确定函数单调性须慎选区间的端点

函数是数与形结合的纽带,通过对函数单调性的考查,可检验学生对相关函数性质的理解和掌握情况.纵观历年各省的中考数学试卷可以发现,根据函数图像或解析式确定函数单调增加或减小时,自变量变化范围的问题比比皆是,然而,各试卷相应的"参考答案"对自变量取值范围区间端点的处理却大都非常的"随意",自变量是否等于区间端点横坐标多是"随心所欲",笔者以为,这是不妥的.     

寻找必要条件 优化解题过程

<正>不等式的恒成立问题作为近年来高考的热点题型,是高三复习课不等式部分的重点内容.其中,不等式在某个定区间内恒成立是难点.对于这类问题,笔者发现学生热衷于"代区间端点"解决问题,殊不知"代端点"得到的条件只是原命题成立的必要条件,用来解题有失偏颇,很难得到正确答案.但是,是不是这样的解题过程就一无是处呢?正所谓     

“等”是“不等”的分界点

从表面上看,“等”和“不等”是对立的,但如果着眼于“等”和“不等”的关系,会发现它们之间相互联系的另一面.解不等式的实践告诉我们,不等式的解区间的端点是它的相应等式(方程)的解或者是它的定义区间的端点(这里把+∞、-∞看作端点).也就是说“等”是“不等”的“分界点”,是“不     

函数的零点分布及取点问题探讨

<正>函数零点存在性定理的两个条件之一有界区间问题,要求解题过程在有解区间上注意代数论证的严谨性(若需要研究唯一性,我们还要通过单调性进一步论证).解决问题的关键在于区间端点的探求,这就离不开函数的放缩,需要我们熟悉常见的函数放缩不等式.其核心问题是如何用幂函数代替指数、对数及三角函数,或转化为同类型的函数求解有限端点值.解题时要注重解题策略的选取、     

探源函数单调区间的开闭

<正>如果函数f(x)在区间端点有定义,那么函数f(x)的单调区间是否包含端点呢?教学中,针对这一问题有三种观点:一是能闭则闭,理由是函数的单调区间与函数在区间上单调不同,单调区间应该取最大区间;二是可开可闭,理由是端点对单调性没有影响,为避免重复,一般让端点值只出现一次;三是一律用开区间,理由是按函数单调性的分析定义,由导函数在某一区间内的正负,来定义该区间是函数的单增或单减区间,不能包括使导函数值为0的点.例如,对于函数f(x)=x²,按第一种观点,单增区间为[0,+∞),单减区间为(-∞,     

例谈以根的分布为题设的线性规划问题

由2007年高考全国卷Ⅱ(文)第22题看出,我们可以构造一类函数与线性规划的交汇题——以根的分布为题设的线性规划问题.这是因为函数f(x)=ax~2 bx c在区间端点的函数值f(x)是讨论一元二次方程ax~2 bx c=0(a>0)区间根的重要参数.由于f(k)是关于a、b、c的一次表达式,这就为构造以一元二次方程根的分布为题设的线性规划问题创造了条件,同时也符合高考在知识网络的交汇     

确定一类函数零点所在区间的端点的方法

以近六年高考数学试题为例,例析一类函数零点所在区间端点是变量,分析确定这类函数在该区间端点对应函数值的符号问题.     

关于幂级数在收敛区间端点的敛散性问题

作者讨论了幂级数收敛区间端点的敛散性与幂级数和函数的分析性质以及一致收敛性的联系,并给出级数在收敛区间端点收敛的两个判别方法。     

用"两点法"优解函数与导数综合问题

函数与导数综合问题是历年数学高考的热点与难点.通过研究"两点"即函数在区间端点和极值点的函数值,可优解函数与导数综合问题的高考压轴题.     

柯西中值定理的注记

柯西中值定理是数学中非常重要的定理之一,它被广泛的应用在相关数学问题的证明当中。柯西中值定理认为,两个不同的函数在相关条件满足的情况下,存在一个点ξ,使得这两个函数在该点处的导数之比等于其在区间端点函数值的差之比。但是柯西中值定理并没有明确给出计算点ξ的方法以及相关极限和导数的求法。本文将柯西中值定理中的ξ看作是定义区间端点的函数,通过一系列的推导过程,给出了ξ的函数表达式,并求出了ξ在区间端点处的一、二阶导数值以及θ在区间端点处的极限和导数,为解柯西中值定理中ξ值的相关问题提供了新的思路和角度.     

