利用整体思想解决min{f（x，y，z），g（x，y，z），h（z，y，z）}及max{f（x，y，z），g（x，y，z），h（x，y，z）}型函数的最值

函数类型多种多样，函数最值的求法也多种多样，在竞赛中经常遇到这种min{f(x，y，z)，g(x，y，z)，h(x，y，z)}、max{f(x，y，z)，g(x，y，z)，h(x，y，z)}函数，以后称为镶嵌函数．若是一元镶嵌函数的最值，可以利用数形结合的方法解决(本文略)，但二元镶嵌函数、三元     

f(x)函数与[f(x)]及{f(x)}型函数

介绍了由f(x)函数的图像到[f(x)]及{f(x)}型函数图像的一种简易作图方法，并讨论了这两类函数的一些性质，主要有：1)f(x)的奇偶性与[f(x)]、{f(x)}的奇偶性的关系；2)当f(x)连续时，[f(x)]与{f(x)}的不连续点的集合与集合∪k∈z的关系；3)当f(x)单调连续时，[f(x)]与{f(x)}在其不连续点处的性质。     

对《关于max{f(x),g(x)}的可导性》一文的意见

贵刊八三年第四期刊登了张明望同志《关于max{f(x),g(x)}的可导性》一文,从这篇文章中可以看出原作者没有注意到在条件“f(x),g(x)在点x_0可导,且f(x_0)=g(x_0)”下,必有     

关于函数sup{f_n(x)}和inf{f_n(x)}的性质

在一般的分析教科书中对函数maz{f_1(x),f_2(x)}及min{f_1(x),f_2(x)}的有关性质都有阐述。但对更为一般的情形,即函数sup{f_1(x),f_2(x),…,f_n(x),…}与inf{f_1(x),f_2(x)…,f_n(x),…}的性质却很少讨论。本文试图给出这方面的内容,并由此给出函数max{f_1(x),f_2(x),…,f_n(x)},min{f_1(x),f_2(x),…,f_n(x)}同sup{f_1(x),f_2(x),…,f_n(x),…},inf{f_1(x),f_2(x),…,f_n(x),…}性质的共同与不同之处。     

满足f(f(x))=x和f(f(x))=f(x)的函数f(x)的图象特征及其应用

<正>用图象法表示函数具有直观、形象的优点.在解题中我们经常借助于图象理解问题、解决问题,数形结合的思想方法就是生动的体现.本文笔者试图从函数图象的角度,谈谈满足f(f(x))=x和f(f(x))=f(x)的函数f(x)的图象特征,以及它们在解决相关问题中的应用.一、两个命题命题1对于函数f(x),f(f(x))=x的充要条件是f(x)的图象关于直线y=x对称.证明因为f(f(x))=x,所以点(f(x),x)在函数f(x)的图象上;又(x,f(x))也     

满足f(f(x))=x和f(f(x))=f(x)的函数f(x)的图象特征及其应用

<正>用图象法表示函数具有直观、形象的优点.在解题中我们经常借助于图象理解问题、解决问题,数形结合的思想方法就是生动的体现.本文笔者试图从函数图象的角度,谈谈满足f(f(x))=x和f(f(x))=f(x)的函数f(x)的图象特征,以及它们在解决相关问题中的应用.一、两个命题命题1对于函数f(x),f(f(x))=x的充要条件是f(x)的图象关于直线y=x对称.证明因为f(f(x))=x,所以点(f(x),x)在函数f(x)的图象上;又(x,f(x))也     

三角形三边不等式的代数变换f(a,b,c)=f(y+z,z+x,x+y)

关于△ABC三边a、b、c的不等式证明，文已给出了若干证明方法．其中，文建立了代数变换：f（s-a，s-b，s-c）=f（x，y，z）；文建立了代数变换：f（ra，rb，rc）=f（x，y，z）（其中半周长s=a＋b＋c/2；ra，rb，rc分别为△ABC的旁切圆半径）．但是，对于一类“轮换对称不等式”，以上方法显得力不从心．本文将文的代数变换：f（s-a，s-b，s-c）=f（x，y，z），改造为代数变换：f（a，b，c）=f（y＋z，z＋x，x＋y），导出了两个漂亮的定理，找到了△ABC三边a、b、c的不等式（包括非完全对称的“轮换对称不等式”）的证明妙法．     

浅议函数y=A_1(t)f~2(x) A_2(t)f(x) A_3(t)的最值

分类讨论题是当前试题中的热点,而求函数y=A_1(t)f~2(x) A_2(t)f(x) A_3(t)的最值(函数在I上有定义,A_1(t)≠0,t为参数)又是分类讨论中常见的类型。如1992年及1993年上海市普通高级中学会考试题的压轴题,他们的模式便是本文议论的问题。 1.求该类函数的最值,其属求一元函数最值的范畴。函数 y=A_1(t)f~2(x) A_2(t)f(x) A_3(t)在I上有定义,A_1(t)≠0。若令f(x)=z,由x∈I得到f(x)∈(?),这样,原函数可化为y=A_1(t)z~2 A_2(t)z A_3(t)A_1(t)≠0,z∈(?)。即y关于一元z的二次函数。由于t是参数,因此在求该类函数的最值时,它的思考方法和运     

关于f″(h(x)) p(x)f′(h(x)) q(x)f(h(x))=F(x)的求解定理

文献中曾给出了 f′(h(x))=g(x)的若干求解公式.本文先提出三个引理,再借助复合函数求导法则、积分方法及变量替换法,给出新的微分方程 f″(h(x)) p(x)f′(x)) q(x)f(h(x))=F(x)·论证它在一定条件下的可积性,并获得通解的具体表达式.所得结论是对文献中问题的拓广与深化.     

