三角函数问题的三角形解法

本文着重讨论在非三角形条件下的三角函数问题如何通过构造三角形来解答的问题。旨在完善和深化代数、几何、三角三者之间的内在联系。下面就现行中学数学教材中有关三角函数的常见题型,分别例说。一、求单角的三角函数值基本思路利用几何线段的比来替代单角的三角函数值。构造一个直角或等腰三角形且巧设边长为1是经常采用的方法。例1 求15°的三角函数值。解如图1,在Bt△ACB中,使∠B=15°,使AD=DB=2,则CD=3~(1/2),AC=1,BC=2+3~(1/2),故AB=(AC~2+BC~2)~(1/2)=6~(1/2)+2~(1/2),     

反三角函数中两个问题的探讨

1.用反三角函表示角的方法与技巧利用反三角函数表示角是反三角函数中一个基本问题,它是考察学生能否掌握反三角函数定义、并能灵活运用反三角函数概念的关键.这种问题有两种可能性:一是当角x属于主值区间时,用反三角团数表示x容易求得,如:sinx=1/2,x属于[0,π/2],则x=arc sin 1/2;二是当x不在主值区间 sinx=1/2x属于[5/2π,3π]如何用反三角函数表示x,就不那么容易了,有时往往感到无所适从.处理这类问题,笔者介绍一种简便有效的方法,且求解过程及结果不易出错,下面以例说明.     

一道已知三角函数图象求解析式的探究

在解决三角函数方面的问题时,三角函数的图象是不可缺少的工具,数形结合思想在三角函数部分有着广泛的应用,形如y=Asin(ωx+θ)的作图,识图,用图在试题中更是经常出现,"五点法"是常用方法.而当y=Asin(ωx+θ)中A符号不确定时,容易出错.1.提出问题     

用反三角函数表示角的技巧

利用反三角函数表示角是反三角函数中的一个基本问题.这种问题有两种情形:一是当角x属于主值区间时,用反三角函数表示x容易求得.如sinx=1/2,x∈[0,π/2],则x=arcsin1/2;二是当x不属于主值区间,如sinx=1/2,x∈[(5π)/2,3π].如何用反三角函数表示x,就不那么容易了,有时,往往感到无所适从,处理这类问题,这里介绍一种简便有效的方法,下面举例说明.     

三角函数最值问题的几种解法

三角函数最值问题是三角函数中的基本内容 ,也是高中数学中经常涉及的问题 .解决这类问题的基本途径 ,同求解其它函数最值一样 ,一方面应充分利用三角函数自身的特殊性 (如有界性等 ) ,另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数 (如二次函数等 )最值问题 .一、利用三角函数的有界性在三角函数中 ,正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征———有界性利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值问题的最基本的方法 .例 1　求函数ｙ=ｃｏｓｘ -2ｃｏｓｘ-1 的最小值 .分析　由于在本题的函数表…     

锐角三角函数的计算

正锐角三角函数的定义是有别于其他的数学定义,需要借助于直角三角形,且与图形的大小无关.在中考中,锐角三角函数涉及各种各样的计算,现举例说明.一、利用三角函数的定义求值例1(2014年温州卷)如图1,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,则tanA的值是.解:在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,     

锐角三角函数考点分析

锐角三角函数是解直角三角形的基础知识,涉及的知识点较多.下面以2015年的中考题为例,把这部分知识的常见考点归类总结如下. 考点1 利用锐角三角函数的定文求三角函数值 例1 (2015年广西卷)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=12,则下列三角函数表示正确的是().     

三角函数观点下的整数幂和问题

正高中数学中经常遇到如下整数幂和问题:∑k=1nk,∑k=1nk2,∑k=1nk3,…,其中∑k=1nk可根据等差数列求和公式求得,对于∑k=1nk2,∑k=1nk3,要想直接计算难度较大.笔者结合自己的教学实际,从一组三角函数公式出发,谈谈整数幂和问题在三角函数视角下的求解.定理1     

一个三角函数的求值公式及其应用

<正>在三角函数中,我们经常遇到一类形如"已知asin x+bcos x=c,求角x的某(些)三角函数值"的问题.解决这类问题的一般思路是:将条件式与sin~2x+cos~2x=1联立解方程组,求得sin x或cos x,再通过同角三角函数的关系式求得其它三角函数值.这种处理方法虽然思路清晰,但运算量较大,且涉及到开平方对正、负号的取舍,尤其是遇到限制了角     

一个数学模型的应用

初中数学课本中只介绍了30°、45°、60°角的三角函数值,但我们在平时练习中,经常会遇到利用75°,15°的三角函数来求解的问题,这里介绍这类问题的解决方法.例1如图1,△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,延长CA至D,使AD=AB,则sin     

例说导数在三角函数中的应用

导数应用相当广泛,各类杂志已有多文介绍过它在函数、不等式中的应用,本文介绍导数在三角函数中的应用.三角函数中涉及到的最值和单调区间等都可以利用导数知识求解,利用导数求解三角函数的问题,或可避开较强的解题技巧,或可使解题思路清晰,解题过程简捷明了.1涉及到三角函数最值的问题例1已知函数y=sin 2x acos 2x图象的一条对称轴为x=-π8,求a的值.分析本题一般先化为y=a2 1sin(2x φ)的形式,然后在2x φ=kπ π2(k∈Z)中令x=-π8进而求解;或在等式f-π8-x=f-π8 x中赋值求解.由三角函数的图象可知函数在对称轴点处取到最值,利用导数知识…     

75°三角函数的构图求值法

求75°的三角函数值是在高中《代数》应用两角和差公式求值的.我们应该引导学生应用数形结合的思想用构图的方法来求75°的三角函数值,这样有利于培养学生应用知以分析问题和解决问题的能力.下面介绍八种求法,为了节省篇幅,每种解法求一种或两种三角函数值. 解法1:如图1所示,△ABC中,∠C=90°,∠BDC=30°.∠A=15°,则∠ABC=75°,设BC=1,则AD=DB=2,DC=3~(1/2),AC=2 3~(1/2),故tg75°=2 3~(1/2).     

