导数视角下构造函数证明不等式的解题策略

<正>现行高中数学教材中,导数已成为研究函数性质的一种重要工具.在新课程背景下,不等式的证明已大幅度降低要求,但是不等式证明中蕴含着丰富的数学思想与数学方法,各类考试特别是高考压轴题位置依然会出现不等式证明问题.只是用纯不等式的方法解决不等式证明已不多见,一般情况都需要利用转化与化归思想,转化为函数,进而通过求导,进一步转化为函数的单调性、极值、最     

数列解答题的常见题型分析

题型一:有关数列与不等式的证明问题解题策略:(1)作差比较法.要证明a>b(a0(a-b<0).(2)综合法.从已知条件出发,依据不等式的性质和已证明过的不等式,推导出所要证明的不等式成立.     

数列解答题的常见题型分析

题型一：有关数列与不等式的证明问题 解题策略：（1）作差比较法．要证明a〉b（a〈b）,只要证明a-b〉0（a-b〈0）．（2）综合法．从已知条件出发,依据不等式的性质和已证明过的不等式,推导出所要证明的不等式成立．（3）分析法．从欲证的不等式出发。逐步分析使该不等式成立的充分条件,直到所需条件已判断为正确时,从而断定原不等式成立．（4）放缩法．主要是通过分母和分子的扩大或缩小、项数的增加或减少等手段达到证明的目的．     

通过构造“零件不等式”证明不等式

不等式的证明已成为各类数学竞赛命题的热门内容之一,证明不等式有很多方法和技巧。本文介绍一种证明对称不等式的方法：先构造若干形式较简单的不等式,再将它们累加（或累积）即得所证不等式．这好比工业上制造复杂机器,先制造出零件,然后将它们组装便成了人们所需要的机器。因此,我们把先构造出的简单不等式称为“零件不等式”,把这种证明不等式的方法称为“构造零件不等式法”。下面,我们通过范例来说明如何用“构造零件不等式法”来证明对称不等式。     

凸函数与 Jonson不等式的用法

论述了不等式证明中的重要问题之一,利用已成立的不等式证明不等式的问题.在运用Jonson不等式证明有关不等式的问题时,结合凸函数的特征性,通过构造一个上(下)凸函数,并使用Jonson不等式完成对问题的证明,实例证明,利用此方法可达到简化不等式证明的目的,有事半功倍的效果.     

分布式不等式的又一证法

关于分式不等式的证明,人们已总结了不少方法.本文利用柯西(Cauchy)不等式的一种变式再给出一种证法,这种证法常被人们所忽视,然而它在证明一类分式不等式时却十分奏效,现介绍如下,以供参考.     

放缩法证明不等式的几种途径

不等式在中学数学中占有重要的位置,是历年高考的重点内容之一。不等式的证明既是重点又是难点,用放缩法证明不等式又是证明不等式的各种方法中较难把握的一种方法。     

构造函数证明不等式

在不等式的证明中,常遇到一些问题,看似简单,但却很难找到突破口,这时我们不妨从不等式的结构出发,在已学习过的知识基础上进行联想,构造一个与不等式相关的函数模型,将问题转化,从而使不等式得到证明.一、构造一次函数例1设a、b、c∈R,且它们的绝对值不大于1,求证ab bc ca 1≥     

不等式的解法与证明

在高考中,不等式主要考查两个方面的知识:一是解不等式,二是证明不等式．从题型看,有关不等式的试题多年来文、理科各是一道选择题、一道解答题;而文科题多以解不等式为主,理科多以证明不等式为主．一不等式的证明     

一题多解求解不等式问题

不等式是中学数学中最重要的内容之一,它作为重要的数学工具知识,渗透在各个数学分支中。不等式内容主要涉及不等式的性质、不等式的证明、不等式的解法等,不等式的证明和应用综合性强,解(证)法灵活,在求解不等式问题时,同学们要尝试一题多解、举一反三。一、证明不等式的方法丰富多样考试大纲要求了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法和放缩法。此外,证明不等式还有基本不等式法、换元法(三角换元、代数换元)、构造法(构造函数、构造图形)等。     

