一个三角恒等式的浅显证明

文 [1]中给出如下问题 :设 sin4xa +cos4xb =1a+b,a>0 ,b>0 ,证明 :对任意正整数 n,都有 sin2 nan-1 +cos2 nxbn-1 =1(a+b) n-1 .文 [1]用了丢番图恒等式来证明 ,并认为若用三角式的恒等变形 ,则过程复杂 ,运算冗繁 .文 [2 ]通过构造椭圆及其切线来证明 .上述两种方法思维要求比较高 ,不易想到 .其实本题直接应用三角式的变形 ,简捷浅显 ,以下给出上述问题简证 .证明　由 sin4xa +cos4xb =1a+b,得 a+ba sin4x+a+bb cos4x=1,即 basin4x+abcos4x+sin4x+cos4x=1.又 sin4x +cos4x =(sin2 x +cos2 x ) 2 -2 sin2 xcos2 x=1- 2 sin2 xcos2 x,则 ba…     

初三数学总复习练习（四）

一、填空1.的倒数是－_______ 1.2.的平分根是 _______.3.用四舍五入法保留两个有6495900效数字是_______.4.函数中的自变量y = x 取值范围是________.5.分解因式－:x2 2xy － 1 y2 = ___.6.不等式组 的解集是________.7.－是     

2000年上海市高中数学竞赛试题

说明:解答本试卷不得使用计算器 一、填空题(每小题7分,共70分) 1.若函数f(x)=cot(x/4)-cot x又能写成f(x)=(sin kx)/(sin (x/4)·sin x),则k的值是________。 2.sin 10° 2sin 10°·sin 20°·sin 40°的值是________。     

两个三角恒等式的新的统一证明

三角恒等式 :cosα cos(1 2 0°-α) cos(1 2 0° α) =0 ,sinα- sin(1 2 0°- α) sin(1 2 0° α) =0 .其中 α为任意角 .文 [1 ]、[2 ]先后给出了这两个恒等式的统一证法 .其实 ,笔者得以下证法更显朴素自然 ,简捷明快 !证明　记P=cosα cos(1 2 0°- α) cos(1 2 0° α) ,Q=sinα- sin(1 2 0°-α) sin(1 2 0° α) .则　 P2 Q2 =3 2 [cosαcos(1 2 0°-α)- sinαsin(1 2 0°- α) ] 2 [cosαcos(1 2 0° α) sinαsin(1 2 0° α) ] 2 [cos(1 2 0°- α)·cos(1 2 0° α) - sin(1 2 0°- α) sin(1 2 0° …     

《解直角三角形》测试题

一、填空题1．在Rt△ABC中,若AB＝5,BC＝3,则cosA＝________2在Rt△ABC中,若,则cosB＝_________3．已知sina＝,则锐角a＝________4．已知sin35°＝0．5736,则cos55°＝_________5．比较大小：Sin48°37°______cos41°22′6．7．若则8．若是方程的一个根,且a是锐角,则a＝＿．9．若则10．等腰梯形一底角为,面积为,中位线长6cm,则此梯形的周长为_______二、单项选择题1．若,则锐角a的度数是（）（A）20°;（B）30°;（C）40°;（D）50°．2在Rt△ABC中,则斜边C的长为（）（A）62（B）42（C）：（D）．3．若A是锐…     

初二第二学期期末考试数学试题

一、填空题1 .sin30°· cos30°=;1tg45° tg60°=。2 .在△ ABC中 ,∠ ACB=Rt∠ ,AC=5,BC=1 2 ,则 sin B= ;tg A=。3.sin2 3 2° cos2 3 2°=;cos2 0°- cos50°填 (>0或 <0 )。4.方程 x2 x=0的解是 ;方程 x2 2 x- 1 =0的解是。5.已知方程 2 x2 1 3x k=0 ,如果一个根是- 3,则另一个根是 ,k=。6.不解方程 ,判断方程 5x2 - 2 x=- 1根的情况 :因为△ ;所以方程。　　 7.如图 ,△ABC中 ,DE∥BC,若 ADDB=32 ,则△ ADE与△ ABC的周长比为 ;S△ A DE∶ S梯形△ DBCE=。　　 8.如图 ,M是 AB的中点 ,AB=1 2 ,AC=9,且∠ ANM=…     

