最小数原理与数学归纳法

数学归纳法是证明关于自然数的无穷多个命题的一种重要方法,而数学归纳法的理论依据是自然数的归纳公理。所谓自然数的归纳公理,是意大利数学家皮亚诺(G.Peano,1858～1932)在1889年创立的自然数系的公理化定义中的第5条公理。这条公理通常表达为: 归纳公理 设M是自然数集N的一个子集,若M满足,(1)1∈M:(2)若K∈M,人则K 1∈M,则M=N,即M包含了所有的自然数。 自然数集还有另一个重要性质是 最小数原理 设M是自然数集N的一个非空子集,则必存在一个自然数M∈N,对一切n∈M都有m≤n,即m是M中的最小数。     

数学归纳原理与最小数原理相互关系破解

0绪言 数学归纳原理是数学归纳法的根据,它断言：任何有关自然数的命题,如果对于0真,而且每当对于某个自然数k真,都有对于作为其随从的自然数k’,也真,那么对于所有自然数都真． 最小数原理断言：如果某个由自然数组成的集合不空,那么它必含有一个最小的数．     

数学归纳法的拓展及应用

数学归纳法是证明与自然数有关的数学命题的一种完全归纳法,由于数学命题有种种形式和多种不同的实际需要,应用数学归纳法时,也要做出相应的变化,由此得到数学归纳法的一些其他形式.常见的形式一般有四种：第一数学归纳法,第二数学归纳法,倒推数学归纳法,螺旋数学归纳法.再介绍两种形式：跳跃数学归纳法和二元数学归纳法.并由皮亚诺公理和最小数原理给以证明,每种形式分别给出例题,介绍他们的应用.     

沟通有限和无限的桥梁——数学归纳法的发现

我们经常会遇到涉及全体自然数的命题,对待这种问题,如果要否定它,你只要能举出一个反例即可.如果要证明它,由于自然数有无限多个,若是一个接一个地验证下去,那永远也做不完.怎么办?数学家想出了一种非常重要的数学方法来解决这类问题,这就是数学归纳法.数学归纳法在数学中有着广泛的应用,它是沟通有限和无限的桥梁。     

最小数原理与存在性命题

最小数原理是一个极为简单、极为重要而又易被人们忽视的原理. 最小数原理:设N是全体自然数组成的集合,M是N的一个非空子集,则M中必有最小数. 这个原理是相当明显的.我们注意到M是N的一个非空子集,可以是有限集也可以是无限集.对于以自然数为元素的集合,最小数当然是存在的。但如果N是整数集、有理数     

怎样使学生理解数学归纳法

数学归纳法是数学教材当中的一个重要内容,也是教学的一个难点,要使学生真正掌握好这一推理工具,关键是要让学生充分地理解它。以下是根据自己的教学实践和体会,谈谈如何使学生理解数学归纳法。 一、先认清一种并不可靠的推理方法——不完全归纳法 数学归纳法是科学的推理方法,但有相当一部分学生难于理解。因为它针对的是关于自然数的命题,而自然数是无穷尽的,这类命题要被证明对每一个自然数都会成立,便要涉及到人类思维克服有限性的古老问题。数学归纳法实质是一种对于无限的科学归纳法。 在实际教学中,必须先用不完全归纳法为“数归”的引入作铺垫。不完全归纳是对有限对象的经验式的     

数学归纳法的归纳

在与自然数有关的数学命题的论证中,数学归纳法是一种重要的方法.它的依据是自然数的基本性质,即自然数有最小的数,无最大的数,且每个自然数后面都有一个后继数.用数学归纳法证明的步骤如下:(1)证明当n取第一个自然数n_0命题是正确的;(2)假设n取某一个自然数K(K≥n_0)命题正确,证明n=k+1时,命题也是正确的.由(1)与(2)可以断定,这个数学命题,对于任何n≥n_0的自然数,都是正确的.     

单差推证法

大家知道,数字归纳法在证明与自然数有关的命题中起着举足轻重的作用。然而在许多命题的论证过程中又需要一定的技巧,且证明又十分复杂。为了避免数学归纳法这一不足,我们应用数学论证的另一种方法——单差推证法,从而起到简化论证有关自然数命题的作用。若p(n)—Q(n)是依赖于自然数N的命题,如果p(n。)—Q(n。)(n。∈N)及[p(n)—p(n-1)]—[Q(n)—Q(n—1)]都能使命题成立,则对任意自然数 n(n≥n。)命题 P(n)—Q(n)成立,这种论证方法叫单差推证法。对于自然数的任何一个非空子集如:{1、2、4、6……},{6、8、9、10、11}可以看出它们都有最小数1和6,这个问题就是数学中的一个公理:最小数原理:任何自然数的非空子集,一定有最小数。这个原     

数学归纳法教学初探

数学归纳法是一种证明与自然数n有关的数学命题的重要方法。是通过有限次的验证、假设和论证，来代替无限次的事例的验证，达到严格证明命题的目的。也就是把从某些特殊情况下归纳出来的规律，利用递推的方法，从理论上证明这一规律的一般性。在教学中，发现有一部分学生不知道在什么情况下用数学归纳法；不会用数学归纳法证明命题；或者在证明过程中不能“自始至终”（即证明步骤不完全）；或者没有用到归纳假设，有的虽然按照数学归纳法的方法和步骤对命题进行了证明，也是照葫芦画瓢，没有真正理解了归纳法原理，对用数学归纳法所证明的…     

运用第二数学归纳法经常出现的一个错误

在数学证明中常常要用到第二数学归纳法,它的叙述是第二数学归纳法原理:设有一个与自然数有关的命题.如果1~0当 n=1时命题成立;2~0假设命题对于一切小于 k 的自然数来说成立,则命题对于 k 也成立;那末命题对于一切自然数 n 来说都成立.     

