关于圆滚动问题的探讨

关于圆在曲线上滚动的周数的争论,已有多篇论文见诸于国内中学数学杂志,但鲜见说明透彻且浅显易懂,能为学生接受的.本文给出一种浅显的解释.1圆在直线上滚动的问题图1众所周知,若半径为r的⊙O在直线l上自点A起滚动一周到点B,则AB=2πr.反之,若半径为r的⊙O在直线l上自点A滚动到点B,则当AB=2πr时,⊙O在l上正好滚动了1周,即2AπBr=1.(图1)一般地,若半径为r的⊙O在直线l上自点A滚到点B,设AB=a,则⊙O滚动的周数n=2aπr.此时圆心O平移到O′,设OO′=a′,则a′=a.所以⊙O滚动的周数n也等于2aπ′r.2圆在折线上滚动的问题(1)当半径为r的…     

内外有别——对圆内转圈问题的解答及反思

问题：⊙O的半径为R，有小圆A，其半径为r，小球A沿⊙O的内（外）壁滚动一周，回到原来位置时，小圆A要自转几圈？     

到底转了多少周?(初三)——关于课本一个“想一想”及其解答的争论

九年义务教材(人教版)初中《几何》第三册第189页的“想一想”题目如下:如图1,如果⊙O的周长为20πcm,⊙A、⊙B的周长都是4πcm,⊙A在⊙O内沿⊙O滚动,⊙B在⊙O外沿⊙O滚动.⊙B转动6周回到原来位置,而⊙A只需要转动4周就回到原来位置.想一想,为什么?     

何为转一周? 一道易误解的课本题的分歧点

九年义务教材初中《几何》第三册189页的“想一想”给出了这样一道题:如图1,如果⊙O 的周长为20πcm,⊙A、⊙B的周长都是4πcm,⊙A 在⊙O内沿⊙O滚动,⊙B 在⊙O 外沿⊙O 滚动.⊙B 转动6周回到原来位置,而⊙A只需转动4周就回到原来位置.想一想为什么?1996年使用该书以来,很多师生都认为这     

关于小圆自转的界定

爱因斯坦说,“提出一个问题比解决一个问题更重要.”小圆自转的问题来自九年义务教育三年制初中《几何》(人教版)第三册第189页“想一想”. 题目:如图1,如果⊙O的周长为20πcm,⊙A、⊙B周长都是4πcm,⊙A在⊙O内沿⊙O滚动,⊙B在⊙O外沿⊙O滚动,⊙B转动6周     

用代数方法确定空间圆的参数方程

一、基本事实设r1,r2为半径为R的⊙O1所在平面上(与⊙O1所在平面的法向量n正交的)的两个相互正交的单位向量,对于⊙O1上任一点P,若记θ为r1到O1P的转角(沿从r1到r2的转角为90°的方向),则:P与θ∈[0,2π]一一对应(将0与2π对应的同一点看成两个点),且O1P=R[(cosθ)r1 (sinθ)r2].对应于上述参数,圆周上的弧长微分为ds=Rdθ.二、几个圆周的参数方程以下利用上述事实,举例说明确定空间球面与平面的相交线圆周的参数方程的方法.1、曲线x2 y2 z2=R2x y z=k(|k|<3R)为一个圆,圆心为O1(k/3,k/3,k/3),半径为R2-k2/3,其所在的平面x y z=k上的…     

一道课本思考题再诠释

在我国现今的高等师范院校中,普通物理、理论力学两门课,是规定为学生的必修课的.但由于一些认识上的原因,从校方到学生,对这两门课都缺少应有的重视.常见一些大学毕业的数学教师,对物理问题的解决表现得非常无能为力.这决不是一个好现象!初中几何教科书(人教版)第三册P189在“想一想”栏目中有一道思考题,从实质上来说是理论力学之运动学的题目,难倒了不少数学教师,该思考题是:图1如图1,如果⊙O的周长为20πcm,⊙A、⊙B的周长都是4πcm.使⊙A在⊙O内沿⊙O滚动,⊙B在⊙O外沿⊙O滚动,⊙B转动6周回到了原来的位置,而⊙A只需转动4周就回到…     

赛题研究

题目如图1,⊙O1、⊙O2在⊙O内滚动且始终保持与⊙O内切,切点分别为P、Q,MN是⊙O1和⊙O2的外公切线．已知⊙O1、⊙O2、⊙O的半径分别为r1、r2、R．求证：MN2/PQ2为定值．     