三角代换方法例举

一些三角恒等式在证明代数问题方面有着广泛的应用 .下面介绍几种中学数学中常见的代换法 ,供同行和读者参考 .一、若m n=1,m、n >0 ,可令m =sin2 α ,n =cos2 α .例 1　已知x、y >0 ,且x y=1,A =ax by ,B =ay bx ,试比较AB与ab的大小 .解　令x=cos2 α ,y=sin2 α ,则AB -ab =(ax by) (ay bx) -ab=(a2 b2 )xy ab(x2 y2 ) -ab=(a2 b2 )cos2 αsin2 α ab(cos4 α 　sin4 α) -ab=(a-b) 2 cos2 αsin2 α≥ 0 ,∴AB ≥ab .二、若m2 n2 =1,可令m =sinα ,n=cosα ,例 2　设a2 b2 =1,x2 y2 =1,求ax by的取值范围 .解　令a =sinα…     

初三数学总复习练习（一）

一、填空、的算术平方根为14______.、计算－2(a)2·a3= ______.、纳米米用科学记数31=0.000000001,法表示为米___________.、若正多边形的每个内角为°则4144,该多边形为正边形_______.、在实数范围内因式分解5: x2－4=_______ .、已知如图△6: ABC中, DE∥AB , AD =     

2002年数学总复习质量检测题

一、填空题（每小题3分,共30分） 1.分解因式 a3-4a2+4a= 2.关于x的一元二次方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根,则k= 3.抛物线y=x2+8x十15的顶点坐标是 4.若2相似文献   

一道三角题的多种解法

题目已知sinθ+cosθ=51,θ∈(0,π),则cotθ=·这是1994年的一道高考题·该题解法颇多,除了通常的平方法,求sinθ、cosθ值外,本文再给出其它几种转化法·解法1:(定义法)设sinθ=5y,cosθ=5x,则有y5+5x=51,(5y)2+(5x)2=1·化为y2-y-12=0·由θ∈(0,π),知y>0,x<0,可解得y=4,x=-3·从而cotθ=yx=-43·解法2:(辅助式)设sinθ-cosθ=m,与sinθ+cosθ=51联立,两式平方后相加,可得m2=4259·由题设可知θ∈(2π,34π),则sinθ>cosθ,故m=57·再将sinθ-cosθ=75与sinθ+cosθ=51相加减,得sinθ=54,cosθ=-53,从而cotθ=-43·解法3:(巧设等差数列)…     

高一数学(下)期末测试题

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的4个选项中只有1个是符合题目要求的)1.终边在y轴上的角的集合是()(A)αα=π2(B)αα=2kπ+π2,k∈Z(C)αα=2kπ+3π2,k∈Z(D)αα=kπ+π2,k∈Z2.已知三点A(0,1),B(-1,5),C(-2,0),那么ABC的重心G的坐标为()(A)(-1,2)(B)(2,-1)(C)(1,-2)(D)(-2,1)3.函数y=cos2x+π2的图象的一条对称轴方程是()(A)x=-π2(B)x=-π4(C)x=π8(D)x=π4.化简1-2sin10°cos10°sin10°-1-sin210°结果是()(A)1(B)-1(C)±1(D)以上答案都不对5.若a=(23,2),b=(2,23),则a与b的夹角θ等于()(A)30°(…     

导学两角和与差的三角函数

本部分虽公式繁多 ,但这些公式是一个有着密切联系的整体 ,是进行三角变换的重要依据 ,三角变换是中学数学中发展等价变换的思想、培养逻辑推理能力的重要内容 ,因此 ,本部分是三角重点内容 ,又是高考命题的重点之一 .一、典型问题展示例 1　化简 sin ( x +6 0°) +2 sin ( x - 6 0°) -3cos ( 12 0°- x)分析 :从角入手 ,可知 ( x +6 0°) +( 12 0°- x) =180°,cos ( 12 0°- x) =- cos ( x +6 0°) ,所以原式 =sin ( x +6 0°) +3cos ( x +6 0°)+2 sin ( x - 6 0°)=2 sin [( x +6 0°) +6 0°] +2 sin ( x - 6 0°)=2 sin ( x +12 0°)…     

例说三角变换技巧

由于三角公式比较多,变换灵活多样,解答此类题时,考虑选择恰当的变换就能使复杂问题简单化,收到事半功倍之效果。下面介绍几种常用的三角变换技巧.变换三角函数名称一般地,在一个三角函数式中,若含有多种三角函数,则常把“切割”统一变为“弦”,减少函数种类,易于变形.例1.求tan20°+4sin20°的值.解:原式=sin20°+4sin20°·cos20°cos20°=sin20°+2sin40°cos20°=(sin20°+sin40°)+sin40°cos20°=2sin30°·cos10°+sin40°cos20°=sin80°+sin40°cos20°=2sin60°·cos20°cos20°=2sin60°=3√.点评:本题的解题关键有二:一是把tan2…     

