利用均值代换解题例谈

利用均值代换解题例谈刘尊革（江苏沛县师范学校２２１６００）当ｎ个变量ｘｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ）的和为定值ａ时，可设ｘｉ＝ａｎ＋ｔｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ），其中ｔ１＋ｔ２＋…＋ｔｎ＝０，我们把这种代换叫做均值代换．均值代换将研究ｘｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ...     

初一数学能力测试

一、填空题（每空２分．共４０分） １．在 ３ｘ－４ｙ＋１＝０中，如果 ｘ＝５，那么 ｙ＝＿。 ２．不等式－２ｘ＋３＜０的解集是＿。 　　３．不等式组　　的整数解是＿。 ４．若方程ｘｍ－２－４ｙｎ－３是关于ｘ，ｙ的二元一次方程，则ｍ＝＿， ｎ ＝＿。 ５．十位上的数字为ａ，个位上的数字为ｂ的两位数是＿。 ６．轮船在静水中航行的速度为ａ千米／小时，水流的速度为ｂ千米／小时（ａ＞ｂ），则轮船顺水航行的速度为＿，逆水航行的速度为＿。 ７．（１）如果ａ＞０，ｂ＞０，那么ａｂ＿０，ａ＋ｂ＿０．ａ／ｂ＿０。 （２）如果ａ…     

均值不等式的“浅入深出”

本文试图利用常用又简洁的算术平均值与几何平均值之间的不等式作为一个知识的“平白”,既为“浅入深出”练习提供了一个“窗口”,也为部分技校、职高毕业生的继续深造提供了有用的“工具栏”和知识“菜单”． 均值不等式：ａ＞０、ｂ＞０,总有（ａ＋ｂ）／２≥　　,当且仅当ａ＝ｂ时,等号成立． 其推广式：　ａｉ＞０（ｉ＝１,２,…ｎ）,总有 （ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ）／ｎ≥　　　　当且仅当ａｉ相等时,等号成立． 不等式形式很简单,但应用广泛,内涵丰富,“浅入深出”是名符其实． 一、代数式的大小比较 此类问题在均值不等式…     

一个分式不等式

命题设ａ１＞ａ２＞…＞ａｍ＞０,０＜ｂ１≤ｂ２≤…≤ｂｍ,则 （ｎ∈Ｎ）引理１设ａ１≥ａ２≥…≥ａｍ＞０,０＜ｂ１≤ｂ２≤…≤ｂｍ,则（ａ１＋ａ２＋…＋ａｍ）ｎ,（ｎ∈Ｎ）ｍ（ａ１ｂ１＋ ａ２ｂ２＋…＋ａｍｂｍ）引理 ２设 ａ１, ａ２,…, ａｍ＞ ０,则ａｎ１＋ａｎ２＋…ａｎｍ≥ｍ１－ｎ（ａ１＋ａ２＋…＋ａｍ）ｎ,（ｎ∈Ｎ）引理１、２都易用数学归纳法证明,证略下面给出命题的证明．证明因为ａ１≥ａ２≥…≥ａｍ＞０,０＜ｂ１≤ｂ２≤…≤ｂｍ,所以然 （ｎ∈Ｎ）因此下面举例说明该命题在证明不等式时的应用．…     

两个非负定矩阵乘积的特征值的新估计

本文得出如下矩阵特征值的不等式：设Ａ，Ｂ为阶数ｎ的非负定的实矩阵，Ａ，Ｂ和ＡＢ的特征值分别为：λ＿１≥λ＿２≥……≥λ＿ｎ；μ＿１≥μ＿２≥…≥μ＿ｎ和θ＿１≥θ＿２≥……≥θ＿ｎ，则对任意正整数γ，均有：这是￣【２】中关于￣【１】中的公开问题的肯定回答的高次幕的情形。     

从一道习题的别解谈定法证题的教学价值

中《代数》（下册）（人教社,１９８７年１月第２版）３３页的第１１道复习参考题为：已知：ａ２１＋ａ２２＋ａ２３＋…＋ａ２ｎ＝１,ｘ２１＋ｘ２２＋ｘ２３＋…＋ｘ２ｎ＝１,求证：ａ１ｘ１＋ａ２ｘ２＋ａ３ｘ３＋…＋ａｎｘｎ≤１．该题连续运用基本不等式“２ａｂ...     