三角换元法解题模式——以全国高中数学联赛(预赛)题为例

<正>现行的高中数学课程标准已降低了对不等式的要求,且将不等式证明这一版块纳为理科选修内容(选修4—5).因此,大部分同学在高中阶段未能系统学习和掌握一些重要的不等式(如均值不等式,柯西不等式,排序不等式,伯努利不等式等)以及不等式证明的方法和技巧.一些数学优秀的高中生,有志于参加高校的自主选拔和各类数学竞赛考试,而这些考试中涉及不等式知识的试题较多且考查要求较高.那么,如何解决这个矛盾呢?考虑到三角函数是高中数学的基础内容,也是     

例谈化归思想在函数不等式证明中的应用

<正>在历年的高考中,关于函数不等式的证明是一个绕不开的话题.此类不等式证明思想宽广,方法多变,直接从正面处理往往较困难.若合理运用化归思想转换问题的表达形式,回归我们已熟悉的数学模型,可以化难为易,达到解决问题的目的.下面笔者以2018年新课标全国高考三套试卷函数不等式的证明题为例,探究、展示这类不等式证明中数学化归思想的运用,供参考.     

一个分式不等式的引申及应用

在文[1]中,作者通过变量代换,把一类分式不等式的分母化为单项式,进而利用均值不等式和适当的放缩证明不等式．在本文中,我们通过对一道常见习题的引申,给出了此类分式不等式的另外一种简洁证明．在文[2]中,有如下的范例：例已知a、b、x、y均为正实数且(a~2/x) (b~2/y)= 1,证明：x y≥(a b)~2(为方便引申,叙述已经过修改)．     

定积分在不等式上的应用

不等式的证明是中学教学的一个重要内容，同时也是一个数学难点。由于微积分部分内容逐步渗透到中学数学中，用定积分方法解决不等式证明已成为可能。     

权方和不等式在数学竞赛中的妙用

在数学竞赛中,不等式的证明经常出现,且形式多样,不过,许多竞赛试题满足权方和不等式这一特殊形式．本文利用权方和不等式去尝试解决这类不等式证明问题,得到了不等式证明的乐趣与熟记重要不等式的重要性,并收到了意想不到的效果．     

有关a~3+b~3+c~3≥3abc教学的一点建议

现行部编教材高中第三册不等式一章中,有不等式 a~3+b~3+c~3≥3abc 的证明的教学.除了书本中的原有证明方法之外,尚有几种证法,这已在某些刊物中发表过.这里推荐一种证明方法,特点是比较密切地结合教材内容,以供大家参考.证明方法分二步:第一步是把书中上一教时内容中的例5(第61页)略加修改而引用.即对已知正数     

利用构造图形证明不等式

在不等式的证明中,根据不等式的结构特点,构造图形,运用图形几何特征证明不等式,往往可以避免繁琐的计算,以达到证明不等式的目的.现提供几个例子,以供读者赏析.一、构造图形,用面积关系证明     

构造几何图形巧证不等式

<正>一些不等式的证明,看似简单,但却往往无从下手,很难找到切入点。这时我们不妨变换一下思维角度,从不等式的结构和特点出发,在已学过的知识的基础上进行广泛的联想,构造一个与不等式相关的几何模型,实现问题的转化,从而使不等式得到证明。下面通过举例加以说明。     

三个著名不等式的行列式证法

算术一平方平均（AM—QM）不等式、柯西（Cauchy）不等式、切比雪夫（Chebyshev）不等式在不等式证明中屡建奇功,是不等式证明中的三把利器.这些著名不等式的证明也是方法众多,各有千秋.本文利用行列式初步知识给出这三个著名不等式的新颖证法,供参考.1.算术-平方平均不等式     

恰当运用放缩法 巧证导数不等式

<正>放缩法是高中数学中一种重要的数学方法,尤其在证明不等式时经常用到.由于近几年数列不等式在高考中的难度要求降低,放缩法的应用重点也逐渐从证明数列不等式转移到导数压轴题中,尤其是在导数不等式证明中更是大放异彩.下面试举几例,以供大家参考.一、利用基本不等式放缩,化曲为直