轴对称与最短路线问题

同学们都知道,平面上两点之间以线段为最短.就是这样一个浅显的道理,在解决最短路线问题时,却起着不小的作用.如在直线L的两侧有A、B两点,试在直线上找一点C,使点C到A、B两点的距离和最小,即BC+AC最小.很显然,连结点A、点B与直线的交点C即为所求     

点P还可以这样来确定

数学中有这样一类最短路径问题模型:在直线l的同侧有两个点A和B,怎样在直线l上找到一点P,使AP+BP的和最短(如图1).解决的办法都是先作一个点A(或点B)关于直线l的对称点A’,连接A’B交直线l于点P,则点P就是所     

轴对称与最短路线

同学们都知道,平面上两点之间以线段为最短.就是这样一个浅显的道理,在解决最短路线问题时,却起着不小的作用,如在直线l的两侧有A、B两点,想在直线上找一点C,使点C到A、B两点的距离和最小,即AC BC最小很显然,连结点A、点B,AB与直线l的交点C即为所求的点,如图1.     

对两道课后练习题的探索

课本第10面有这样两道拓广探索题.第12题:如图1—1,AB⊥l,BC⊥l,B为垂足,那么A,B,C三点在同一条直线上吗?解析:A,B,C三点在同一条直线上,证明如下.证法一:因为AB⊥l,BC⊥l,又因为经过直线上一点B有且只有一条直线与已知直线l垂直,所以A,B,C三点在同一条直线上.     

智力趣题

1.不交叉的直线在一张纸上有如图所示的四个点,请你设法用二条不可交叉的直线分别连接起A、与A点、B与B点.2.比一比有A,B两个杯子,A中是水,B中是葡     

第49届IMO试题解答

1．已知H是锐角△ABC的垂心,以边BC的中点为圆心、过点H的圆与直线BC交于A1、A2两点;以边CA的中点为圆心、过点H的圆与直线CA交于B1、B2两点;以边AB的中点为圆心、过点H的圆与直线船交于C1、C2两点．证明：A1、A2、B1、B2、C1、C2六点共圆．     

“直线、射线、线段”典型题解析

一、理解概念例1下列说法正确的是().A.线段AB和线段BA表示的是同一条线段B.射线AB和射线BA表示的是同一条射线C.直线AB和直线BA表示的是两条直线D.若点M在直线AB上,则点M也在射AB上解析:线段AB和线段BA表示的是同一线段;直线AB与直线BA表示的也是同一直线;射线AB的端点为A,向点B的方向限延伸,而射线BA的端点为B,向点A的向无限延伸,因此射线AB与射线BA不是一条射线;因为射线是直线的一部分,所以直线AB上的点M不定在射线AB上(如图).所以正确答案为A.例2下列说法正确的是().A.线段AB是A、B两点间的距离B.两点间的距离是…     

应用两点间距离与复数的模求有关极值

我们知道: 一、在已知直线(曲线)上求一点,使它到两定点的距离之和为最短的最小值点的几何作图法. ①当两定点A、B在已知直线(曲线)l异侧时,则连结A、B两点的线段与已知直线(曲线)的交点P就是所求之最小值点,其最小值S-|AB|. ②当两定点A、B在已知直线l同侧时,作两定点中的其中一个定点关于直线l的对称点,与另一定点的连线段与l的交点P就是所求之     

利用反证法证明“点猜想”

<正>在平面中有4个点A、B、C、D,每过两点作一条直线,最多可作6条直线,如图1所示.这时,我们就说A、B、C、D四个点构成一个点图,使每条直线上刚好有2个点.这时,我们自然会联想到会不会存在一个点图,使每条直线上刚好有3个点?或者要求放宽一点,使每条直线上至少有3个点呢?显然,这种点图是存在的,如图2所示,A、B、C三点在同一直线上.由A、B、C三点所构成     