关于函数max(f(x),g(x))的可导性

我们知道,如果函数 f(x)、g(x)在点 x_0连续,则函数 max(f(x),g(x))在点 x_0亦连续。现在要问:如果函数 f(x)、g(x)在 x_0点可导,函数 max(f(x),g(x))是否在点 x_0亦可导呢?下面的定理1和定理2给出了判别函数 max(f(x),g(x))可导的充分条件。定理1 如果函数 f(x)、g(x)在 x_0点可导,且f(x_0)     

函数y=f(x+1)的反函数是y=f~(-1)(x+1)吗

如果函数y=f(x)有反函数y=f~(-1)(x),那么函数y=f(x+1)的反函数就是y=f~(-1)(x+1)吗? 例已知f(x)=2~x,函数y=g(x)的图象与函数y=f~(-1)(x+1)的图象关于直线y=x对称,求g(2)。     

函数y=f(x)的反函数为何要表示成y=f-1(x)形式

现行中学数学试验教材中反函数是这样定义的: 函数y=f(x)(x∈A)中,设它的值域为C.我们根据这个函数中x、y的关系,用y把x表示出,得到x=φ(y).如果对y在C中的任何一个值,通过x=φ(y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么,x=φ(y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数.这样的函数x=φ(y)(y∈C)叫做y=f(x)(x∈A)的反函数.记作x=f-1(y).     

构造可导函数解含“f(x)g(x)”函数问题

<正>解答这类问题的有效策略是将"f(x)g(x)"的外形结构特征与导数运算法则结合起来,即当题设条件中存在或通过变形出现特征式"f′(x)g(x)+f(x)g′(x)"时,可联想、逆用"f′(x)g(x)+f(x)g′(x)=[f(x)g(x)]′",先构造可导函数y=f(x)g(x),然后利用该函数的性质巧妙地解决问题根据。例题设函数f(x)、g(x)分别是定义     

无理不等式√g(x)(》《)f(x)的另一求法

我们知道√g(x)＜f(x)(=){f(x)≥0,g(x)≤0,g(x)＜[f(x)]2.√g(x)＜f(x)(=){f(x)≥0,g(x)≤0,g(x)＞[f(x)]2.或{f(x)＜0,g(x)≥0.将无理不等式转化为等价的代数不等式(组)来解,往往须考虑符号,运算复杂.下面介绍另一求法,其理论根据是一元连续实函数y=f(x)的根(存在)将其定义域分成的各个区间上具有保号性.此方法步骤如下:     

y=f(a x)的特征能确定y=f(x)的哪些性质

函数y=f(a x)(a≠0,以下不特别说明都要求a≠0)是由函数y-f(x)经过简单的函数复合而成,它们之间从性质到图像都有着密不可分的关系.此类试题常常以告诉y=f(a x)的性质,研究y=f(x)以及y=f(x)的其他复合函数的性质的     

max{a,b}与min{a,b}符号下一类题的求解策略

高中数学最大的魅力在于其抽象性,而数学符号语言更是其抽象性的重要体现,故数学符号语言的重要性不言而喻.纵观近几年高考,max{a,b}与min{a,b}这一数学符号频繁出现,但学生的得分率屡创新低,一些学生甚至无从下手,本文就max{f(x),g(x)}与min{f(x),g(x)}型函数进行分类解析,并给出一般求解策略.     

根式数列{n√f(n)}单调性的判定

运用单调数列的定义,直接判定根式数列{n√f(n)}的单调性,在很多情况下不易.由于数列可以看作定义域为N+(或N+的有限子集)的函数.因此,当数列的背景函数具有可导性时,可以通过与其导数有关的一个不等式来判定数列{n√f(n)}的单调性.     

利用“f(x)严格单调,f(x)=f(y)x=y”巧解竞赛题

我们知道,f(x)严格单调,f(x)=f(y)x=y(*).看起来很平常的这个性质用来巧解下面几道数学竞赛题却很有趣.1求三角函数值例1(1994年全国高中数学联赛试题)已知x,y∈[-π4,π4],a∈R,且x3+sin x-2a=0,4y3+sin ycos y+a=0,则cos(x+2y)=.分析此题的特点是入口非常小,所求的cos(x+2y)的值好象与题设条件没有什么直接关系.我们对方程组中的三个变量x,y,a的系数进行观察,利用t3+sin t在[-π2,π2]上的单调性和性质(*),就能找到一条通向胜利之路.解由于x3+sin x-2a=0,4y3+sin ycos y+a=0,将第二式乘以2与第一式相加并整理,得x3+sin x=(-2y)3+sin(-2y)…     

对“f(x)与f(f(x))有相同值域”问题的思考

一、试题呈现设函数f(x)=x2+2ax+a,若函数f(x)与函数f[f(x)]的值域相同,则实数a的取值范围为.第一步:分析f(x)的单调性与最值,易知f(x)在(-∞,-a)上递减,在(-a,+∞)上递增,f(x)min=f(-a)=a-a2,∴f(x)的值域是[a-a2,+∞).第二步:换元分析两函数.设t=f(x),则f[f(x)]=f(t),函数f(t)在t∈(-∞,-a)上递减,在t∈(-a,+∞)上递增,则y=f(t)(t≥a-a2)的值域也是[a-a2,+∞).     

方程f（x＋y）=f（x）·f（y）解函数特性

本文从一道高考题出发,运用了数学分析理论,较为深刻地揭示了方程f(x+y)=f(x)·f(y) 解函数特性,导出了函数,f(x)的重要解析特征。