聚焦三角函数的图像与性质

根据三角函数的图像分析其性质1.三角函数的定义域(1)函数y=tanx的定义域是{x|x≠kπ π/2,k∈Z}或(kπ-π/2,kπ π/2)(k∈Z).上述两种定义域的表示法都需要掌握,即角x不能取终边在y轴上的角.(2)函数y=sinx和y=cosx的定义域都是R.2.三角函数的值域(1)函数y=sinx和y=cosx的值域均为[-1,1],函数y=tanx的值域为R.(2)复合三角函数的值域问题比较复杂,除了代数求值域的方法都可以适用外,还要注意三角函数本身的特点,特别是经常需要先进行三角变换然后再来求值域.一些常用的三角函数的值域要熟记.     

引导学生利用单位圆复习三角函数

单位圆是三角函数的一个重要知识点,它不仅可以描绘三角函数的图象,揭示三角函数的性质,同时也是探究三角函数的有关公式、不等式、恒等式以及求值等问题的有力工具。图、可以直观、明确地看出半角的正切公式。若借助三角函数线与几何知识稍加引导,则绝大多数的公式都能在单位圆中较直观的展现出来,还会发现一些较难的三角不等式和证明题也能在单位圆中获得简捷的证例。先看万能代换公式。如图(二) 过D作AC的垂线交AB于E,由DO~2=AO·OE,即tg~2(α/2)=1·OE,所以AE=1+tg~2(α/2),由平几定理得:AB/AE=AC/AD=FC/OD,(AB=2,AE=1+tg~2(α/2),FC=sinα,OD=tg(α/2)),     

求锐角三角函数值的方法

<正>求锐角三角函数值,是"锐角三角函数"一节中重要内容,求三角函数值的方法较多,且方法灵活,是中考中常见的题型。下面列举求锐角三角函数值的方法。一、定义法例1在中△ABC中,∠C=90°,如果tanA=5/(12),那么sinB的值等于()     

三角函数图象的对称问题小结

在三角函数图象的学习中,其对称性的研究是一个重要内容.由于三角函数特有的周期性,决定了三角函数对称中心及对称轴存在时不唯一,同时也增大了问题的难度.本文拟在归纳三角函数的对称性知识的基础上,通过举例说明三角函数中对称性的应用.一、基本知识命题:函数y=sinx的对称中心是(kπ,0)(k∈Z);对称轴方程为x=kπ+π2(k∈Z).函数y=cosx的对称中心是(kπ+π2,0)(k∈Z);对称轴方程为x=kπ(k∈Z),函数y=tanx的对称中心是(12kπ,0)(k∈Z);对称轴不存在.推论1:函数y=|sinx|的对称轴方程为x=12kπ(k∈Z),对称中心不存在,函数y=|cosx|的对称轴…     

三角函数最值问题的几种基本型及解法

解决三角函数最值问题的基本方法就是化归为基本型。三角函数最值问题常见有以下几种基本型。1.y=asinωx+b(y=acosωx+b)利用函数单调性及三角函数有界性求解。     

三角函数最值问题与综合应用

对于三角函数相关的试题,绝大多数同学都志在必得,希望能拿高分甚至满分,但有时事与愿违,没有得到理想的结果,如何避免这种"悲剧"的发生呢?这正是本文的目的所在.重点难点有关三角函数的试题,以下几类问题是重点要解决的.(1)三角函数的化简和求值问题.(2)函数y=Asin(ωχ+φ)+k的图象与性质.(3)三角形中的三角函数问题.(4)三角函数的综合应用问题.难点之一是有关三角函数的最值与取值范围问题:难点之二是在三角变换中变换目标的确定及公式的选择.     

三角函数的最值的常见解法

求解三角函数的值域和最值是近几年高考的重要题型.这类问题往往概念性较强,具有一定的综合性和灵活性.因为解决这类问题不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性以及三角函数的恒等变形,还经常涉及到函数、不等式、方程以及几何计算等众多知识.所以,正确理解和深入探究三角函数的最值问题对于提高分析问题和解决问题的能力,大有裨益.下面就有关三角函数最值问题求解的常用方法归纳如下:一、利用正弦、余弦函数的有界性例1求函数y=3sinx-1sinx+2的最大值和最小值.分析:去分母化简得:sinx=-1-2yy-3,∵|sinx|≤1,∴-1-2yy-3≤1,解之得:-4…     

遇到斜三角形怎么办

学习了锐角三角函数的知识后 ,同学们都知道 ,应用锐角三角函数的知识可以解直角三角形 .那么遇到斜三角形怎么办 ?例如 ,1 998年广西的中考就命了这样一道关于斜三角形的计算题 :例 1　已知 :如图 1 ,△ＡＢＣ中 ,∠Ｂ =30°,∠Ｃ =45°,ＡＢ -ＡＣ =2 -2 ,求ＢＣ .怎样求解这类问题 ?求解这类问题的基本思想方法是什么 ?解决这类问题的基本思想方法是 :通过作斜三角形某边上的高 ,把斜三角形分解为两个直角三角形 ,从而把斜三角形问题转化为直角三角形问题 ,然后用锐角三角函数和直角三角形的有关性质求解 .上述问题的解法是 :作ＡＤ⊥Ｂ…