与椭圆离心角相关的两个有趣性质

我们把椭圆x2/a2+y2/b2=1的参数方程｛x=acosθ y=bsinθ意一点P(acosθ,bsinθ)的离心角.本文介绍与椭圆的离心角相关的两个有趣性质供读者参考. 性质1 椭圆(或圆)x2/a2+y2/b2=1(a＞0,b＞0)的两条相交弦AB,CD的四个端点共圆的充要条件是这四个端点的离心角之和为周角的整数倍.     

一种求辐角主值的简便方法

求复数1+cosθ+isinθ(0<θ<π/2)的辐角主值的习题,很多同学见到这样的题,只能用三角公式去“凑”,若将符号进行一些变化,用这种方法不但很费时,而且也容易出错。下面介绍一种简便的方法,供参考。求复数Z=1+cosθ+isinθ(0<θ相似文献   

象限角教学点滴

在一次课堂练习中,学生对“已知角α终边上一点P(-4,3)求csc1/2α和tg1/2α”及“已知sinθ=-4/5,且θ为第四象限角,求ctg1/4θ”的值,普遍解法如下。 1.∵P(-4,3),∴α是第二象限角, ∵r=((-4)~2+3~2)~(1/2)=5, ∴cosα=-4/5 ∵1/2α是第一象限角。     

特殊角的三角函数值

在角θ的终边上任取一点M(x,y),设点M到原点的距离为r(r=(x2+y2)~(1/2)),其中四个比值叫做θ的三角函数:sinθ:y/r,cosθ=     

妙化齐次式 巧解三角题

化齐次式解三角题,别具风采。其基本方法是:根据一类三角问题的结构特征,将1代换成sin2α+cos2α,使非齐次式能转化为齐次式,再进行必要的代数运算(包括分解因式,等式两端或分子分母同除以某一三角式等),可使问题解决思路顺畅,方法巧妙;过程简明。如下以例说之。 一、求三角函数式的值例1 已知singθ+cosθ=1/5,θ∈(0,π),则cotθ的值是_。(1994年全国高考题)解:已知条件可化为2sinθ/2cosθ/2+cos2θ/2-     

2006年高中数学竞赛模拟试题

一、选择题(本题满分36分,每小题6分)1.将正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成一个直二面角,则异面直线 AB 和 CD 所成的角是( ).A.30° B.45° C.60° D.90°2.如果(1+sin~2θ)sinθ>(1+cos~2θ)cosθ,且θ∈(0,2π),那么角θ的取值范围是( ).A.(0,π/4) B.(π/2,(3π)/4) C.(π/4,(5π)/4) D.((5π)/4,2π)3.定义:离心率 e=(5~(1/2)-1)/2的椭圆为“黄金椭圆”.对于椭圆 E:x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0),如果 a,b,c 不是等     

以任意实数为条件的问题解法探讨

几乎所有的数学复习资料和习题集中,都有这样一类习题:“对于任意实数a,…”,“若…对于任意实代入上式得f(-x)=f(x). 故f(x)为奇函数. 例7.设a、b、A、B∈R,且 f(θ)=1-asinθ-bcosβ-Asin2θ-Bcos2θ, 若对于所有的实数θ恒有f(θ)≥0,求证: A~3+B~2≤1,a~2+b~2≤2. 证明,引入辅助角α、β,使得a/r=cosα,b/r=sina,A/R=cosβ,B/R=sinτ,其中r=(a~2+b~2)~(1/2),R=(A~2+B~2)~(1/2).则由f(θ)≥0得1-rsin(θ+α)-Rsin(2θ+β)≥0.(1) 由于(1)式对任何实数θ都成立,则对于π+θ也成立.即1-rsin(π+θ+α)-Rsin(2x+2θ+β)≥0. 即1+rsin(θ+α)-Rsin(2θ+β)≥0.(2) (1)+(2)得2-2Rsin(2θ+β)≥0.(3) 由于(3)式对任何实数日亦成立,则对于2θ+β=π/2也成立,即2—2R≥0. ∴ R≤1,即(A~2+B~2)≤1,故A~+B~2≤1. 用同样的方法可证a~2+b~2≤2(略). 四、求导法如果关于任意变量的解析式恒等于一个常数,就可以对这个恒等式两边求导,然后利用零解析式的特性求其他的条件变量. 例8.sin~2θ+sin~2(θ+α)+sin~2(θ+β)=3/2对任意的实数θ都成立,求α、β的值(0≤α<β≤π). 解:题设等式两边对口求导得 sin2θ+sin[2(θ+α)]+sin[2(θ+β)]≡0, 即(1+cos2α+cos2β)sin2θ+(sin2α+sin2β)cos2θ≡0, 由此得解得α=π/3,β=(2π)/3。     