源于一道课本习题的竞赛题

<正> 原题已知图1中各圆两两相切,⊙O的半径为2R,⊙O1、⊙O2的半径为R.求⊙O3的半径.易求得⊙O3的半径r=2/3R. 引申题如图2,大圆O的直径AB=acm,分别以OA、OB为直径作⊙O1和⊙O2,并在⊙O与⊙O1和⊙O2的     

一个数学问题的简证

问题:⊙O1、⊙O2内切于P,⊙O1的弦AB切⊙O2于C,设⊙O1、⊙O2的半径分别为R、r,求证:AACP22=RR-r.这个问题曾两次刊登于《数学通报》的“数学问题解答”栏目,分别是问题1436和问题1578,并分别由两位老师给出不同的证明方法,笔者通过研究发现,利用平行线分线段成比例这一性质和圆的切割线定理可巧妙地解决这一问题,现给出这一问题简证如下.证明:因为⊙O1、⊙O2内切于P,所以O1、O2、P三点共线,如图连结O1、O2、P三点,并延长使其与⊙O1、⊙O2分别相交于M、N,连结AP,设其与⊙O2交于点D.当A、D分别与M、N重合时,由圆的切割线定理得:AACP22=MMNP=2R-2r2R=RR-r.当A、D与M、N分别不重合时,连结DO2、AO1,所以∠DO2N=2∠DPN,∠AO1M=2∠APM,则∠DO2N=∠AO1M.所以DO2∥AO1,AADP=OO11OP2=R-rR.又由切割线定理得:AACP22=AADP=RR-r.综上所述,AC2AP2=RR-r.(责任编辑李闯)一个数学问题的简证@罗建宇$张家港市暨阳高级中学!江苏215600     

双圆n边形的一个几何性质

本文介绍双圆n边形的一个几何性质. 定理设O是双圆n边形A1A2…An的外心,r1,r2,…,rn(n≥3)分别为扇形A1OA2,A2OA3,…,AnOA1的内切圆半径,R为⊙O的半径,则 1/r1+1/r2+…1/rn≥n/R(1+cscπ/n)(1)     

圆盘滚动规律的探求

圆盘滚动的有关问题经常在数学竞赛中见到 ,那么 ,圆盘滚动有何规律呢 ?1　圆盘沿直线滚动我们知道 ,圆盘沿直线滚动 ,其圆心移动的路程等于圆盘周长时 ,圆盘正好自转一周 ,如图 1 ,即当OO1 =⊙O的周长时 ,⊙O自转一周 .图 1　　　　　　　　图 2问题 1　凸四边形ABCD的周长等于⊙O周长的 2倍 ,当⊙O从A点出发沿四边形滚动 ,⊙O自转几周才能回到出发点 ?答案是两周吗 ?因为⊙O此时不是沿直线滚动 ,所以不能轻易下此结论 .从图 2可以看出 ,一方面 ,⊙O从线段AB滚动到线段BC时要自转过一个角度 ,即∠B的外角 (因为∠O2 BO3=∠B的外…     

对一道课本习题的探讨

九年义务制教材初中《几何》第三册P189的“想一想”给出了这样一道题:如图(原图略),如果⊙O的周长为20πcm,⊙A和⊙B的周长都是4πcm,⊙OA在内沿⊙O滚动,⊙B在⊙O外沿⊙O滚动,⊙B转动6周回到原位置,而⊙A只需转动4周就回到原位置.想一想为什么?《数学通报》于1997年的第3期和第6期分别刊出《一道课本错题辨析》(以下简称文[1]和《《—道课本错题辨析》的辨析》(以下简称文[2])两篇文章,对原题及解答进行了辨析.文[1]认为原题与解答都是错的.文[2]侧通过学生动手做试验验证了原题是正确的.本人认为文[2]中的试验及解释和原题解答均没有对题中的“为什么”讲透彻.本文想运用中学生已具备的有关知识作出解答.     