关于｜f（x1）-f（x2）｜〈｜x1-x2｜（或〉）恒成立问题的再思考

文[1]通过证明,给出了不等式｜f（x1）-f（x2）｜〈｜x1-x2｜（或〉）恒成立问题的导数解法,提出“必须检验所得范围中区间端点是否符合题意”的做法．受文[1]启发,一个自然的问题是：为什么有些问题中端点取不到,有些问题中端点取得到,取得到时对应切线的切点在函数图像的什么地方,有没有规律？本文在文[1]的基础上进一步探究．     

巧求函数单调区间

我们在研究函数单调性问题时,通常都是讨论函数在给定区间上的增减性,课本上很少介绍给定函数后如何求函数的单调区间,从而在考试中若出现求函数的单调区间的题型,学生们感到很棘手,出错的机率比较高。我在多年的教学中,探索出一种求函数的单调区间的方法,而在求函数单调区间时,关键是找出区间的端点,下面通过例题可知此法的妙用所在,使学生很容易掌握求函数的单调区间。     

关于幂级数逐项积分、逐项求导的两个例子

通过例子说明,存在幂级数,通过有限次积分无法使收敛区间的端点由发散点变为收敛点;存在幂级数,通过有限次求导无法使收敛区间的端点由收敛点变为发散点.     

Newton-Leibniz公式的推广

将Newton—Leibniz公式进行推广,使其既可用于计算区间[a,b]上连续函数f(x)的定积分∫_a~bf(x)dx,也可用于f(x)在[a,b]上有有限个间断点(可以是区间端点,也可以是内部的点,包括无穷间断点)的情形。     

判别式J龇用一览

注用判别式求函数的值域是一种常用的方法,但在变形过程中一定要等价,要考虑原函数的定义域,否则会出现错误．另外还要注意判别式存在的前提,二次项系数不为零,函数的定义域一定为R,还要检验区间端点是否符合题意．     

寻找必要条件 优化解题过程

不等式的恒成立问题作为近年来高考的热点题型,是高三复习课不等式部分的重点内容．其中,不等式在某个定区间内恒成立是难点．对于这类问题,笔者发现学生热衷于“代区间端点”解决问题,殊不知“代端点”得到的条件只是原命题成立的必要条件,     

物理题解中的区间值

某些物理问题的解不是一个确定的值,而是某一个范围的数值,这样就出现了区间值.通常,能得出区间值的解以不等式出现,在具体解答这些问题时,往往是先求出它的区间值的两个端点值,即极值,从而来确定它的区间.区间值的端点又往往相应于物理现象的临界状态,在这个状态上,物理现象发生了飞跃式的突变.下面就两道例题谈谈有关这类问题的解法.     

估算方法的探究与思考——以2018年高考浙江卷第22题为例

在很多高考函数题的分析过程中,估算零点的所在区间,端点效应和端点分析是必不可少的预处理.本文以2018年高考浙江卷第22题为例,深入思考研究估算、取点问题,引进高等数学中的极限思想,"阶"的概念,给出了一般性的方法,为师生解决函数问题提供了一种新的思考方向.     

函数区间最值的类型与解法

含参数问题的最值是高考命题的热点,往往以压轴题出现,导数是解决这类问题的有力武器．用导数解决问题的步骤是先构造适当的函数,对函数求导,判断函数在区间上的单调性并求出极值点,而极值点与区间端点之一通常是函数的最值点．通常用作差（或商）法比较的极值点与区间端点对应函数值的大小,由于参数的变化,需要对参数进行分类讨论．下面分2种类型介绍函数区间最值的解法．     

幂级数收敛区间端点的敛散性

本文通过实例,利用级数的性质及各种常见的判别法.讨论了幂级数收敛区间端点的致散性.可作为教学参考.幂级数的收敛半经容易由柯西——哈德玛定理求出.要确定幂级数收敛域的难点在于判定收敛区间端点的敛散性.