巧构等比数列证明棣莫佛定理

棣莫佛定理是复数中的一个重要定理,高中代数课本第二册是用数学归纳法证明的。本文通过构造一个辅助等比数列,给出该定理的一个巧妙证法。 [棣莫佛定理]设n为自然数,r为正实数,i为虚数单位,则[r(cosθ+isinθ]~n=r~n(cosnθ+isinnθ)。证明:显然,只需证明(cosθ+isinθ)~n=cosnθ+isinnθ即可。令a_n=cosnθ+isinnθ,将n拆成(n-1)+1,并利用和角的正、余弦展开式易得:a_n=cosθ[cos(n-1)θ+isin(n-1)θ]+isinθ[cos(n-1)θ+isin(n-1)θ]=(cosθ     

三角难题 辩证转化

如果说解三角题头等重要的是变换,那么其次就是转化了.变换大都是三角式自身的恒等变换,而转化则是转移视角,有时甚至要脱离原来的题设情景,因此它的灵活性更强,要求联想力更丰富.所以,在解三角题时,一定要加强这方面的技能训练.下面分类例述.1.角与值的转化【例1】求f(θ)=1-2sinθ2cosθ2+1+2sinθ2cosθ2(-π2≤θ≤π2)的最值.解析:通常求三角函数值必须借助于角,但亦可将角转化为值(数式).比如本题可用三角函数的定义将角转化为坐标,同样求得其最值.设P(x,y)为θ2的终边上一点,显然有x2+y2=r2,则f(θ)=1-2·yr·xr+1+2·yr·xr=(xr-yr…     

从一道定值问题的解法谈起

[题] 从椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1的中心作三条两两互成2π/3角的半径r_1,r_2,r3,求证:1/r_1~2+1/r_2~2+1/r_3~2定值。证:将椭圆方程化为极坐标方程得ρ~(2)cos~(2)θ/a~(2)+ρ~(2)sin~(2)θ/b~(2)=1→1/ρ~(2)     

复数辐角的妙用

利用复数的辐角,不管在初等数学还是在高等数学中,都可以得到一些奇妙的结果;同时,也产生一种很好的方法,比如可以计算出实积分 (∫)x0ecosθcos(nθ-sinθ)dθ的值;也可以处理一类级数∞∑n=1arctan1/n2+n+1的收敛性问题.     

模相等的复数的差的辐角及应用

两个复数的和、差的辐角,课本中没有提及。本文要研究的是两个模相等的复数的差的辐角与各复数的辐角的关系,首先给一个定理。 定理 设模相等的两个非零复数z_1、z_2的辐角分别是θ_1、θ_2,z=θ_1-θ_2,辐角为θ。 (1)若cosθ_1-cosθ_2≠0,则tgθ=-ctg(1/2)(θ_1 θ_2)     

用整体思想求解三角函数题

在进行三角函数求解时,运用基本公式运算和三角变换,若将题设或结论视为整体,通过对这个整体结构的调节或转化,可使问题解答简洁,推进思维层次. 1.视复角的函数值为整体求解 例1 若θ∈[-π/12,π/12],则函数y=cos(π/4+θ)+sin2θ的最小值是(). (A)0(B)1 (C)9/8(D)3～(1/3)-1/2     

特殊角的三角函教值

在角θ的终边上任取一点M(x,y),设点M到原点的距离为r(r=√x2+y2),其中四个比值叫做θ的三角函数:sinθ=y/r,cosθ=x/r,tgθ=y/x,ctgθ=x/y,下面我们分别计算角θ=0°、15°、30°、45°、60°、90°的三角函数值.     