线段“和最小”“差最大”问题的解题策略

1．求线段和的最小值 （1）两点异侧：如图1,点A、B在直线m的异侧,点P在直线m上运动,当点P与点A、B共线时,PA＋PB的值最小．     

“直线外两点与直线上任一点距离之和最小”的空间推广

在平面几何中 ,经常碰到这样的问题 :“在平面上 ,已知直线 l外两点 A,B,在 l上求一点 P,使 PA PB的值最小”,利用“对称性”和“两点之间线段最短”即可解决问题 .而若把此问题推广到空间 ,如何求解呢 ?下文将作一探讨 .1　推广到空间问题 :在空间中 ,已知直线 l外两点 A,B,在 l上求一点 P,使 PA PB的值最小 .分析　若点 A,B和直线 l在同一平面内 ,则已解决 .下面研究点 A,B和直线 l不在同一平面上的情形 .先解决如图 1的问题 :简解　在 l上取两点C,D,使点 A,B在 l上的射影 A1 ,B1 在线段CD上 ,连结 AC,AD,BC,BD,构成如图 …     

一类条件极小值问题的简捷解法

运用平面几何中点与点,点与直线间距离的两个简单公理,可以简捷地给出一类极小值问题的解法,现分别叙述如下。一、两点间的距离以直线段为最短例1.已知定点A、B和定直线L,在直线L上确定一点,使与点A、B距离之和为最小。     

解决线路最值问题的一个有效模型

线路最值问题是中考中常见的问题之一,解决这类问题常用到一个有效的模型:如图1,在直线l的同侧有两个点A,B,试在直线l上取一点P,使点P到点A、B两点的距离之和最小.点P应选在何处?     

一道奥赛题的空间拓广

第49届IMO试题的第1题：已知H是锐角△ABC的垂心．以边BC的中点为圆心、过点H的圆与直线BC相交于A1、A2两点;以边CA的中点为圆心、过点H的圆与直线CA相交于B1、B2两点;以边AB的中点为圆心、过点H的圆与直线AB相交于C1、C2两点．证明：A1、A2、B1、B2、C1、C2六点共圆．     

构造“8”字三角形求多个角的度数和

如右图,O是直线m、n的交点,在直线m上取A、C两点,使得A、C在O点的两侧;在直线n上取B、D两点,使B、D也在O点的两侧,连结AB、DC,便构成“8”字三角形,则∠1 ∠2=∠3 ∠4.利用这种等量关系,可以简     

对称在平面解析几何中的应用

对称的原始概念见初中的<平面几何>,在<平面解析几何>里解释为: A、B两点关于点P成中心对称的充要条件是P为线段AB的中点; A、B两点关于直线L成轴对称的充要条件是直线L垂直平分线段AB.     

圆锥曲线的两个性质

本文给出圆锥曲线的两个性质,并举例说明其应用.性质1:圆锥曲线与过定点的直线相交于A、B两点,过A、B两点的两切线的交点在同一直线上.例1对于双曲线22ax2-by2=1(a>0,b>0),若过     

直线 平面 简单几何体

平面的基本性质基础篇诊断练习一、填空题1.经过一点可以作个平面 ;经过两点可以作个平面 ;经过不在同一直线上的三点可以作个平面 .2 .“若 A、B在平面α内 ,C在直线 A B上 ,则 C在平面α内 .”用符号语言叙述这一命题为 .3.若平面α与平面β相交于直线 l,点 A∈α,A∈β,则点 A l;其理由是 .4 .三条平行线可确定个平面 .二、选择题1.确定一个平面的条件是 (　　 )( A)空间三点 .　 ( B)空间两条直线 .( C)一条直线和一点 .( D)不过同一点且两两相交的三条直线 .2 .下列命题中正确的是 (　　 )( A)空间四点中有三点共线 ,则此四点必…     

轴对称与最短路线

同学们都知道．平面上两点之间以线段为最短．就是这样一个浅显的道理，在解决最短路线问题时，却起着不小的作用．如在直线l的两侧有A、B两点，想在直线上找一点C，使点C到A、B两点的距离和最小．即AC BC最小，     

一道课本例题的探究与延伸推广

<正>1 课本例题的探究人教A版选修2-1中第70页例5:过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.此题细细研究,较为有意思,其结论较为优美.考虑其逆命题:过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,过B作平行于抛物线对称轴的直线BD交准线l于点D,则直线AD过抛物线顶点O.其逆命题也较为有趣,经推证命题也成立,简证如下:设直线AB的方程为