由一道高考题想到的——浅谈构造函数证明不等式的方法

2008高考山东卷第21题第二问是这样的： 已知函数f（x）=1/（1-x）^n＋ln（x-1）,证明：对任意正整数n,当x≥2时,有f（x）≤x-1．     

老师,你为何不反思?——记一次没有准备的探究活动及随想

在一次上“导数的应用”习题课时,一开始我就提出问题： 例 求函数y=x^2＋4/x-1（x〉1）的最小值．然后叫了一个学生A板演： 解（法1） 导函数y＇=2x＋-4/（x-1）^2,令y＇=0,即2x＋-4/（x-1）^2=0,解得x=2． 见表1,当x=2时,y有最小值8．     

解一元一次方程的数学思想

1．整体思想 例1解方程：3（x＋1）-1/2（x-1）=2（x-1）-1/2（x＋1）.     

解方程创新思维例谈

例1解方程：3（x＋1）-1/3（x-1）=2（x-1）-1/2（x＋1）.     

《分式》错解剖析

一、忽视“且”与“或”的不同含义 例1当x为何值时，分式x^2-x/（x＋2）（x-1） 有意义。错解：当分母等于零时，分式无意义由分母（x＋2）（x-1）-0，得x=2或1所以，当x≠-2或aT≠1时．分式有意义.     

根式问题常见错语例析

在解二次根式的化简或计算问题时,常因概念不清或忽视条件而出现错误．现举例剖析如下： 一、概念不清 例1若x＋1/x=4,则x-1/x=_____________. 错解：（x-1/x）^2=（x＋1/x）^2-4=4^2-4=12, ∴x-1/x=2√3． 评点：在“x^2=a”（a为非负数）中,x可取正负两个值．     

当心！分式有意义中的陷阱

题目：当x取什么值时．3x/（x＋2）÷（x-2）/（2x-3） 有意义？     

数学解题思想方法技巧（系列连载之一）——第2讲 整体换元思想

已知关于x的方程(a^2-1)(x/x-1)^2-(2a 7)(x/x-1) 1=0有实数根，（1）求a的取值范围：（2）若原方程的两个实数根为x1,x2.且x1/x1-1 x2/x2-1=3/11，求a的值     

分式方程惟一解错解剖析

对于分式方程有惟一解问题,由于忽略有增根的多种情况而出现错误.求解时,应分情况讨论进行,现举例说明如下. 问题a为何值时,关于x的方程x/（x-2）＋x＋1/（x-3）＋2x＋a/（（x-2）（x-3））=0有惟一解,并求出方程的惟一解.     

问诊复合函数的定义域问题

1缘起：一道复合函数定义域问题的错解 文[1]中有题目（本文列为题1）及解析如下：题1（1）若函数f（x）的定义域为[0,2],则函数f（｜2x-1｜）的定义域是__.（2）若函数f（｜2x-1｜）的定义域为[0,2],则函数f（x）的定义域是__.     

二次根式错解四则

例1 x是什么实数时,(（x-2）^1/2)/（x-3）在实数范围内有意义?错解由x-3≠0,得x≠3.分析只注意分母不为零,而忽略被开方数x-2应为非负数.正解由题意{x-3≠0,x-2≥0,得x≥2且x≠3.     

探究一道高考选择题

我们先看2009年辽宁卷高考选择题：若x1满足2x＋2x=5，x2满足2x＋2log2（x-1）：5，则x1＋x2；（ ）．     

由一道高考题想到的——浅谈构造函数证明不等式的方法

2008高考山东卷第21题第二问是这样的：已知函数f（x）=1/（1-x）^n＋ln（x-1）,证明：对任意正整数n,当x≥2时,有f（x）≤x-1,其证明的方法是构造函数,但标准答案分n为奇数,偶数讨论,有些啰嗦,现给出几种简单做法并对构造函数的方法做一简单总结。     

一道IMO试题的又一漂亮推广

第49届IMO中有这样一道不等试证明题： 设实数x，y，z都不等于1，满足xyz=1，求证：（x/x-1）^2＋（y/y-1）^2＋（z/z-1）^2≥1.（1）     

一道高校自主招生数学试题的简解

2011年北京大学等13校自主招生联合考试数学试卷的压轴题为:求f(x)=｜ x-1 ｜+｜ 2x-1 ｜++｜2011x-1｜的最小值.解 当x＜1/2011时,f(x)=（1-x）+(1-2x)+…+(1-2 011x)严格递减,故最小值为f（1/2011）.当x≥1时,f(x)=（x-1）+（2x-1）+…+(2011x-1)严格递增,故最小值为f(1).从而f(x)在（-∞,+∞）上的最小值等于f(x)在[1/2011,1]上的最小值.注意f(x)是[1/2011,1]上的连续分段线性.     

顺着学生思维走尴尬一次也无妨--一道例题的教后反思

例题 （2004年黑龙江模拟试题）已知函数f（x）=√x-1/√x. （1）证明：函数f（x）在定义域上有反函数,并求出反函数; （2）反函数的图像是否经过（0,1）？反函数的图像与直线y=x有无交点？     

全国卷Ⅰ（理）第20题

题目 已知函数f（x）=（x＋1）In x—x＋1. （Ⅰ）若xf′（x）≤x^2＋ax＋1,求a的取值范围; （Ⅱ）证明：（x-1）-f（x）≥0．     

一个重要不等式及其推论在高考中的应用

一、重要不等式及其推论 重要不等式：In x≤1/2（x-1/x）,x≥1.     

2002年全国高中数学联赛第15题的讨论

2002年全国高中数学联赛第15题： 设二次函数：f（x）=ax^2＋b＋c（a,b,c∈R,a≠0）满足条件：（1）当x∈R时,f（x-4）=f（2-x）,且f（x）≥x;（2）当x∈（0,2）时,f（x）≤（x＋1/2）^2;（3）f（x）在R上的最小值为0．求最大的m（m〉1）,使得存在t∈R,只需x∈[1,m],就有．f（x＋t）≤x．     

解一元一次方程中的创新思维

解一元一次方程要根据方程特点，大胆创新，巧妙解题，简化计算，提高能力．通过对方程：1.3（x＋1）-1/3（x-1）=2（x-1）-1/2（x＋1）;2.3/2[2/3（1/4x＋7）＋2]＋2=x;3.x＋4/0.2-x-3/0.5=-1.6;4.4-6x/0.01-6.5=0.02-2x/0.02-7.5的例题分析...