承载函数压轴小题的两个新热点——x/e~x与lnx/x

<正>近年来,以"x/e^x"或"lnx/x"为载体的函数压轴小题频繁地出现在全国各地的高考或模拟试卷中,此类题目常以y=x/ex"或"lnx/x"为载体的函数压轴小题频繁地出现在全国各地的高考或模拟试卷中,此类题目常以y=x/e^x+k或y=lnx/x+k(k为常数)为背景函数,考查了一元二次方程根与系数的关系、导数、函数的单调性等知识和换元、对应、图形、配凑等意识.本文将对具体实例进行剖析,力求揭示此类试题的考查形式,探索它们的题型规律,透视其求解策     

以e~x与lnx为背景的函数不等式的证明

在近年的高考试题中,经常会出现以ex与ln x为背景的函数不等式的证明问题,而学生普遍感觉比较困难,下面对此类问题加以探讨,供读者参考.一、以ex为背景的函数不等式例1(2014年福建理科卷20题第(Ⅱ)问)证明:当x>0时,x2相似文献   

函数f(x)=lnx/x的性质及其应用

本文就函数f（x）=lnx/x（x〉0）的性质和图像及其应用进行探讨，以供参考．     

函数f(x)=lnx/x单调性的灵活应用

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以函数f(x)=lnx/x为背景的高考题赏析

<正>1试题例1(2013年江苏卷20)设函数f(x)=lnx-ax,g(x)=ex-ax,其中a为实数.(1)若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且g(x)在(1,+∞)上有最小值,求a的取值范围;(2)若g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数,试求f(x)的零点个数,并证明你的结论.例2(2014年湖北卷22)π为圆周率,e=2.71828……为自然对数的底数.     

基本函数模型的探究及应用——以函数f(x)=lnx/x为例

高中数学函数模块中主要介绍了四种基本函数,包括指数函数、对数函数、幂函数、三角函数.这些函数通过四则运算或复合运算构成新的函数,例如f(x)=lnx/x 就是其中一个重要的函数,本文对该函数的有关性质进行探究,并就相关性质的应用举例说明.     

探究一道以函数f(x)=lnx/x为背景的高考导数问题

熟悉函数f(x)=lnx/h(x)((h(x)=ax2+bx+c (a,b不能同时为0),h(x)≠0)的图像特征,做到对图1和图2中两个特殊函数lnx/x 的图像"心中有数". 本文以2021年全国甲卷理科21题为研究对象,问题的解决,要能够正确研究函数f(x)=lnx/x 的单调性和值域.     

函数y=(lnx)/x的单调性及其应用

<正>1函数y=lnx/x的单调性及其相应的结论用导数可证得:定理1(1)函数y=lnx/x在(0,e],[e,+∞)上分别是增函数、减函数(其图象如图1所示).(2)1当0b~a;3当0相似文献   

高考函数问题的四个新热点

“函数”是贯穿在中学数学中的一条主线,每年的高考对函数问题的考查是常考常新.尤其是“导数”和“向量”进入了中学数学教材之后,给函数问题注入了生机与活力,开辟了许多新的解题途径,拓宽了高考对函数问题的命题空间.下面例析高考函数问题的几个新热点.     

从函数f(x)=lnx的伴随切点性质说下去

拜读文[1],觉得对问题分析的深度略显不足,四个推论缺乏根本性的解释,为此笔者撰写此文,一为解决上述问题,二来也可作为对文[2]所探讨"伪二次函数"性质的一点点补充.1由来根据拉格朗日中值定理有:若A(a,lna),B(b,lnb)是函数f(x)=lnx图象上任意两点(不妨设a相似文献   

一道高考压轴小题的多解探究与反思

一、试题呈现(2020年全国Ⅲ卷理12)已知5⁵<8⁴,13⁴<8⁵,设a=log,b=log₅,c=log₁₃8,则().A.a相似文献   

高考圆锥曲线压轴小题的“数与形”

高考圆锥曲线压轴小题如何切题是一个难点,向来都注重 “数与形”的结合,但2015年浙江文科一道高考题改变了笔者 对高考小题的认识,本文试从这道题的解答开始,来探究高考 圆锥曲线小题的解法的思考方向,以便在高考复习时让学生取 得事半功倍的效果,不当之处,敬请各位指正。     

草图——求解函数小题的法宝

点评:遇到此类问题,不少考生一筹莫展,想不到画草图,借助图形解决问题,而只要一画图形,瞬间拨云见日、豁然开朗,一切尽在不言中。例2(2019年江苏卷理科第14题)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(%)的周期为4,g(x)的周期为2(x),且f(x)是奇函数。     

探究 变式 拓展 感悟——对一道高考压轴小题的解法探究与反思

<正>高考试题凝结了众多高考专家智慧的结晶,体现了高考命题理念.对一些高考典型试题深入探究、拓展,有助于发挥高考试题的导向和辐射作用,提高复习效率.题目(2012山东高考题)设函数f(x)=1x,g(x)=-x2+bx.若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是     

一个著名函数方程的两个新解法

本文对一个著名函数方程提供两个新的解法。第一个可以称为微分——积分法,而第二个是以函数的连续性为基础的连续性法。     

关于lnx的两个不等式在解高考压轴题中的应用

一、两个不等式的证明 定理1若z≥1,则lnx≤1/2（x-1/x）;若0〈z≤1,则lnx≥1/2（x-1/x）     

不等式“1-1/x≤lnx≤x-1”的妙用

在全国高考卷和各地高考模拟卷的压轴题中经常出现以函数或数列为背景考查不等式的证明题,难度较大,能全面地考查学生的数学思维能力.因此这类题是历年命题的热点,很多学生对此望而生畏.这类不等式常用的证明方法是运用导数或数学归纳法证明1.笔者发现不等式“1-1/x≤lnx≤x-1”等x四个重要结论在这类题中应用很广.本篇重点叙述运用四个重要结论证明的放缩技巧,供广大师生参考.     

关于∫10(lnx)2/1+x2dx的计算

通过构造两个辅助函数f(t)及φ(x),并分别将其展开为马克劳林级数及富里哀级数,在这两个级数各自收敛域内,当自变量t及x分别取某特定值时,得到同一级数,从而使这个积分问题得到了解决.     

对于求导公式“(lnx)′=1/x”证明的一点看法

十年制通用教材高中数学第四册第84页关于对数函数求导公式"(lnx)′=1/x"的证明中,讲到极限符号与对数符号为什么可以换序时是这样解释的:     

小题不妨大做——由两个教学设计引发的思考

在小学数学教学中直接将标准答案告诉学生固然简单省事,然而这样的教学仅仅是把学生充当被动接受知识的"容器",学生不仅失去探索的快乐,也无法掌握探索的方法,违背了数学课程标准所强调的"经历、体验、探索"等过程性目标.因此,在教学中要尊重学生主体探索的权利,有时"小题"不妨"大作".