Rado不等式与Popovic不等式统一形式的加权推广及其演化

本对Ｒａｄｏ不等式与Ｐｏｐｏｖｉｃ不等式的统一形式＾「１」ｎ（Ａｎ－λＧｎ）≥ｎ－１）Ａｎ－１－ｎλ＾ｎ－１Ｇｎ－１作了加权推广，并进一步研究了加权算术平均值与加权调和平均值、加权几何平均值与加权调和平均值的相应形式的不等式，对「２」的主要结论进行了统一推广。     

一个不等式的变形应用

我们知道，对于任意的ａＲ＋，有 ａ＋≥ ２，（１） 其中当且仅当ａ＝１时等号成立． 而（１）可变为 即一个正数与１的差不小于１与它的倒数的差． 应用（２）可以证明许多不等式，现举例说明． 例 １（第 ２０届 ＩＭＯ试题）已知ａ１，ａ２，…，ａｎ 为两两不同的正整数，求证：对于任何正整数ｎ，下列不等式成立 证ａ１，ａ２…，ａｎ为两两不同的正整数，则有 又 例 ２（１９７９年全国竞赛题）设 ０＜α、β＜， 例３（《数学通报》问题第８４５题）已知ｘ１，ｘ２，… ，ｘ。Ｅ正”，且ｘ；十ｘ。＋··，＋ｘ。一１（。＞２）．…     

一类n阶变系数线性方程的解法

本文给出ｘ￣（ｎ）＋ａ１（ｔ）ｘ￣（ｎ－１）十…十ａ＿（ｎ－１）（ｔ）ｘ’＋ａ＿ｎ（ｔ）ｘ＝０具有积分中因子μ（ｔ）＝的充分必要条件及这类方程的通解表达式．     

利用均值不等式求函数极小值问题的探索

利用均值不等式求函数极小值问题的探索西安教育学院李毅我们知道，利用均值不等式ａ＋ｂ＋ｃ≥３３ａｂｃ求函数的极值，必须满足三个条件：（１）ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋；（２）ａ·ｂ·ｃ＝Ｐ（定值）（或ａ＋ｂ＋ｃ＝Ｓ（定值））；（３）当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时，函数有极小...     

一组不等式的推广

文［１］给出了下一结论 引理　设ａｉ＞０,ｐｉ＞０,ｉ＝１,２,…,ｎ,ａ∈Ｒ, 杭州大学数学系所编《中学数学习题》上有这样两题： 第二届“友谊杯”数学邀请赛有这样一道试题; （３）设 ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋,求证： 即若 ａ、ｂ、ｃ∈ＲＡ＋,且 ａ＋ｂ＋ｃ＝１,则 对此我们容易产生联想,本文将对此作出下面的系列推广。 命题１ 若ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋,且ａ＋ｂ＋ｃ＝１,则 证明（１）当ｎ＝０,１时．由上述不等式知本命题真。 （２）当ｎ≥２时,由柯西不等式知：（Ⅰ）若ｎ＝２,则 本命题为真。 （Ⅱ）若ｎ＞３,由前面引理知…     

一个不等式的加强与巧证

文〔１〕给出了不等式１＋１２２＋…＋１ｎ２＜２的证明．文〔２〕给出了１＋１２２＋…＋１ｎ２＜１３１４ｎ－１＋５３的证明．下面我们将给出不等式１＋１２２＋…＋１ｎ２＜２的一个加强式，然后利用放缩法巧妙地给出它的证明．加强式　设Ｓｎ＝１＋１２２＋１３２＋…＋１ｎ２，则Ｓｎ＜１１９７２，且ｌｉｍｎ→∞Ｓｎ＞１１６７２．证　１＋１２２＋１３２＋…＋１ｎ２＝４９３６＋１４２＋１５２＋…＋１ｎ２＜４９３６＋１３×５＋１４×６＋…＋１（ｎ－１）（ｎ＋１）＝４９３６＋１２１３－１５＋１４－１６　＋…＋１ｎ－１－…     

一个分式和不等式的推广及应用

本刊文〔１〕关于分式和的不等式：若ａ１≥ａ２≥…≥ａｎ＞０,０＜ｂ１≤ｂ２≤…≤ｂｎ;或０＜ａ１≤ａ２≤…≤ａｎ,ｂ１≥ｂ２≥…≥ｂｎ＞０,则ａ１ｂ１＋ａ２ｂ２＋…＋ａｎｂｎ≥ｎ（ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ）ｂ１＋ｂ２＋…＋ｂｎ．本文将其推广为：对于ｐ≥１...     