一个命题两种结果的问题

《高中数学竞赛培训教材》[1](高一)P107,第6题:“已知θ是第三象限角,且sin4θ+cos2θ=95,则sinθcosθ的值是().A.±!32B.!32C.-!32D.±13”.作为选择题,作者的本意是不用计算的:∵θ是第三象限角,∴sinθcosθ>0,排除A、C、D,选B.但一些同学计算的结果是23,这是怎么回事呢?方法一:由sin4θ+cos2θ=95,得:sin2θ(1-cos2θ)+cos2θ=95,∴sin2θ+cos2θ-sin2θcos2θ=59,∴sin2θcos2θ=94,∴sinθcosθ=±32,∵θ是第三象限角,∴sinθcosθ=32.看来同学们做对了(命题人也希望这样做).再看下面的解法:方法二:由sin4θ+cos2θ=95,∴sin4…     

用“待定常数法”求最值几例

[例1]:求函数y=sinθ(1+2cosθ)的最大值。解:不妨限制0≤θ≤π/2,于是: y=sinθ(1+2cosθ)A为待定正常数1/A (Asinθ)(1+2cosθ)     

高考中的辐角

辐角是复数中个重要的概念,也一直是高考中频繁考查的内容之一,与代数、三角、几何都有着密切的联系,能比较好地考查学生的综合能力.求解时所用方法也很基本.常用的方法:(1)若θ是复数z=a+bi(a,6∈R)的辐角,则tanθ=b/a(a≠O),且θ与点(a,b)所在象限一致(或     

一道高考题的解法探究

题目:(2013年全国新课标Ⅰ卷文16题)设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则.解法1:利用辅助角公式辅助角公式:asinθ+bcosθ=     

辅助角公式在高考三角题中的应用

对于形如y=asinx+bcosx的三角式,可变形如下:y=asinx+bcosx=a2+b2(sinx·a22+cosx·b a2+b2).由于上式中的aa2+b2与ba2+b2的平方和为1,故可记aa2+b2=cosθ,ba2+b2=sinθ,则y=a2+b2(sinxcosθ+cosxsinθ)=a2+b2sin(x+θ).由此我们得到结论:asinx+bcosx=a2+b2sin(x+θ),()其中θ由aa2+b2=cosθ,ba2+b2=sinθ来确定.通常称式子()为辅助角公式.它可以将多个三角式的函数问题,最终化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式.下面结合近年高考三角题,就辅助角公式的应用,举例分类简析.一、求周期例1(2006年上海卷选)求函数y=2cos(x+π4)cos(x-π4)+3sin2x的最小…     

涉及三等分角线的又一定理

莫勒定理是涉及三等分角线的著名定理,类比三角形的内心与旁心,可得到一个令人吃惊而又全然意外的结论: 定理如图,设AE和AF,BD和BF,CD和CE分别是∠A,∠QBC,∠PCB的三等分线,则△DEF是正三角形,且其边长为8RsinA/3sin(60°-B/3)sin(60°-C/3),其中R为△ABC的外接圆半径。证明:需引入下列两个三角恒等式: (1)sinθ =4sinθ/3sin(60°-θ/3)sin(60°+θ/3). (2)sin~2α+sin~2β十2sinαsinβcos(α+β) =sin~2(α+β). 在△BCD中,由正弦定理得