谈归纳原理和数学归纳法

数学归纳法是数学中的一个最基本的工具。归纳公理是一个基本的归纳原理 ,第Ⅰ与第Ⅱ数学归纳法具有等价性。只有递归命题才能运用数学归纳法 ,而判别一个与自然数相关的命题是不是递归命题 ,则是运用数学归纳法的前提     

自然数四个命题的一种推证方法

本文应用自然数的基本性质(peano公理),对自然数的四个命题——数学里一类重要的证明方法进行讨论。而在许多文献中,对于这四个命题的讨论都是把“最小数原理”作为公理来证明的。本文的讨论是从peano公理体系出发加以论证的。     

数学归纳法运用中的几个问题

数学归纳法是数学证明中常用的一种重要推理方法。它是建立在自然数性质的基础上。有相当一部分涉及自然数的命题,用数学归纳法得到简捷地证明。因该方法是从特殊到一般的推理方法,所以,用数学归纳法而得证的命题往往带有一般性的结论。常用的数学归纳法主要有二种形式。它们是:数学归纳法第一形式。设 P(n)是一个     

谈归纳原理和数学归纳法

数学归纳法是教学中的一个最基本的工具。归纳公理是一个基本的归纳原理，第I与第Ⅱ数学归纳法具有等价性。只有递归命题才能运用数学归纳法，而判别一个与自然数相关的命题是不是递归命题，则是运用数学归纳法的前提。     

数学归纳法证题的难点及教学探究

数学归纳法是证明某些与自然数有关且具有递推性的数学命题,通过“有限”来解决“无限”问题的一种严谨且十分重要的数学证明方法．教学中许多学生没有理解数学归纳法的实质,只知其然,不知其所以然,证题停留在机械模仿,盲目套用数学归纳法的证题格式,造成不必要的失误．为了让学生能正确掌握并灵活运用数学归纳法,根据多年高中数学教学的经验,对数学归纳法证题的难点及教学作出探讨．     

运用数学归纳法要注意三个“未必”

数学归纳法是证明与自然数有关命题的一种方法,在中学数学中占有重要地位.数学归纳法的一般步骤是:第一步,证明当 n=n_0时命题成立;第二步,假设当 n=k (k∈N,k≥n_0)时命题成立,在此基础上证明当 n=k 1时命题也成立.完成了这两步证明,即可断定命题对一切 n≥n_0的自然数均成立.运用数学归纳法     

用MM方式教学数学归纳法

在数学归纳法的教学中 ,若直接采用如下的归纳公理 :自然数集合Ｎ的任何一个子集 ,若含有数 1 (元之素 ) ,且在含有任何一个数ａ的同时含有它的后继数ａ′,则它与Ｎ相同 .然后再给出数学归纳法的证题法则 ,学生是难以理解与接受的 .所以在几乎所有的关于数学归纳法的教材中 ,都是采用直接给出证明法则的形式 ,即 :若证明一个关于自然数的命题 ,我们先证明它对ｎ =ｎ0 (例如ｎ0=1 )时成立 ,然后假设ｎ =ｋ时命题成立 ,再证明ｎ =ｋ +1时命题也成立 ,就可断定这个命题对于取第一个值ｎ0 后面的所有自然数也都成立 .但这种叙述正如Ｇ·波利亚所…     

数学归纳法题例析

Ⅰ.命题趋势数学归纳法在高考试题中,常以解答题形式出现,主要有证明不等式、证明恒等式、求数列通项公式、数列求和等几方面的应用.数学归纳法单独考查的情况较少,而经常出现在与自然数有关的命题中,多以伴随着数列的通项或前n项和而出现数学归纳法的证明,这也是高考所考查的热点之一.此外,凡是与自然数有关的知识都可能成为与数学归纳法结合综合考查的内容.数学归纳法的考查隐蔽,主要突出数学意识的考查,即解题方法的寻找将是“问题解决”的突破口.值得注意的是,将数学归纳法与一些探索性的问题综合起来出现了一些非常新颖的题型.Ⅱ.解题…     

议反例在数学归纳法教学中的灵活运用

数学归纳法是数学中重要而基本的方法,用以证明特定的命题(与自然数有关.且具有递推性),又有固定的程式.但对初学这一内容的学生而言,却是一个陌生的课题.笔者就此在新课程选修2-2<数学归纳法>内容的教学中进行了反例教学法的尝试,内容设计如下.     

数学归纳法小议

本刊1986年第二期禹佳同志的《这是数学归纳法吗?》一文,从一个侧面纠正了一些错用数学归纳法的情形,十分必要。但文中关于“一个与自然数n有关的命题P(n),要证它对一切自然数n都成立,一般有两种证法,一是数学归纳法,另一是直接证法”的说法,笔者认为欠妥。因为文中所说“直接证法”的实质是什么并未点明。我认为凡是证明一个与自然数n有关的命题(以下简