2^1/2、3^1/2、5^1/2为边长的线段能构成直角三角形.     

用科学记数法如何表示100000

人教版义务教育教科书2012年6月第1版《数学》七年级上册,第45页"1.5.2科学记数法"一节,有一道例题如下:例5用科学记数法表示下列各数:1000 000,57 000 000,-123 000 000 000.解:1000000=10⁶,57000000=5.7×10⁷,-123000000000=-1.23×10¹¹.笔者认为,此处的"1000000=10⁶"是不妥的,用科学计数法表示应该是1000000=1×10⁶.原因有以下几点:1.书中科学记数法的定义:像上面这样,把一个     

2011爱沙尼亚国家队选拔题简证及推广

2011年爱沙尼亚国家队选拔考试第4题设a,b,c为正实数,满足2a²+b²=9c²,证明:（2c）/a+c/b≥3^1/2.侯典峰、郝明泉两位老师在文[1]中主要依据均值不等式,对该题给出了"三个简证".经过探求,笔者发现,借助权方和不等式证明该题,更显简洁.证明:由题设知a,b,c为正实数,满足2a²+b²     

学“实数”，你会出现这些错误吗?

例1 49的平方根是7.分析凡正数都有两个互为相反数的平方根,所以49的平方根是7和-7.例2 9^1/2=±3.分析9^1/2只表示9的算术平方根,等于3.例3 4^1/2的算术平方根是2.分析4^1/2=2.所以原题实际上就是求2的算术平方根,应该是2^1/2.     

2011年浙江高考数学理科卷填空题命制的缺憾剖析

今年浙江高考数学理科卷的填空题的命制缺憾颇多.1试题缺乏科学性第13题设二项式(x-a/x^1/2)⁶（a>0）的展开式中x³的系数为A,常数项为B.若B=4A,则a的值是_<sub><sub><sub>.根据浙江考试院提供的答案a=2.解由条件得A=C₆²a²,B=C₆⁴a⁴,由B=4A及a>0得a=2.以上推理过程中把"C₆⁴a⁴"当作展开式的常数     

用放缩法简证一道竞赛题

题目已知a,b,c≥0,且a+b+c=1,求证（a+1/4（b-c）²）^1/2+b^1/2+c^1/2≤3^1/2.（07年女子数学奥林匹克）分析所证不等式中（a+1/4（b-c）²）^1/2的出现,给解题增加了难度.如果由此入手,寻找问题突破口,就会发现"（a+1/4（b-c）²）^1/2"可以放大为"(a+1/2(b^1/2-c^1/2)²)^1/2",从而用放缩法求     

开动脑筋，难题不难

例1计算:(3^1/2+1)²⁰⁰⁵-2(3^1/2+1)²⁰⁰⁴- 2(3^1/2+1)²⁰⁰³+2005.分析式子前三项有公因式(3^1/2+1)²⁰⁰³,将其提出来,此题便可以轻而易举地解决了.     

两道IMO试题探秘

题1设x,y,z为非负实数,且x+y+z =1,则0≤xy+yz+zx-2xyz≤7/（27）.（第25届IMO）题2正实数a,b,c的和为1,求证:（ab）^5/4+（bc）^5/4+（ca）^5/4<1/4.（04年IMO中国国家队培训题）这两道题的形式、结构及其中的指数都不相同,从表面上看没有联系,然而,在本质上这两道题联系紧密.为了挖掘这两道题深层的联系,不妨先加强或推广这两道题.     

第十五讲 代数式(之4)

（4）两个自然数公式的导出下面我们再介绍与S₁相关的另外两个公式:1²+2²+3²+…+n²=（n（n+1）（2n+1））/6 1³+2³+3³+…+n³=[n（n+1）/2]²这就是从1开始的n个自然数的平方和.从1开始的n个自然数的立方和.将它们依次记作S₂,S₃.     

幂的大小比较四例

1.化为同底数后比较例1比较8⁴与4⁷的大小.分析由于两个幂的底数8和4都可以化为2,所以先把这两个幂化为同底数,得8⁴=（2³）⁴=2¹²,4⁷=（2²）⁷=2¹⁴.所以8⁴<4⁷.2.化为同指数后比较例2比较2³³与3²²的大小.分析由于两个幂的指数中,33是11的3     

2011～2015年高考生物试题及湖南省得分情况分析研究

对2011²015年湖南省高考生物学试题进行分析发现:试卷中的表格数每年固定为1个,插图数量逐年下降,实验与探究内容所占分值呈上升趋势,实验与探究试题的考查角度变化多样。根据对湖南省20112015年湖南省高考生物学试题进行分析发现:试卷中的表格数每年固定为1个,插图数量逐年下降,实验与探究内容所占分值呈上升趋势,实验与探究试题的考查角度变化多样。根据对湖南省2011²015年非选择题各题得分情况的统计分析发现,五年的非选择题平均难度系数为0.57,属于容易与一般之间的范围,每年的难度系数变化幅度相对较小,在0.542015年非选择题各题得分情况的统计分析发现,五年的非选择题平均难度系数为0.57,属于容易与一般之间的范围,每年的难度系数变化幅度相对较小,在0.54⁰.61之间。环境与稳态的内容不但分值分布高,而且得分更加容易;学生在做选修1内容的试题上得分更高。