数学奥林匹克高中训练题(10)

第一试一、选择题(每小题6分,共36分)1.已知sin18°=-14+5.则a=sin2007°,b=cos2007°,c=-1+tan2007°,d=sin2007°+cos2007°2的大小关系是().(A)b相似文献   

2003年上海市高考数学试题及参考答案

(未注明者为理科题 )　　一、填空题 (本大题满分 48分 )1 .函数 y=sinxcos x +π4+cosxsinx +π4的最小正周期T =　　　 .2 .若x =π3 是方程 2cos(x +α) =1的解 ,其中α∈ (0 ,2π) ,则α =　　　 .3 .在等差数列 {an}中 ,a5=3 ,a6 =-2 ,则a4 +a5+… +a10 =　　　 .4.在极坐标系中 ,定点A 1 ,π2 ,点B在直线ρcosθ+ρsinθ =0上运动 ,当线段AB最短时 ,点B的极坐标是　　　 .4.(文科 )已知定点A(0 ,1 ) ,点B在直线x +y =0上运动 ,当线段AB最短时 ,点B的坐标是　　 .5 .在正四棱锥P ABCD中 ,若侧面与底面所成二面角的大小为 60°,…     

2000年莫斯科大学力学数学系入学考试数学试题和解答

试卷 (3月 )1.解不等式|x- 4 |- |x- 1||x- 3|- |x- 2 |<|x - 3| |x- 2 ||x- 4 |.答案 :3相似文献   

集合与简易逻辑

课时一集合及其运算☆基础篇诊断练习一、填空题1.集合,用列举法表示集合M=________. 2.已知{a,b}(?)A(?){a,b,c,d},则满足条件的集合A为________.(列举出来) 3.设u={x|1a},且A(?)B=φ,则实数a的取值范围是_______.     

2003年全国高中数学联赛天津赛区初赛

一、选择题(每小题5分,共30分)1.已知函数f(x) =sin4x 4cos2 x -cos4x 4sin2 x .则f(x)可化简为(　　) .(A)cos 2x　　　　　(B)sin 2x(C)cosx -sinx (D)cos x2 -sin x22 .已知正数a1,a2 ,…,a7构成等比数列.若前5项的和为72 6 ,后5项的和为14 2 12 ,则a6等于(　　)(A) 4　　(B) 4 2　　(C) 8　　(D) 823.已知正三棱柱ABC -A1B1C1中,E是BC的中点,D是AA1上的一个动点,且ADDA1=m .若AE∥平面DB1C ,则m的值等于(　　) .(A) 13(B) 12 (C) 23(D) 14 .有2 0张卡片分别写着数字1,2 ,…,19,2 0 .将它们放入一个盒中,有4个人从中各…     

常数变易两例

常量与变量是相互对立 ,相互统一的两个量 .在解决某些较为复杂的数学问题时 ,如果我们把某个特定常量看作变量 ,经巧妙的构思 ,则问题可柳暗花明 ,令人耳目一新 .略举两例 .例 1　设 9cos A+ 3sin B+ tan C=0 ,( 1 )sin2 B- 4cos Atan C=0 . ( 2 )求证 :| cos A|≤ 16 .解　在 ( 1 )式中 ,视“3”为变量 x,则 ( 1 )式化为 x2 cos A+ xsin B+ tan C=0 . ( 3)若 cos A=0 ,则不等式 | cos A|≤ 16 成立 .若 cos A≠ 0 ,则由 ( 2 )知 ( 3)式 (关于 x的二次方程 )的判别式为 0 .∴关于 x的方程 x2 cos A+ sin B+ tan C=0有两个等根 x1 =x…     

正弦二倍角公式的构造证法

如图 1 ,构造腰长为 2 ,顶角为 2 α( 0 <α<π2 )的等腰△ ABC,则△ ABC的面积 S=12 × AB× AC×sin 2α=sin 2α.过 A作 AD⊥ BC于 D,则 D是 BC的中点 ,且∠ BAD=∠CAD=α,则 AD=AB·cosα=2 cosα.又∵△ ABD与△ ACD的面积相等 ,∴△ ABC的面积 S=2· S△ ABD=2× 12× AB× AD×sinα=2 sinαcosα,∴sin2 α=2 sinαcosα.易证 α不是锐角时 ,上式仍然成立 .正弦二倍角公式的构造证法@刘品德$广东省江门市江海中学!529000…