E~n中的两个几何不等式定理

Ｅ~ｎ中的两个几何不等式定理杨世国１主要结果及其应用本文中约定ｎ维欧氏空间Ｅｎ中ｎ维单形Ωｎ的顶点集为ａ＝｛Ａ１；ｉ＝１，２，…ｎ＋１），单形Ωｎ的体积为Ｖ，外接超球半径与内切超球半径分别为Ｒ与ｒ；Ｏ，Ｉ，Ｇ分别表示单形Ωｎ的外心，内心与重心。我们获?..     

正项等差数列的一个有趣性质

９９８年全国高考数学文理科压轴题中所要证明的不等式是：对于一切大于１的自然数ｎ,求证：（１）（１＋１３）（１＋１５）…（１＋１２ｎ－１）＞２ｎ＋１２;（２）（１＋１４）（１＋１７）…（１＋１３ｎ－２）＞３３ｎ＋１２．我们将不等式（１）、（２）的左端转...     

活用a^2＋b^2≥2ab的变式证明一类不等式

不等式ａ２＋ｂ２≥２ａｂ是我们最熟悉的基本不等式，它有许多变式：（１）ａ２＋ｂ２≥１２（ａ＋ｂ）２；（２）（ａ＋ｂ）２≥４ａｂ；（３）１ａ＋１ｂ≥４ａ＋ｂ（ａ＞０，ｂ＞０）；（４）ａｂ＋ｂａ≥２（ａｂ＞０）；（５）ａ２ｂ≥２ａ－ｂ（ａ≥０，ｂ＞０）；（６）ａ３ｂ≥２ａ２－ａｂ≥３２ａ２－１２ｂ２（ａ≥０，ｂ＞０）．以上６个不等式当且仅当ａ＝ｂ时取等号．这６个变式的证明都较简单，下面通过举例仅介绍变式（５）、（６）的应用．例１　已知ａ＞１，ｂ＞１，ｃ＞１，求证：ａ２ｂ－１＋ｂ２ｃ－１＋ｃ２ａ－１≥…     

关于均值的几个不等式链

定理 设　并记 则有（其中不等式①,②,④,⑤取等号当且仅当ｘ１＝ｘ２＝…＝ｘｎ。③取等号当且仅当ｘ１＝ｘ２＝…＝ｘｎ＝ｂ,且ａ＝ｂ＞０或ａ＝０）。 证 先用反向归纳法证明不等式①： 当ｎ＝２时不等式①可化为当ｘ１、ｘ２≥ａ≥０知上式成立（当且仅当ｘ１＝ｘ２时     

平均值不等式证明中的常用技巧

算术—几何平均值不等式 (又称平均值不等式 )是指 :对于ｎ个正数ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ,有ａ1 ａ2 … ａｎｎ ≥ ｎａ1ａ2 …ａｎ(等号当且仅当ａ1=ａ2 =… =ａｎ 时成立 )。均值不等式在初等数学教材中是一个重点和难点内容 ,它的广泛应用早被人们重视。现依据本人在平时学习和研究中得到的诸多启发 ,总结出均值不等式在实际解题中的一些常用技巧 ,列述于下 ,供参考。1　巧用常数1·1　常数的巧取例 1　若ａ、ｂ、ｃ为自然数 ,求证ａ(ａａ ｂ ｃ) ·ｂ(ｂａ ｂ ｃ) ·ｃ(ａａ ｂ ｃ) ≥ ａ ｂ ｃ3。证明　 3=1ａ … 1ａａ个 1ｂ ……     

关于Klambauer不等式的加强

给出了Ｋｌａｍｂａｕｅｒ不等式：（１＋１／ｎ）＾ｎ（１＋１／４ｎ）〈ｅ〈（１＋１／ｎ）＾ｎ（１＋１／２ｎ）（ｎ＝１,２,．．．）的一个加强：（１＋１／ｎ）＾ｎ（１＋１／（１＋１／√１＋ａ）＾ｎ＋１／√１＋ａ）〈ｅ〈（１＋１／ｎ）ｎ（１＋１／２ｎ）（０≤ａ〈ｅ（３ｅ－８）／（４－ｅ）＾２,ｎ＝１,２,．．．）     

谈谈等差数列的前n项和公式

在等差数列中,有两个前ｎ项和公式：Ｓｎ＝ｎ（ａ１＋ａｎ）２和Ｓｎ＝ｎａ１＋ｎ（ｎ－１）２ｄ．下面就这两个公式谈谈与公式相关的知识及应用．１公式Ｓｎ＝ｎ（ａ１＋ａｎ）２的推导方法及应用在高中代数课本中,公式Ｓｎ＝ｎ（ａ１＋ａｎ）２的推导用的是“倒序相加...