一个数学问题的简证

问题：⊙O1、⊙O2内切于P，⊙O1的弦AB切⊙O2于C，设⊙O1、⊙O2的半径分别为R、r，求证：AC^2/AP^2=R-r/R。     

两圆相切的一个重要性质

本文介绍两个半径不相等的圆当它们内切或外切时的一个重要性质及其应用 .命题 1　设半径分别为 R,r(R>r)的两个圆内切于 T点 ,自大圆上任意一点 P向小圆作切线 (P与 T不重合 ) ,切点为 Q.那么PT=PQ RR- r.命题 2　设半径分别为 R,r(R>r)的两圆外切于点 T,自大圆上任意一点 P向小圆作切线 (P与 T不重合 ) ,切点为 Q.那么PT=PQ RR+r.1　命题 1的证明设半径分别为 R,r的两圆⊙O,⊙O1 内切于点 T,过大圆⊙O上任意一点 P作小圆⊙ O1 的切线 ,其切点为 Q(P≠ T) .连结 PT交⊙ O1 于 A点 ,再连结 O1 A和 OP.在△ O1 AT与△ OP…     

发现·归纳·探究·创新——一道中考压轴题引发的思考

一、中考试题:如图1,⊙O_1与⊙O_2外切于点A,BC是⊙O_1和⊙O_2的一条外公切线,B、C为切点.(1)求证:AB⊥AC;(2)若R、r分别为⊙O_1、⊙O_2的半径,且R=2r,求AB/AC的值.     

2006年全国中考数学新题集锦

有关圆选择题1.(临沂)如图,在Rt△ABC中,AC=5,BC=12,⊙O分别与边AB、AC相切,切点分别为E、C,则⊙O的半径是()。A.10/3B.16/3C.20/3D.23/32.(鄂州)如图,A是半径为1的⊙O外的一点,OA=2,AB是⊙O的切线,点B是切点,弦BC//OA,连结AC。则图中阴影部分面积等于()。A.π/6B.π/3c.π/2D.(π/3)-3～(1/2)π/3c.π/2D.(π/3)-3～(1/2)A.π/6B.π/3c.π/2D.(π/3)-3～(1/2)B.π/3c.π/2D.(π/3)-3～(1/2)连结AC。则图中阴影部分面积等于()。A.π/6B.π/3c.π/2D.(π/3)-3～(1/2)2006年全国中考数学新题集锦~~…     

九年级第一学期期末几何质量检测题

一、选择题(每小题3分,共30分)1.已知⊙O内一条弦把圆周分为3∶1的两段弧.若⊙O的半径为R,那么,这条弦长为().(A)2R(B)2R(C)R(D)25R2.在⊙O中,已知AB=2CD.那么,它们所对的弦的关系为().(A)AB>2CD(B)AB=2CD(C)AB<2CD(D)AB≥CD3.圆的弦长等于它的半径,那么,这条弦所对的圆周角的度数为().(A)30°(B)60°(C)150°(D)30°或150°4.AD、AC分别是⊙O的直径和弦,∠CAD=30°,OB⊥AD交AC于点B,OB=5.那么BC等于().(A)3(B)3 3(C)5-23(D)5图15.如图1,PA切⊙O于点A,PCB交⊙O于C、B,PA=4 2,PC=4.则AB∶AC等于().(A)2(B)…     

两圆的位置关系

说位明置:关系在图中,双向箭头上方表示“圆心距d对应的值或范围”,下方表示的就是“两圆的位置关系”·例如当d=0时(箭头上方所示d的值),同心圆(箭头下方所示的两圆位置关系);当d>R+r时(箭头上方所示d的范围),两圆外离(箭头下方所示的两圆位置关系)·应用举例(以2006年全国各省市中考题为例)一、判定例1(哈尔滨市)已知⊙O1与⊙O2半径的长是方程x2-7x+12=0的两根,且O1O2=12,则⊙O1与⊙O2的位置关系是()(A)相交(B)内切(C)内含(D)外切解析:此题综合考查一元二次方程的解法及两圆的位置关系的判断·解方程x2-7x+12=0得x1=3,x2=4·所以R-r=…     

错在哪里?(初三)

下面几道题的解答,都有错误,请你想一想,错在哪里? 1.已知两圆半径分别为R和r(R>r),圆心距为d,且R2+d2-r2>2Rd.试确定两圆的位置关系. 解因为R2+d2-r2>2Rd,所以R2-2Rd+d2>r2,即(R-d)2>r2,所以R-d>r, R-r>d,所以两圆内含. 2.⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,公共弦AB与连心线O1O2交于G,若AB=48,